導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中構(gòu)造函數(shù)方法例說

黃玉仙

［摘 要］構(gòu)造法是數(shù)學(xué)解題時的重要方法之一，也是高考的考查熱點。導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中如何構(gòu)造函數(shù)，是一個難度較大的“技術(shù)活”，其關(guān)鍵是對已知條件進(jìn)行等價變換，為同構(gòu)函數(shù)創(chuàng)造條件。

［關(guān)鍵詞］導(dǎo)數(shù)；構(gòu)造函數(shù)；方法

［中圖分類號］ G633.6 ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］? A ［文章編號］ 1674-6058（2023）26-0023-03

構(gòu)造法是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一，也是高考的考查熱點。它常與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)、不等式相結(jié)合，要求學(xué)生構(gòu)造函數(shù)解決相關(guān)問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和綜合素養(yǎng)。那么，在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中如何構(gòu)造函數(shù)呢？筆者結(jié)合幾則典例，逐一進(jìn)行分析探討。

一、由[f（x）]與[f（x）]的關(guān)系構(gòu)造函數(shù)

（一）利用[f（x）]與[xn]構(gòu)造

［例1］已知定義域為[xx≠0]的偶函數(shù)[f（x）]，其導(dǎo)函數(shù)為[f（x）]，對任意正實數(shù)[x]滿足[xf（x）>2f（x）]且[f（1）=0]，則不等式[f（x）<0]的解集是（? ? ? ?）。

A．（-∞，1）? ? ? B．（-1，1）

C．（-∞，0）∪（0，1） D．（-1，0）∪（0，1）

所以[|x|<1]，故[x∈ ][（-1，0）?（0，1）]，故選D。

點評：利用[f（x）]與[xn]構(gòu)造函數(shù)：①出現(xiàn)[nf（x）+xf（x）]形式，構(gòu)造函數(shù)[F（x）=xnf（x）]；②出現(xiàn)[xf（x）-nf（x）]形式，構(gòu)造函數(shù)[F（x）=f（x）xn]。

（二）利用[f（x）]與[ex]構(gòu)造

［例2］已知[fx]是函數(shù)[y=fxx∈R]的導(dǎo)函數(shù)，對于任意的[x∈R]都有[fx+fx>1]，且[f0=2023]，則不等式[exfx>ex+2022]的解集是（ ）。

A.（2022，+∞）? ? ? ? ? ? ?B. （-∞，0）∪（2023，+∞）

C.（-∞，0）∪（0，+∞）? D.（0，+∞）

解析：（法1）構(gòu)造特殊函數(shù)。令[fx=2023]，則[fx+fx=2023>1]滿足題目條件，把[fx=2023]代入[exfx>ex+2022]得[2023ex>ex+2022]解得[x>0]。故選[D]。

（法2）構(gòu)造輔助函數(shù)。令[gx=exfx-ex]，則[gx=exfx+fx-1>0]，所以[gx]在[R]上單調(diào)遞增，又因為[g0=f0-1=2022]，所以[exfx>ex+2022?gx>g0]，所以[x>0]，故選D。

點評：（1）出現(xiàn)[f（x）+n

（三）利用[f（x）]與[sinx、cosx]構(gòu)造函數(shù)

二、通過分離變量構(gòu)造函數(shù)

當(dāng)條件式含有兩個變量時，可對條件變形化簡，將變量分離，即化為等式或不等式的左右兩側(cè)形式相當(dāng)，一邊一個變量，根據(jù)結(jié)構(gòu)特點構(gòu)造函數(shù)，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得出兩個變量的關(guān)系，進(jìn)而解決問題。

［例4］（1）已知[x∈N]，[y∈N]，[x<y]，則方程[xy=yx]的解的組數(shù)為（ ）。

A. 0 B. 1 C. 2 D. 無窮多個

（2）已知實數(shù)[x]，[y]滿足[eylnx=yex]，[y>1]，則[x]、[y]的大小關(guān)系為（ ）。

A. [y≥x] B. [y<x] C. [y>x] D. [y≤x]

三、根據(jù)數(shù)值特點構(gòu)造函數(shù)

在數(shù)值大小比較問題中，根據(jù)數(shù)值的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造對應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，最后由單調(diào)性比出數(shù)值的大小。

［例5］（1）已知實數(shù)a，b，[c∈（0，1）]，且[ae2=2ea]，[be3=2eb]，[ce3=3ec]，則（ ）。

A. [a<b<c]? ? B. [c<a<b]

C. [b<c<a] ? ? D. [c<b<a]

（2）已知[a=20222024]，[b=20232023]，[c=20242022]，則[a]，[b]，[c]的大小關(guān)系為（ ）。

A. [b>c>a]? ? B. [b>a>c]

C. [a>c>b] ? ? ? D. [a>b>c]

令[g（x）=（x+1）-xlnx]，則[g（x）=-lnx<0]，∴[g（x）]在[e2，+∞]上單調(diào)遞減，∴[g（x）≤g（e2）=

點評：對于給出具體的數(shù)值比較大小的問題，當(dāng)采用基礎(chǔ)的“化同底”“化同指”方法和中間值法不能解決時，可對數(shù)值進(jìn)行合理變形，尋找結(jié)構(gòu)的相同點，依次為突破口，構(gòu)造函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小。

四、根據(jù)指對變形構(gòu)造函數(shù)

當(dāng)一個等式或不等式同時出現(xiàn)指數(shù)形式和對數(shù)形式時，為了根據(jù)同構(gòu)原理構(gòu)造函數(shù)，一般先要對它進(jìn)行指對變形，即指數(shù)形式化為對數(shù)形式，或把對數(shù)形式化為指數(shù)形式。

［例6］已知實數(shù)[a>0]，[e=2.718]…，對任意[x∈（-1，+∞）]，不等式[ex≥ae2+lnax+a]恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）。

點評：本例采用了指對同構(gòu)法。指對同構(gòu)，經(jīng)常使用的變換形式有兩種，一種是將[x]變成[lnex]，然后構(gòu)造函數(shù)；另一種是將[x]變成[elnx]，然后構(gòu)造函數(shù)。常見的同構(gòu)形函數(shù)有：[xlnx]與[xex]；[x+lnx]與[x+ex]。常見的同構(gòu)變形有：[x=elnx=lnex]；[xlnx=elnx·lnx]；[xex=elnx+x=lnex·ex]。此外，需注意同構(gòu)后的整體變量范圍。

五、先換元再構(gòu)造函數(shù)

求解不等式恒成立問題，可先化簡不等式，根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)進(jìn)行構(gòu)造函數(shù)，為了構(gòu)造合理的函數(shù)，往往先換元，然后通過導(dǎo)數(shù)研究換元后所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等性質(zhì)，從而將問題求解出來。

［例7］（多選）若實數(shù)[x]，[y]滿足[4lnx+2ln2y≥x2+8y-4]，則（ ）。

點評：本例先化簡已知不等式，利用換元法以及構(gòu)造函數(shù)法，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得[x]和[y]，進(jìn)而判斷出正確答案。換元起到了化繁為簡的作用。

由此可見，在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中構(gòu)造函數(shù)，是一個難度較大的“技術(shù)活”，其關(guān)鍵是對已知條件進(jìn)行等價變換，為同構(gòu)函數(shù)創(chuàng)造條件。只有在平時訓(xùn)練中不斷積累經(jīng)驗，不斷感悟，才能在考試中對這類問題有所斬獲。