N(2,2,0)-代數(shù)與相關邏輯代數(shù)的關系

摘" 要： 系統(tǒng)討論了N（2，2，0）代數(shù)的一個重要子類——冪零N（2，2，0）代數(shù)與幾個相關代數(shù)系統(tǒng)的相互關系，研究表明，N（2，2，0）代數(shù)的二元運算*滿足冪零條件時，這種特殊子類具有幾個新的邏輯代數(shù)共有的性質。

關鍵詞： N（2，2，0）代數(shù)；B-代數(shù)；冪零半群

中圖分類號： O152.7

文獻標識碼： A" 文章編號： 2096-3998（2024）05-0074-09

收稿日期：2024-03-19" 修回日期：2024-04-18

作者簡介：鄧方安（1963—），男，陜西寧強人，博士，教授，主要研究方向為模糊數(shù)學、半群理論和智能信息處理。

引用格式：鄧方安.N（2，2，0）-代數(shù)與相關邏輯代數(shù)的關系.陜西理工大學學報（自然科學版），2024，40（5）：74-82.

非經(jīng)典邏輯代數(shù)在信息科學、計算機科學與人工智能等領域的基礎地位越來越突出。BCK/BCI代數(shù)是兩類重要的邏輯代數(shù)。1966年，日本學者Imai和Iséki引入了BCK代數(shù)的概念。作為BCK代數(shù)的推廣，同年，Iséki引進了BCI代數(shù)。2002年，Neggers和Kim H S引入了一個新的代數(shù)系統(tǒng)B-代數(shù)，并研究了這種代數(shù)系統(tǒng)與幾個邏輯系統(tǒng)的相互關系。2006年，Kim C B和Kim H S推廣了B-代數(shù)，引入了BM-代數(shù)。2014年，Zadeh等研究了有限的BM-代數(shù)。2015年，Ameri等進一步研究了有限B-代數(shù)，刻畫了階數(shù)不超過10的有限B-代數(shù)，建立了強BM-代數(shù)的概念，證明了每一個奇數(shù)階BM-代數(shù)都是強BM-代數(shù)。2018年，Soleimani研究了有限B-代數(shù)的自同構問題。

1996年，筆者在研究模糊蘊涵代數(shù)時，提出了N（2，2，0）代數(shù)的概念。20多年來，有關N（2，2，0）代數(shù)研究的成果不斷豐富。本文將討論N（2，2，0）代數(shù)與B-代數(shù)、BM-代數(shù)、BG-代數(shù)等代數(shù)系統(tǒng)之間的關系。

1" N（2，2，0）代數(shù)的基本性質

為討論方便，下面介紹N（2，2，0）代數(shù)系統(tǒng)的概念及基本性質。

定義1" 設S是含常元0的集合。若在S上定義二元運算*和Δ滿足以下公理：

x，y，z∈S，有

（N1）" x*（yΔz）=z*（x*y），

（N2）" （xΔy）*z=y*（x*z），

（N3）" 0*x=x，

則稱（S，*，Δ，0）是一個N（2，2，0）代數(shù)。

定理1" 設（S，*，Δ，0）是一個N（2，2，0）代數(shù)，則x，y，z∈S，下列等式成立：

（1） x*y=yΔx；

（2） （x*y）*z=x*（y*z），（xΔy）Δz=xΔ（yΔz）；

（3） x*（y*z）=y*（x*z），（xΔy）Δz=（xΔz）Δy。

推論" 設（S，*，Δ，0）是一個N（2，2，0）代數(shù)，則（S，*，0）和（S，Δ，0）都是半群，且x，y∈S，有x*y=yΔx成立。

定理2" 設（S，*，Δ，0）是一個N（2，2，0）代數(shù)，則在半群（S，*，0）中，x，y∈S，有下列結論成立：

（1） 如果x*x=0，則有x*0=x；

（2） 如果x*x=0，則有x*y=0x=y；

（3） 如果x*x=0，且y*y=0，則有x*y=y*x。

證明" 這里僅驗證（2）和（3）。

（2） 由假設及第（1）款可得：x=x*0=x*（x*y）=（x*x）*y=0*y=y。

（3） 如果x*x=0，且y*y=0，則由定理1第（3）款及定理2第（1）款可得x*y=x*（y*0）=y*（x*0）=y*x，即（3）成立。

注：由定理2知，在N（2，2，0）代數(shù)（S，*，Δ，0）中，x，y∈S，如果滿足x*x=0，y*y=0，則x*y=y*x=xΔy。此時，半群（S，*，0）和半群（S，Δ，0）是同一個半群，這里稱為N（2，2，0）代數(shù)的冪零半群，也是一個交換半群。

2" N（2，2，0）代數(shù)與其他代數(shù)系統(tǒng)的關系

2.1" N（2，2，0）代數(shù)與Coxeter-代數(shù)的關系

定義2" 設X是含常元0的集合，在X上定義二元運算*滿足以下公理：

（B1）" x*x=0，

（B2）" x*0=x，

（C）" （x*y）*z=x*（y*z），x，y，z∈X，

則稱（X，*，0）是一個Coxeter-代數(shù)。

由文獻知，一個Coxeter-代數(shù)是一種特殊的阿貝爾群（abelian groups）。

由定理1及定理2得到：

命題3" N（2，2，0）代數(shù)（S，*，Δ，0）的每一個冪零半群（S，*，0）或（S，Δ，0）是一個Coxeter-代數(shù)；反之，一個Coxeter-代數(shù)不一定構成N（2，2，0）代數(shù)（S，*，Δ，0）的冪零半群（S，*，0）。

證明" 由定理2第（1）款知，（B1）及（B2）成立，而由定理1第（2）款知（C）成立。因此，由定義2知，N（2，2，0）代數(shù)（S，*，Δ，0）的每一個冪零半群（S，*，0）或（S，Δ，0）是一個Coxeter-代數(shù)。但一個Coxeter-代數(shù)不一定構成N（2，2，0）代數(shù)（S，*，Δ，0）的冪零半群（S，*，0）。這是因為Coxeter-代數(shù)的“*”運算不一定滿足等式x*（y*z）=y*（x*z），所以（S，*，Δ，0）不一定能構成N（2，2，0）代數(shù)的冪零半群。

例1" 設X={0，a，b}，在X上定義二元運算*、Δ如下：

*0ab

00ab

aa0b

bbb0

Δ0ab

00ab

aa0b

bbb0

不難驗證：（S，*，Δ，0）是一個N（2，2，0）代數(shù)，（X，*，0）也是一個Coxeter-代數(shù)。

例2" 設X={0，1}，在X上定義二元運算*如下：

*01

001

110

則（X，*，0）是一個Coxeter-代數(shù)，也可以構成N（2，2，0）代數(shù)的一個冪零半群。

例3" 設X={0，a，b}，在X上定義二元運算*如下：

*0ab

00ab

aa0b

bba0

則（X，*，0）是一個Coxeter-代數(shù)，但不是一個N（2，2，0）代數(shù)的半群（X，*，0）。這是因為a*（b*a）=a*a=0≠b=b*0=b*（a*a），即a*（b*a）≠b*（a*a），二元運算“*”不滿足N（2，2，0）代數(shù)的二元運算“*”的運算性質。

定義3" 設X是含常元0的集合，在X上定義二元運算*滿足以下公理：

（B1）" x*x=0，

（B2）" x*0=x，

（E1）" x*y=0=y*xx=y，

（E2）" x*y=y*x，x，y∈X，

則稱（X，*，0）是一個pre-Coxeter-代數(shù)。

由定理1、定理2易得如下結論：

命題4" N（2，2，0）代數(shù)的每一個冪零半群（S，*，0）是一個pre-Coxeter-代數(shù)。

命題4的逆不真。下面給出一個反例。

例4" 設X={0，a，b，c}，在X上定義一個二元運算*如下：

*0abc

00abc

aa0aa

bba0a

ccaa0

不難驗證：（X，*，0）是一個pre-Coxeter-代數(shù)，但不是一個N（2，2，0）代數(shù)，因為（a*b）*c=a≠0=a*（b*c）。

注：每一個Coxeter-代數(shù)都是一個pre-Coxeter-代數(shù)；反之，pre-Coxeter-代數(shù)不一定是Coxeter-代數(shù)。

2.2" N（2，2，0）代數(shù)與B-代數(shù)的關系

定義4" 設X是含常元0的集合，在X上定義二元運算*滿足以下公理：

（B1）" x*x=0，

（B2）" x*0=x，

（B）" （x*y）*z=x*（z*（0*y）），x，y，z∈X，

則稱（X，*，0）是一個B-代數(shù)。

命題5" （X，*，0）是一個B-代數(shù)，當且僅當下列公理成立：

（B1）" x*x=0，

（C1）" 0*（0*x）=x，

（C2）" （x*z）*（y*z）=x*y，x，y，z∈X。

命題6" 一個代數(shù)（X，*，0）是一個0-交換B-代數(shù)，當且僅當下列公理成立：

（B1）" x*x=0，

（D2）" y*（y*x）=x，

（C2）" （x*z）*（y*z）=x*y，x，y，z∈X。

命題7" N（2，2，0）代數(shù)（S，*，Δ，0）的每一個冪零半群（S，*，0）是一個B-代數(shù)，也是一個0-交換B-代數(shù)。

證明" 首先，由N（2，2，0）代數(shù)的定義和命題5可得0*（0*x）=0*x=x，即滿足條件（C1）；而（x*z）*（y*z）=x*（z*（y*z））=x*（y*（z*z））=x*（y*0）=x*y，即滿足條件（C2）。因此，N（2，2，0）代數(shù)（S，*，Δ，0）的每一個冪零半群（S，*，0）是一個B-代數(shù)。

其次，根據(jù)N（2，2，0）代數(shù)的運算性質，y*（y*x）=（y*y）*x=0*x=x，即滿足條件（D2），因此，它也是一個0-交換B-代數(shù)。

例5" 設X={0，a，b，c}，在X上定義一個二元運算*如下：

*0abc

00abc

aa0cb

bbc0a

ccba0

則（X，*，0）是一個B-代數(shù)，也是N（2，2，0）的一個冪零半群。

例6" 設X={0，a，b，c，d，e}，在X上定義一個二元運算*如下：

*0abcde

00bacde

aa0becd

bba0dec

ccde0ab

ddeca0b

eecdba0

則（X，*，0）是一個B-代數(shù)，但e*（a*b）=e*b=d≠e=c*b=（e*a）*b，所以一個B-代數(shù)不一定能構成N（2，2，0）代數(shù)的一個冪零半群。

2.3" N（2，2，0）代數(shù)與BF-代數(shù)的關系

2007年，Walendziak推廣了B-代數(shù)，引入了BF-代數(shù)的概念，并研究了這類代數(shù)系統(tǒng)的正規(guī)理想。2015年，Ko和Ahn研究了BF-代數(shù)的同態(tài)問題及BF-代數(shù)的結構。下面討論N（2，2，0）代數(shù)與BF-代數(shù)的關系。

定義5" 設X是含常元0的集合，在X上定義二元運算*滿足以下公理：

（B1）" x*x=0，

（B2）" x*0=x，

（BF）" 0*（x*y）=y*x，x，y∈X，

則稱（X，*，0）是一個BF-代數(shù)。

命題8" N（2，2，0）代數(shù)（S，*，Δ，0）的每一個冪零半群（S，*，0）是一個BF-代數(shù)；反之不真。

證明" 在N（2，2，0）代數(shù)中，由定理1、定理2的第（1）、（3）款及定義5知，僅驗證條件（BF）成立即可。

0*（x*y）

=x*y

=x*（0*y）

（x*（（x*y）*y）

=x*（y*（y*y））

=y*（x*（y*y））

=y*（x*0）

=y*x，

于是，條件（BF）成立，命題得證。

下面用實例說明一個BF-代數(shù)不一定構成N（2，2，0）代數(shù)的冪零半群。

例7" 設在一個N（2，2，0）代數(shù)（S，*，Δ，0）中，x，y∈S，定義A=x-y，x，y∈A，則（A，*，0）是一個BF-代數(shù)，“*”運算不滿足結合律，故（A，*，0）是一個BF-代數(shù)但不能構成N（2，2，0）代數(shù)的冪零半群。

例8" 設X={0，a，b}，在X上定義一個二元運算*如下：

*0ab

00ba

aa0b

bba0

則（X，*，0）是一個BF-代數(shù)，但（a*b）*a=b*a=a≠0=a*a=a*（b*a），即不滿足結合律，因此，BF-代數(shù)（X，*，0）不是N（2，2，0）代數(shù)的冪零半群。

2.4" N（2，2，0）代數(shù)與BG-代數(shù)的關系

2008年，Kim C B和Kim H S推廣了B-代數(shù)，提出了BG-代數(shù)的概念，研究了BG-代數(shù)的基本性質、同態(tài)、同構及BG-商代數(shù)。

定義6" 設X是含常元0的集合，在X上定義二元運算*滿足以下公理：

（B1）" x*x=0，

（B2）" x*0=x，

（BG）" （x*y）*（0*y）=x，x，y∈X，

則稱（X，*，0）是一個BG-代數(shù)。

命題9" N（2，2，0）代數(shù)（S，*，Δ，0）的每一個冪零半群（S，*，0）是一個BG-代數(shù)；反之不真。

證明" 由定理1、定理2及定義6知，僅驗證條件（BG）成立即可。事實上，在N（2，2，0）代數(shù)（S，*，Δ，0）的冪零半群（S，*，0）中，對于x，y∈S，若滿足x*x=0，y*y=0，則有

（x*y）*（0*y）=（x*y）*y=x*（y*y）=x*0=x，

于是，條件（BG）成立，命題得證。

下面用一個實例說明一個BG-代數(shù)不一定是N（2，2，0）代數(shù)的冪零半群。

例9" 設X={0，a，b，c，d，e}，在X上定義一個二元運算*如下：

*0abcde

00bacde

aa0becd

bba0dec

ccde0ab

ddecb0a

eecdab0

則（X，*，0）是一個BG-代數(shù)，但a*（b*c）=a*d=c≠d=b*c=（a*b）*c，即“*”運算不滿足結合律。因此，（X，*，0）不符合N（2，2，0）代數(shù)的冪零半群的條件。

2.5" N（2，2，0）代數(shù)與BH-代數(shù)的關系

定義7" 設X是含常元0的集合，在X上定義二元運算*滿足以下公理：

（B1）" x*x=0，

（B2）" x*0=x，

（BH）" x*y=y*x=0x=y，x，y∈X，

則稱（X，*，0）是一個BH-代數(shù)。

命題10" N（2，2，0）代數(shù)（S，*，Δ，0）的每一個冪零半群（S，*，0）是一個BH-代數(shù)；反之不真。

證明" 如果N（2，2，0）代數(shù)（S，*，Δ，0）的半群（S，*，0）滿足x∈S，x*x=0，則當x*y=y*x=0時，有x=x*0=x*（y*x）=y*（x*x）=y*0=y，故滿足條件（BH）。因此，N（2，2，0）代數(shù)（S，*，Δ，0）的每一個冪零半群（S，*，0）是一個BH-代數(shù)。

例10" 設X={0，a，b}，在X上定義一個二元運算*如下：

*0ab

00ba

aa0b

bba0

則（X，*，0）是一個BH-代數(shù)，但（a*b）*a=b*a=a≠0=a*a=a*（b*a），即不滿足結合律，因此BH-代數(shù)（X，*，0）不是N（2，2，0）代數(shù)的冪零半群。

由文獻知：每一個BG-代數(shù)是一個BH-代數(shù)；反之不一定成立。

2.6" N（2，2，0）代數(shù)與BM-代數(shù)的關系

2006年，Kim C B和Kim H S提出了BM-代數(shù)的概念，它是B-代數(shù)的一個真子類，而且等價于0-交換B-代數(shù)。

定義8" 設X是含常元0的集合，在X上定義二元運算*滿足以下公理：

（B2）" x*0=x，

（BM）" （x*y）*（x*z）=z*y，x，y，z∈X，

則稱（X，*，0）是一個BM-代數(shù)。

命題11" N（2，2，0）代數(shù)（S，*，Δ，0）的每一個冪零半群（S，*，0）是一個BM-代數(shù)；反之不真。

證明" 僅需驗證滿足條件（BM）即可。事實上，x，y，z∈S，有

（x*y）*（x*z）=x*（（x*y）*z）=（x*x）*（y*z）=0*（y*z）=y*z=z*y，

因此，N（2，2，0）代數(shù)（S，*，Δ，0）的每一個冪零半群（S，*，0）是一個BM-代數(shù)。

例11" 設X={0，a，b}，在X上定義一個二元運算*如下：

*0ab

00ba

aa0b

bba0

可以驗證（X，*，0）是一個BM-代數(shù)，但a*b=b≠a=b*a，即不滿足交換律，這不符合N（2，2，0）代數(shù)（S，*，Δ，0）在冪零半群（S，*，0）中x*x=0，y*y=0x*y=y*x的性質。

例11說明N（2，2，0）代數(shù)（S，*，Δ，0）的冪零半群（S，*，0）是BM-代數(shù)的真子類。

注：①每一個BM-代數(shù)是一個B-代數(shù)，反之不真；但每一個0-交換B-代數(shù)一定是一個BM-代數(shù)。

②由前面討論可得如下關系：冪零的N（2，2，0）-代數(shù)類Coxeter-代數(shù)類0-交換B-代數(shù)類=BM-代數(shù)類B-代數(shù)類BG-代數(shù)類BH-代數(shù)類。

2.7" N（2，2，0）代數(shù)與BN-代數(shù)的關系

2013年，Kim C B引入了BN-代數(shù)的概念，研究了該代數(shù)系統(tǒng)的基本性質和商代數(shù)，證明了BN-代數(shù)是0-交換的，給出了一個代數(shù)（X，*，0）是BN-代數(shù)的充分必要條件為（X，*，0）是一個0-交換BF-代數(shù)。

定義9" 設X是含常元0的集合，在X上定義二元運算*滿足以下公理：

（B1）" x*x=0，

（B2）" x*0=x，

（BN）" （x*y）*z=（0*z）*（y*x），x，y，z∈X，

則稱（X，*，0）是一個BN-代數(shù)。

命題12" N（2，2，0）代數(shù)（S，*，Δ，0）的每一個冪零半群（S，*，0）是一個BN-代數(shù)；反之不真。

證明" 僅需驗證條件（BN）滿足即可。事實上，由“*”運算的交換律易得，x，y，z∈S，有

（0*z）*（y*x）=z*（y*x）=y*（z*x）=y*（x*z）=x*（y*z）=（x*y）*z，

因此，N（2，2，0）代數(shù)（S，*，Δ，0）的每一個冪零半群（S，*，0）是一個BN-代數(shù)。

下面用兩個例子說明一個BN-代數(shù)不一定能構成N（2，2，0）代數(shù)（S，*，Δ，0）的冪零半群（S，*，0）。

例12" 設X={0，a，b}，在X上定義一個二元運算*如下：

*0ab

00ab

aa0a

bba0

可以驗證（X，*，0）是一個BN-代數(shù)，而且也能構成N（2，2，0）代數(shù)的冪零半群。

例13" 設X={0，a，b，c}，在X上定義一個二元運算*如下：

*0abc

00abc

aa0aa

bba0a

ccaa0

則（X，*，0）是一個BN-代數(shù)，但不是N（2，2，0）的一個冪零半群。這是因為（a*a）*b=0*b=b≠a*（a*b）=a*a=0，即不滿足結合律。

2.8" N（2，2，0）代數(shù)與GK-代數(shù)的關系

定義10" 設X是含常元0的集合，在X上定義二元運算*滿足以下公理：

（GK1）" x*x=0，

（GK2）" x*0=x，

（GK3）" x*y=y*x=0x=y，

（GK4）" （y*z）*（x*z）=y*x，

（GK5）" （x*y）*（0*y）=x，x，y，z∈X，

則稱（X，*，0）是一個GK-代數(shù)。

命題13" 設（X，*，0）是一個GK-代數(shù)，則有下列結論成立：

（1）x，y，z∈X，如果滿足0*x=x，則稱（X，*，0）是一個CI-代數(shù)；

（2）x，y，z∈X，如果滿足x*0=0，0*x=x，x*（y*z）=y*（x*z），則稱（X，*，0）是一個BE-代數(shù)。

命題14" N（2，2，0）代數(shù)（S，*，Δ，0）的每一個冪零半群（S，*，0）是一個GK-代數(shù)；反之不真。

證明" 由定理1、定理2知，僅需驗證（GK4）、（GK5）即可。

（y*z）*（x*z）=y*（z*（x*z））=y*（x*（z*z））=y*（x*0）=y*x，因此（GK4）成立；

（x*y）*（0*y）=（x*y）*y=x*（y*y）=x*0=x，x，y∈S，因此（GK5）成立；

因此，N（2，2，0）代數(shù)（S，*，Δ，0）的每一個冪零半群（S，*，0）是一個GK-代數(shù)。命題的另一部分由下面反例予以說明。

例14" 設X={0，a，b}，在X上定義一個二元運算*如下：

*0ab

00ba

aa0b

bba0

可以驗證（X，*，0）是一個GK-代數(shù)，顯然“*”運算不滿足交換律，即a*b≠b*a，所以，（X，*，0）不能構成N（2，2，0）代數(shù)的冪零半群。

3" 總結與展望

設（X，*，0）是一個帶常元0的（2，0）型代數(shù)，給出下列公理，它們對于研究代數(shù)結構非常重要。

x，y，z∈X，有

（B1）" x*x=0，

（B2）" x*0=x，

（B）" （x*y）*z=x*（z*（0*y）），

（C）" （x*y）*z=x*（y*z），

（K）" 0*x=0，

（Q）" （x*y）*z=（x*z）*y，

（BA）" x*（y*z）=z*（y*x），

（BC）" x*（y*z）=y*（x*z），

（BF）" 0*（x*y）=y*x，

（BG）" （x*y）*（0*y）=x，

（BH）" x*y=y*x=0x=y，

（BM）" （x*y）*（x*z）=z*y，

（BN）" （x*y）*z=（0*z）*（y*x），

（BO）" x*（y*z）=（x*y）*（0*z），

（BP）" x*（x*y）=y，

（BZ）" （（x*z）*（y*z））*（x*y）=0。

利用上述公理可以構造不同代數(shù)系統(tǒng)，并研究它們的代數(shù)性質。例如：

（BCI-）+（K）→BCK-代數(shù)，

（B2）+（BH）+（（（x*y）*（x*z））*（z*y）=0）→BCI-代數(shù)，

（B1）+（BH）+（Q）→BCH-代數(shù)，

（B1）+（B2）+（BF）→BF-代數(shù)，

（B1）+（B2）+（BG）→BG-代數(shù)，

（B1）+（B2）+（BH）→BH-代數(shù)，

（B2）+（BM）→BM-代數(shù)，

（B1）+（B2）+（BN）→BN-代數(shù)，

（B1）+（B2）+（BO）→BO-代數(shù)，

（B1）+（BG）+（BH）→BP-代數(shù)，

（B2）+（BH）+（BZ）→BZ-代數(shù)，

（B1）+（B2）+（Q）→Q-代數(shù)，

（B1）+（B2）+（B）→B-代數(shù)，

（B1）+（B2）+（BA）→BA-代數(shù)，

（B1）+（B2）+（K）+（BC）→BE-代數(shù)，

（B1）+（B2）+（CO）→Coxeter-代數(shù)，

（B1）+（K）+（BH）→D-代數(shù)，

（B1）+（BC）+（0*x=x）→CI-代數(shù)。

給定一個N（2，2，0）代數(shù)（S，*，Δ，0），在“*”運算冪零時，其半群（S，*，0）和（S，Δ，0）退化為一個半群。不難看出N（2，2，0）代數(shù)的一個特殊子類——冪零半群與其他代數(shù)系統(tǒng)有關，其關系見圖1。

目前關于N（2，2，0）代數(shù)的研究主要集中在“*”運算冪零的情況。重點研究了N（2，2，0）代數(shù)的冪零半群（也是交換半群）的性質，討論了它與其他邏輯代數(shù)的關系，這為進一步研究N（2，2，0）代數(shù)提供了新的思路。此外，關于非交換N（2，2，0）代數(shù)的研究將是今后討論的方向。

［" 參" 考" 文" 獻" ］

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［責任編輯：魏 強］

Relationships between N（2，2，0） algebras and related logic algebras

DENG Fangan

School of Mathematics and Computer Science， Shaanxi University of Technology， Hanzhong 723000， China

Abstract：" This article systematically discusses an important subclass of N（2，2，0） algebra-nilpotent N（2，2，0） algebra and its interrelationships with several related algebraic systems. The study shows that when the binary operation * of N（2，2，0） algebra satisfies the nilpotent condition， this special subclass has several new properties shared by logical algebra.

Key words：" N（2，2，0） algebra; B-algebra; nilpotent semigroup