賦p-Amemiya范數(shù)Musielak-Orlicz函數(shù)空間的光滑性

摘 要：Banach空間的光滑性是Banach空間幾何理論的重要研究內容之一， 其與Banach空間的凸性，范數(shù)的可微性均有密切關系?；诖私o出了賦p-Amemiya范數(shù)Musielak-Orlicz函數(shù)空間EΦ，p光滑性的充分必要條件。

關鍵詞：Musielak-Orlicz函數(shù)空間；p-Amemiya范數(shù)；對偶空間：光滑性; 嚴格凸

DOI：10.15938/j.jhust.2024.04.016

中圖分類號： O177.3

文獻標志碼： A

文章編號： 1007-2683（2024）04-0147-05

Smoothness in Musielak-Orlicz Function

Spaces Equipped with p-Amemiya Norm

XU Anqi， CUI Yunan

（School of Sciences， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China）

Abstract：The smoothness of" Banach spaces is one of the important" research content in the geometric theory of Banach spaces， which is closely related to the convexity of" Banach spaces and the differentiability of norms. In this paper， we provide necessary and sufficient conditions for smoothness of" Musielak-Orlicz function spaces equipped with p-Amemiya norm.

Keywords：Musielak-Orlicz function space; p-Amemiya norm; dual space; smoothness; strict convexity

0 引 言

光滑性作為Banach空間的基本性質，其與凸性、可微性等聯(lián)系緊密。Musielak-Orlicz函數(shù)空間作為經典Orlicz空間的延伸，在調和分析、 PDE等領域有著重要的價值。有關Musielak-Orlicz空間的光滑性已有很多討論。1987年王廷輔，陳 述 濤 得 到了賦Luxemburg范數(shù)的Orlicz空間的光滑性、強光滑性和一致光滑性的判據(jù)^［1］。陶良德在1988年給出了Orlicz序列空間光滑性的判據(jù)，得出了Orlicz序列空間光滑的充分必要條件^［2］。1989年陳 述 濤給出了Orlicz函數(shù)空間關于Orlicz范數(shù)光滑點的判別方法，并由此推導出空間光滑的充分必要條件^［3］。1991年王保祥、張云峰分別給出了賦Orlicz范數(shù)和Luxemburg范數(shù)的Orlicz序列空間中光滑點的判定準則^［4］。2008年，崔云安等在Orlicz空間中引入p-Amemiya范數(shù)的定義，之后開始研究有關p-Amemiya范數(shù)下的幾何性質^［5］。2010年到2011年間，陳麗麗等研究賦p-Amemiya范數(shù)Musielak-Orlicz空間的復強端點及復凸性等問題^［6-7］。本文主要給出賦p-Amemiya范數(shù)Musielak-Orlicz空間為光滑的充要條件。

1 預備知識

本文以X及X*分別表示Banach空間及其對偶空間。

定義1^［8］ 設（G，Σ，μ）為無原子有限測度空間。Φ（t，u）是G×［0，∞）→［0，∞）的二元函數(shù)，并且滿足：

1）對任意的u∈［0，∞），Φ（t，u）是t的μ可測函數(shù)；

2）對t∈G，Φ（t，u）關于u是凸函數(shù)，Φ（t，0）=0，limu→∞Φ（t，u）u=∞。

則稱Φ（t，u）為Musielak-Orlicz函數(shù)。

記L0（G）為G上的可測函數(shù)構成的集合，對于任意的x∈L0（G），x的模定義：

IΦ（x）=∫GΦ（t，x（t））dμ。

定義2^［5］ 線性集

LΦ={x∈L0（G）：存在λgt;0，使得IΦ（λx）lt;+∞}

賦予如下范數(shù)

‖x‖Φ，p=infkgt;01k（1+IpΦ（kx））^1p，1≤plt;+∞

infkgt;01kmax{1，IΦ（kx）}，p=+∞

稱為p-Amemiya范數(shù)，構成了Banach空間。稱{LΦ，‖·‖Φ，p}為賦p-Amemiya范數(shù)的Musielak-Orlicz函數(shù)空間，記為LpΦ。

注：1-Amemiya范數(shù)就是經典Musielak-Orlicz空間中的Orlicz范數(shù)‖·‖0Φ（也稱為Amemiya范數(shù)），+∞-Amemiya范數(shù)就是經典Musielak-Orlicz空間中的Luxemburg范數(shù)‖·‖L，當1lt;plt;+∞時，有‖x‖L≤‖x‖Φ，p≤‖x‖oΦ。

定義3^［8］ 若對于任意的x∈S（X）={x∈X：‖x‖=1}，存在唯一的f∈S（X*），使f（x）=1則稱Banach空間X是光滑的。

定義4^［8］ Φ（t，u）對于t∈G，關于u是嚴格凸的定義是：對于t∈G，任意的u，v∈R，u≠v，有

Φt，u+v2lt;Φ（t，u）+Φ（t，v）2。

定義5^［8］ 若對于任意x，y∈S（X），x+y2=1，則有x=y，則稱Banach空間X是嚴格凸的。易得：如果Banach空間X的對偶空間X*是嚴格凸的，則X是光滑的。

實際上，對于任意的x∈S（X），如果存在f，g∈S（X*）滿足：

f（x）=g（x）=‖x‖=1 ，

則：2=f（x）+g（x）≤‖f+g‖≤‖f‖+‖g‖=2。

即f+g2=1。利用X*是嚴格凸的，知f=g，從而X是光滑的。

記Ψ（t，v）=sup{uv－Φ（t，u）∶ugt;0}，則稱Ψ（t，v）為Φ（t，u）Young意義下的余函數(shù)，同時Φ（t，u）也是Ψ（t，v）Young意義下的余函數(shù)。

因對于每個t∈G，Ψ（t，u）關于u是凸函數(shù)，從而其左右導數(shù)均存在，以q+（t，v）表示Ψ（t，u）的右導數(shù)。

以qgt;1表示pgt;1的共軛數(shù)，即1p+1q=1。

記

Z={（u，v）∶u，v≥0且u+v=（1+up）^1p（1+vq）^1q}。

2 主要結果及證明

定理1 設Φ，Ψ是Young意義下互余的Musielak-Orlicz函數(shù)且limv→∞Ψ（t，v）v=+∞。則對于任意的y∈LΨ，有（IΦ（q+（k|y|）），IΨ（ky））∈Z，其中k∈kgt;0∶1k（1+IqΦ（ky））^1q=‖y‖Ψ，q。

證明：由于limv→∞Ψ（t，v）v=+∞，所以對于每個y∈S（LΨ，q），都存在kgt;0滿足‖y‖Ψ，q=1k（1+IqΨ（ky））^1q。

如果上式不成立，則由f（k）=1k（1+IqΨ（ky））^1q關于kgt;0是連續(xù)函數(shù)，可知

‖y‖Ψ，q=limk→∞1k（1+IqΨ（ky））^1q=limk→∞IΨ（ky）k。

利用y∈S（LΨ，q），存在agt;0滿足：

m（{t∈G∶|y（t）|≥a}）gt;0。

從而

IΨ（ky）k=∫GΨ（t，ky（t））kdt≥

∫GaΨ（t，ky（t））kdt≥a∫GaΨ（t，ka）kadt。

由于函數(shù)Ψ（t，u）u關于ugt;0是單調遞增函數(shù)，由Levi定理得：

limk→∞IΨ（ky）k≥limk→∞a∫GaΨ（t，ka）kadt≥

a∫Galimk→∞Ψ（t，ka）kadt=+∞。

與‖y‖Ψ，q=1矛盾。

下面證明

（IΦ（q+（k|y|）），IΨ（ky））∈Z，

令

u=IΦ（q+（k|y|）），v=IΨ（k|y|），

且

u+v≤（1+up）^1p）（1+vq）^1q，

成立的情形與Young不等式uv≤Φ（u）+Ψ（v）等式成立的條件一致從而u+v=IΦ（q+（k|y|））+IΨ（k|y|）。

定理2 （EΦ，p）*=LΨ，q。

證明：我們只需證明1lt;plt;∞的情形，對于任意的y∈LΨ，q，y≠0我們定義EΦ，p上的線性泛函如下：

f（x）=∫Gx（t）y（t）dt，

取kgt;0，lgt;0滿足：

‖x‖Φ，p=1k（1+IpΦ（kx））^1p，

和

‖y‖Ψ，q=1l（1+IqΨ（kx））^1q。

|f（x）|=|∫Gx（t）y（t）dt|≤

∫G|x（t）y（t）|dt=

1kl∫G|kx（t）||ly（t）|dt≤

1kl∫G［Φ（|kx（t）|）+Ψ（|ly（t）|）］dt=

1kl（IΦ（kx）+IΨ（ly））≤

1k（1+IpΦ（kx））1l（1+IpΨ（ly））=

‖x‖Φ，p‖y‖Ψ，q。

從而f（x）=∫Gx（t）y（t）dt為EΦ，p上的有界線性泛函，且‖f‖≤‖y‖Ψ，q。取yn（t）=y（t）χGn，Gn={t∈G∶|y（t）|≤n}則q+（kyn）∈LΦ，p，取kngt;0，滿足‖yn‖Ψ，q=1kn（1+IqΨ（knyn））^1q。

則

|∫Gq+（kn|yn（t）|）yn（t）dμ|=

1kn∫Gq+（kn|yn（t）|）kn|yn（t）|dμ=

1kn（∫G（Φ（q+（kn|yn（t）|））+Ψ（kn|yn（t）|））dμ）=

1kn（IΦ（q+（kn|yn（t）|））+IΨ（knyn））=

1kn（1+（IPΦ（q+（kn|yn（t）|））））^1P

1kn（1+（IqΨ（kn|yn|）））^1P≥

‖q+（kn|yn|）‖Φ，p‖yn‖Ψ，q

即

|∫Gq+（kn|yn（t）|）yn（t）dμ|‖q+（kn|yn|）‖Φ，p≥‖yn‖Ψ，q，

因為

q+（kn|yn（t）|）‖q+（kn|yn|）‖Φ，p=xn（t）∈x∈S（LΦ，p），

‖yn‖Ψ，q→‖y‖Ψ，q。

所以

∫Gxn（t）y（t）dμ=∫Gxn（t）yn（t）dμ。

得到

‖fy‖≥∫Gxn（t）y（t）dμ→‖y‖Ψ，q，

即

‖fy‖≥‖y‖Ψ，q。

因此‖fy‖=‖y‖Ψ，q，則（EΦ，p）*=LΨ，q。

定理3 EΦ，p是光滑的當且僅當Ψ是嚴格凸的。

證明：充分性：

任意的x=S（LΨ，q）∈S（EΦ，p），令f∈S（（EΦ，p）*）是x的一個支撐泛函。若存在x的另一個支撐泛函f′。取k1gt;0，k2gt;0滿足

‖f‖Ψ，q=1k1（1+IqΨ（k1f））^1q，

和

‖f′‖=1k2（1+IqΨ（k2f′））^1q。

若f≠f′，存在正 測 集e有f（t）≠f′（t），t∈e。進而有e′G，m（e′）gt;0，滿足k1f≠k2f′。

若k1f=k2f′a.e.t∈e，則‖k1f‖=‖k2f′‖，由‖f‖=‖f′‖=1，知k1=k2，進而f=f′，矛盾。故e′G，m（e′）gt;0。滿足k1f（t）≠k2f′（t），t∈e′。由Ψ是嚴格凸的，知

2=‖f+f′‖*Ψ，p≤

k1+k2k1k21+IqΨk2k1+k2k1f+k1k1+k2k2f′^1q≤

k1+k2k1k2k2k1+k2（1+IqΨ（k1f））+

k1k1+k2（1+IqΨ（k2f′））^1qlt;

1k1（1+IqΨ（k1f））^1q+

1k2（1+IqΨ（k2f′））^1q=

‖f‖+‖f′‖=2。

矛盾，從而f=f′，即EΦ，p是光滑的。

必要性：若Ψ不是嚴格凸函數(shù)，即存在a（t）gt;0，b（t）gt;0，a（t）lt;b（t），

滿足

q-（t，v）=A（t），a（t）≤v≤b（t）。

記{rn}為正的有理數(shù)集，

Gn，m={t∈G∶q-（t，rn）=q-（t，rm）}，

則

G0=∪∞n，m=1n≠mGn，m

若Ψ（t，u）不是嚴格凸的，則存在n0，m0∈N，滿足m（Gn0，m0）gt;0。不妨設rn0lt;rm0，∫n0，m0Ψ（t，p－（t，rn0））dtlt;1。再取agt;0，滿足

（∫G/Gn0，m0Φ（t，a）dt+∫Gn0，m0Φ（t，p－（t，rn0））dt）^p－1（∫G/Gn0，m0Ψ（t，

p－（a））dt+∫G/Gn0，m0Ψ（t，p－（t，rn0））dt）≥1。

因為測度為無原子的，故存在G1G/Gn0，m0滿足：

（∫G1Φ（t，p－（a））dt+∫Gn0，m0Φ（t，p－（t，rn0））dt）^p－1（∫G1Ψ（t，

a）dt+∫G/Gn0，m0Ψ（t，p（t，rn0））dt）=1。

令x（t）=aχG1（t）+p（t，rn0）χGn0，m0（t），

將Gn0，m0分成兩個測度相等且互不相交的兩個集合E、F。Gn0，m0=E∪F。定義：

w1（t）=rn0χE（t）+rm0χF（t）+aχG1（t），

w2（t）=rm0χE（t）+rn0χF（t）+aχG1（t）。

令

v1=w1‖w1‖Ψ，q，v2=w2‖w2‖Ψ，q。

則

1≥1‖w1‖Ψ，q1‖x‖Φ，p

∫Gx（t）w1（t）dt=

1‖w1‖Ψ，q1‖x‖Φ，p（IΦ（x）+IΨ（w1））=

1‖w1‖Ψ，q1‖x‖Φ，p（1+IpΦ（x））^1p（1+IqΨ（w1））^1q≥1。

即w1為x的支撐泛函，同理w2也為x的支撐泛函，故EΦ，p不是光滑的，矛盾，證畢。

參 考 文 獻：

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（編輯：溫澤宇）