Douady-Earle延拓中用到的擬共形映照參數(shù)表示

摘要： 假設(shè) fμ（z）（z）是單位圓D 到自身保持-1，i，1不動，具有復(fù)特征μ（z）的Douady-Earle延拓。借助于上半平面到自身保持0，1，∞三點不動的擬共形映射的參數(shù)表示，利用單位圓到上半平面的共形映射，給出Douady-Earle延拓 fμ（z）（z）的參數(shù)表示。

關(guān)鍵詞： 擬共形映照； 參數(shù)表示； 復(fù)特征； Douady-Earle延拓

中圖分類號： O 174.55文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A"" 文章編號： 1000-5013（2024）06-0808-04

Parametric Representation of Douady-Earle Quasiconformal Extension

LIN Zhenlian

（School of Mathematical Sciences， Huaqiao University， Quanzhou 362021， China）

Abstract： Suppose fμ（z）（z） is a Douady-Earle extension of the unit disk D onto itself with the complex dilatation μ（z）， which kept -1， i， 1 fixed. With the help of the parametric representation of the quasiconformal mapping of the upper half plane onto itself which kept 0， 1， ∞ fixed， by using the conformal mapping from the unit disk to the upper half plane， the parametric representation of the Douady-Early extension" fμ（z）（z） is given.

Keywords：

quasiconformal mapping； parametric representation； complex dilation； Douady-Earle extension

1 預(yù)備知識

設(shè)w=f（z）是平面區(qū)域E到區(qū)域G的C1類保向同胚映照，且在E內(nèi)處處滿足條件

fz（z）lt;fz（z），Df（z）=fz（z）+fz（z）fz（z）-fz（z）≤K，" K≥1。

稱f（z）是E內(nèi)一個C1類擬共形映照，μ（z）=fz（z）fz（z）為w=f（z）的復(fù)特征。用fμ（z）（z）表示復(fù)特征為μ（z）擬共形映照。自20世紀(jì)50年代開始，擬共形映照便成為現(xiàn)代復(fù)分析的一個重要分支，它涵蓋了許多基本理論和問題的討論，其中包括擬共形映照的邊界對應(yīng)理論和規(guī)范擬共形映照對參數(shù)的依賴。更多擬共形映照相關(guān)內(nèi)容可參見文獻(xiàn)［1-6］。

在擬共形映照的邊界對應(yīng)問題的研究上，Beurling等［5］首先構(gòu)造性地將實軸R到自身的擬對稱同胚擴(kuò)充為上半平面到自身擬共形同胚。用D表示單位圓盤，D表示單位圓周，Q（D）表示D到自身的擬對稱同胚全體所成的集合。 1986年，Douady等［7］確定了一個把D到自身的同胚h(yuǎn)（z）延拓成D到自身的同胚E（h）的方法。把E（h）（z），z∈D定義為使得∫Dh（ζ）-w1-wh（ζ）dζζ-z2=0的唯一值w∈D，且當(dāng)h（z）為擬對稱時，E（h）是擬共形的。Douady-Earle延拓還具有以下性質(zhì)：E（h）是共形自然的，且E（h）是實解析的；若用T表示Q（D）中滿足保持-1，i，1三點不動h（z）的集合，當(dāng)h（z）∈T時，E（h）的復(fù)特征也是實解析的。關(guān)于Douady-Earle延拓更多相關(guān)內(nèi)容可參見文獻(xiàn)［8-9］。

擬共形映照參數(shù)表示理論問題是擬共形映照理論的另一個基本問題，夏道行［10］首先借鑒單葉函數(shù)的Loewner［11］方法發(fā)展了擬共形映照的參數(shù)表示理論，之后不少學(xué)者對這一問題進(jìn)行了深入研究［1-4，10-17］，該理論很好地解決了擬共形映照的模數(shù)的估計和面積偏差估計的極值問題［15-17］。文獻(xiàn)［13］和文獻(xiàn)［14］分別考慮了0K類擬共形映照和上半平面到自身保持0，1，∞不動的擬共形映照的參數(shù)表示式。對于上半平面的參數(shù)表示式有定理A。

定理A 設(shè)μ（z，t）是定義在Im zgt;0，0≤t≤1的復(fù)值可測函數(shù)，滿足條件

μ（z，t+s）=μ（z，t）+sv（z，t）+o（s），" s→0。

其中：μ（z，t），v（z，t）∈L∞，μ（z，t）∞lt;1。則上半平面到自身保持0，1，∞不動的擬共形映照w=fμ（z，t）（z，t）在上半平面的一切致密子集上一致地成立，即

fμ（z，t+s）=fμ（z，t）+sF（fμ（z，t），t）+o（s），"" s→0，（1）

或者

wt=F（w，t），" w=fμ（z，t）（z，t），（2）

其中有

F（w，t）=-w（w-1）πIm ωgt;0φ（ω，t）ω（ω-1）（ω-w）+φ（ω，t）ω（ω-1）（ω-w）dσdτ，（3）

φ（ω，t）=v（（fμ）-1（ω，t），t）1-μ（（fμ）-1（ω，t），t）2exp（-2iarg（fμ）-1ω（ω，t）），" Im ωgt;0。（4）

在定理A的基礎(chǔ)上給出Douady-Earle延拓中保持-1，i，1不動擬共形映照的參數(shù)表示式。

2 主要定理和證明

定理1 設(shè)μ（z，t）是定義在zlt;1，0≤t≤1的復(fù)值可測函數(shù)，滿足條件

μ（z，t+s）=μ（z，t）+sv（z，t）+o（s），" s→0。

其中，μ（z，t），v（z，t）∈L∞，μ（z，t）∞lt;1。則zlt;1到自身以μ（z，t）為復(fù)特征且保持-1，i，1不動的擬共形映照w=fμ（z，t）（z，t）適合

fμ（z，t+s）=fμ（z，t）+sF（fμ（z，t），t）+o（s），" s→0，（5）

或者

wt=F（w，t），" w=fμ（z，t）（z，t），（6）

其中有

F（w，t）=-（w-i）（w2-1）πωlt;1φ（ω，t）（ω2-1）（ω-i）（ω-w）+φ（ω，t）（1-ω2）（1-ωi）（1-ωw）dσdτ，ω=fμ（ζ，t）=σ+iτ。（7）

φ（ω，t）=v（（fμ）-1（ω，t），t）1-μ（（fμ）-1（ω，t），t）2e-2iarg（fμ）-1ω（ω，t），" ωlt;1。（8）

證明：只需要把上半平面內(nèi)的參數(shù)表示式轉(zhuǎn)到單位圓內(nèi)即可。根據(jù)文獻(xiàn)［13］中定理3.2的證明過程可知，從公式（4）轉(zhuǎn)到公式（8）是很自然的。當(dāng)前只需證明公式（3）轉(zhuǎn)變成公式（7）即可。顯然，變換ω=1-i2ζ+1ζ-i，把單位圓ζlt;1映成Im ωgt;0，-1映成0，i映成∞，1映成1。根據(jù)記號的寫法，公式（7）中的ω，w，σ，τ應(yīng)記為ζ，z，ξ，η。再記

I1=-w（w-1）πIm ωgt;0φ（ω，t）ω（ω-1）（ω-w）dσdτ，（9）

I2=-w（w-1）πIm ωgt;0φ（ω，t）ω（ω-1）（ω-w）dσdτ。（10）

利用變換ω=1-i2ζ+1ζ-i，在公式（9），（10）中的

w（w-1）=1-i2z+1z-i1-i2z+1z-i-1=-z2-12（z-i）2，

ω（ω-1）（ω-w）=1-i2ζ+1ζ-i1-i2ζ+1ζ-i-11-i2ζ+1ζ-i-1-i2z+1z-i=""""""""""""""" （ζ2-1）（ζ-z）2（z-i）（ζ-i）3，

作h=ωfω-1，那么，h是上半平面到自身的擬共形映照，且它的復(fù)特征為

μh=（ω-1）′（ω-1）′2μfω-1=ζ-i4（ζ-i）4μfω-1。

這樣公式（9）積分號內(nèi)復(fù)特征經(jīng)過變換后的增加因子為 ζ-i4（ζ-i）4，公式（10）中積分號內(nèi)復(fù)特征經(jīng)過變換后的增加因子為 ζ-i4（ζ-i）4。此外，由dωdω=1ζ-i4dζdζ可知，I1，I2中面積元素經(jīng)過變換后增加的因子為1ζ-i4 。將以上討論代入公式（9），（10），可得

I1=z2-12π（z-i）2ζlt;12（z-i）（ζ-i）3（ζ2-1）（ζ-z）ζ-i4（ζ-i）4φ（ζ，t）1ζ-i4dξdη=

-1π（z-i）2ζlt;1（z2-1）（z-i）（ζ2-1）（ζ-z）（ζ-i）φ（ζ，t）dξdη。

又可得

ω（ω-1）（ω-w）=1-i2ζ+1ζ-i1-i2ζ+1ζ-i-11-i2ζ+1ζ-i-1-i2z+1z-i=

-（ζ2-1）2（ζ+i）2i（ζz-1）（z-i）（ζ+i），

故可得

I2=z2-12π（z-i）2ζlt;12i（z-i）（ζ+i）3（1-ζ2）（1-ζz）ζ-i4（ζ-i）4φ（ζ，t）1ζ-i4dξdη=

-1π（z-i）2ζlt;1（z2-1）（z-i）（1-ζ2）（1-ζz）（1-iζ）φ（ζ，t）dξdη。

此外，根據(jù)公式（1），令

G（w，t，s）=fμ（（fμ）-1（w，t），t+s），

根據(jù)公式（5），令

g（z，t，s）=fμ（（fμ）-1（z，t），t+s），

并且公式（2）的F（w，t）與公式（6）的F（z，t）適合關(guān)系式

F（w，t）=lims→0G（w，t，s）-ws=lims→01-i2sg（z，t，s）+1g（z，t，s）-i-z+1z-i=

lims→0-g（z，t，s）-zs1（g（z，t，s）-i）（z-i）=-F（z，t）（z-i）2。

即證明了公式（3）變成公式（7），定理1得證。

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（責(zé)任編輯：" 黃曉楠" 英文審校： 黃心中）

通信作者： 林珍連（1970-），女，副教授，主要從事單復(fù)變函數(shù)的研究。E-mail：zhenlian@hqu.edu.cn。

基金項目： 國家自然科學(xué)基金資助項目（11471128， 11971182）； 福建省自然科學(xué)基金資助項目（2023J01127）https：//hdxb.hqu.edu.cn/