論與薄板近似和屏近似有關(guān)的幾個(gè)計(jì)算問題

摘要： 薄板近似與屏近似是為了實(shí)現(xiàn)De Wolf 近似而提出的兩種雙域算法，廣泛地應(yīng)用于地震波數(shù)值模擬和偏移成像。算法實(shí)現(xiàn)過程中存在幾個(gè)計(jì)算問題，如：F‐K 域空間假頻問題、背景速度選取和薄板厚度劃分問題、橫向非均勻介質(zhì)中的背景Green 函數(shù)計(jì)算問題、如何處理橫向非均勻性問題等。然而，針對(duì)上述計(jì)算問題的系統(tǒng)討論還未見報(bào)道。針對(duì)這種現(xiàn)狀，文中首先回顧了薄板近似法和屏近似法的具體實(shí)現(xiàn)。其次，對(duì)上述幾個(gè)計(jì)算問題進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，具體為：①闡明了F‐K 域空間假頻產(chǎn)生的原因，并利用縱、橫向振幅衰減因子消除了空間假頻現(xiàn)象； ②對(duì)背景速度的選取進(jìn)行了探究，盡可能保證薄板內(nèi)整體速度擾動(dòng)相對(duì)較小是背景速度選擇的關(guān)鍵； ③對(duì)比了不同薄板厚度下薄板近似法和屏近似法的正演記錄和計(jì)算效率，并討論了薄板劃分的依據(jù)； ④分析了背景Green 函數(shù)不穩(wěn)定性的原因，以及橫向非均勻介質(zhì)情況下的計(jì)算誤差問題； ⑤探討了介質(zhì)橫向不均勻性對(duì)薄板近似和屏近似精度的影響，并提出了幾種改善算子適應(yīng)介質(zhì)橫向變化的方法。最后，利用三維簡(jiǎn)單層狀模型和二維實(shí)際速度模型對(duì)討論結(jié)果進(jìn)行了測(cè)試。該研究結(jié)果可為薄板近似法和屏近似法在復(fù)雜介質(zhì)的應(yīng)用提供一定的理論基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞： 薄板近似，屏近似，空間假頻，背景Green 函數(shù)，橫向非均勻性

中圖分類號(hào)：P631 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10. 13810/j. cnki. issn. 1000‐7210. 2024. 05. 007

0 引言

為了解決前向散射累積效應(yīng)很強(qiáng)時(shí)Born 近似失效的問題，Wu[1]提出了實(shí)現(xiàn)De Wolf 近似的兩種方法：薄板近似和屏近似。薄板近似是將整個(gè)模型在垂直方向上劃分成若干個(gè)薄板，采用De wolf 近似對(duì)總波場(chǎng)不斷更新，并在每一步內(nèi)計(jì)算一次向后散射波場(chǎng)。薄板近似法可以稱為廣義廣角相位屏法，但是薄板的散射效應(yīng)與局部規(guī)則相位屏效應(yīng)不同，因?yàn)榍罢叩谋“逯g相互作用在空間域和波數(shù)域都不是局部的[2]。如果薄板劃分得足夠薄，則可取薄板中線上的積分近似整個(gè)薄板的積分[1，3]。相對(duì)于薄板近似，屏近似對(duì)薄板和入射波之間的相互作用值（散射）進(jìn)行了近似處理[1]。因此，屏近似在一定的條件下可以理解為薄板近似在弱散射情況下的一種小角度近似。本文重點(diǎn)圍繞薄板近似和屏近似法正演實(shí)現(xiàn)過程中存在的幾個(gè)計(jì)算問題進(jìn)行分析討論。

薄板近似法和屏近似法使用FFT 在空間域和波數(shù)域之間交替計(jì)算，算法模擬一次反射，忽略了非均勻性之間往返傳播的交混回響，但可以正確處理與多次前向散射有關(guān)的波動(dòng)現(xiàn)象，如聚焦/焦散、衍射、折射和干涉[4]。相對(duì)于全波場(chǎng)有限差分[5‐6]和有限元法，這種單向傳播方法的最大優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算速度快，地震波正演模擬過程中可以節(jié)省大量?jī)?nèi)存[7]。目前該種方法常用于非均勻介質(zhì)地震散射波場(chǎng)模擬[8‐11]和偏移成像[12‐16]。該種方法對(duì)于地震波計(jì)算是高效的，特別是對(duì)于高頻地震波的長(zhǎng)距離傳播。20 世紀(jì)90 年代，Wu 等[8] 利用這種方法模擬了核試驗(yàn)激發(fā)的高頻彈性Lg 波（ 在地殼中經(jīng)多次反射形成的波） 傳播，這是傳統(tǒng)的全波有限差分法難以實(shí)現(xiàn)的[7] 。

然而，薄板近似和屏近似法在實(shí)現(xiàn)過程中存在幾個(gè)計(jì)算問題，具體如下。

（1）F‐K 域空間假頻問題。這是由于背景Green函數(shù)中的1/kz項(xiàng)的高通濾波效應(yīng)[17‐19]，會(huì)造成很嚴(yán)重的空間假頻效應(yīng)，嚴(yán)重影響地震記錄的信噪比。

（2）背景速度的選取。薄板近似和屏近似法都需要在頻率—波數(shù)域利用常速度進(jìn)行相移處理，擾動(dòng)校正則在空間域進(jìn)行，如果背景速度與真實(shí)速度差異較大時(shí)，計(jì)算結(jié)果將出現(xiàn)很大誤差。

（3）薄板厚度劃分的問題。薄板的厚度不僅影響計(jì)算精度，而且還影響著計(jì)算效率； 薄板越厚，計(jì)算效率越高，計(jì)算精度越低； 薄板越薄，計(jì)算效率越低，計(jì)算精度越高。薄板厚度劃分過程中如何滿足薄板內(nèi)速度擾動(dòng)相對(duì)較小是薄板厚度劃分的關(guān)鍵問題。

（4）背景Green 函數(shù)的計(jì)算問題。薄板近似和屏近似計(jì)算過程中利用薄板內(nèi)均勻介質(zhì)Green 函數(shù)值近似表示De wolf 近似后背景Green 函數(shù)[4]，當(dāng)介質(zhì)橫向非均性很強(qiáng)時(shí)，該近似方式的誤差相對(duì)較大。

（5）介質(zhì)的橫向非均勻性問題。薄板近似和屏近似法在F‐K 域利用背景速度完成相移部分，在空間域?qū)λ俣葦_動(dòng)進(jìn)行校正，若局部速度擾動(dòng)變化相對(duì)較大、薄板內(nèi)不滿足弱散射條件（不滿足Born 近似條件）時(shí)，該方法計(jì)算誤差大，這也是該方法的計(jì)算瓶頸。

本文的目的是針對(duì)薄板近似和屏近似法實(shí)現(xiàn)過程中存在的幾個(gè)計(jì)算問題進(jìn)行分析討論。首先對(duì)薄板近似和屏近似法理論進(jìn)行回顧； 其次圍繞F‐K 域空間假頻問題、背景速度的選取、薄板厚度的劃分問題、背景Green 函數(shù)的計(jì)算問題、橫向非均勻性問題等展開討論； 最后，利用三維簡(jiǎn)單層狀模型和二維實(shí)際速度模型驗(yàn)證討論結(jié)果的有效性。

1 薄板近似和屏近似：回顧與分析

1. 1 薄板近似理論

二維散射總場(chǎng)可表示為[11]