建構(gòu)數(shù)學(xué)模型解決生物問(wèn)題

王紫惠

數(shù)學(xué)是一門(mén)工具學(xué)科，在高中的物理與化學(xué)學(xué)科中廣泛地應(yīng)用。在生物學(xué)科教學(xué)中，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，對(duì)學(xué)生的理科思維培養(yǎng)也起到一定的作用。

數(shù)學(xué)模型高中生物理科思維

一、高中生物教學(xué)中的數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)是一門(mén)工具學(xué)科，在高中的物理與化學(xué)學(xué)科中廣泛的應(yīng)用。由于高中生物學(xué)科以描述性的語(yǔ)言為主，學(xué)生不善于運(yùn)用數(shù)學(xué)工具來(lái)解決生物學(xué)上的一些問(wèn)題。這些需要教師在平時(shí)的課堂教學(xué)中給予提煉總結(jié)，并進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。所謂數(shù)學(xué)建模，就是把現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問(wèn)題加以提煉，抽象為數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，驗(yàn)證模型的合理性，并用該數(shù)學(xué)模型所提供的解答來(lái)解釋現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，我們把數(shù)學(xué)知識(shí)的這一應(yīng)用過(guò)程稱(chēng)為數(shù)學(xué)建模。在生物學(xué)科教學(xué)中，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，對(duì)理科思維培養(yǎng)也起到一定的作用。

二、數(shù)學(xué)建模思想在生物學(xué)中的應(yīng)用

1.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

生物圖形與數(shù)學(xué)曲線(xiàn)相結(jié)合的試題是比較常見(jiàn)的一種題型。它能考查學(xué)生的分析、推理與綜合能力。這類(lèi)試題從數(shù)形結(jié)合的角度，考查學(xué)生用數(shù)學(xué)圖形來(lái)表述生物學(xué)知識(shí)，體現(xiàn)理科思維的邏輯性。

例1：如下圖1表示某種生物細(xì)胞分裂的不同時(shí)期與每條染色體DNA含量變化的關(guān)系；圖2表示處于細(xì)胞分裂不同時(shí)期的細(xì)胞圖像。以下說(shuō)法正確的是（）

A.圖2中甲細(xì)胞處于圖1中的BC段，圖2中丙細(xì)胞處于圖1中的DE段

B.圖1中CD段變化發(fā)生在減數(shù)Ⅱ后期或有絲分裂后期

C.就圖2中的甲分析可知，該細(xì)胞含有2個(gè)染色體組，秋水仙素能阻止其進(jìn)一步分裂

D.圖2中的三個(gè)細(xì)胞不可能在同一種組織中出現(xiàn)

解析：這是一道比較典型的數(shù)形結(jié)合題型：從圖2上的染色體形態(tài)不難辨別甲為有絲分裂后期、乙為減Ⅱ后期和丙為減Ⅱ中期；而圖1中的AB段表示的是間期中的（S期）正在進(jìn)行DNA復(fù)制的過(guò)程，BC段表示的是存在姐妹染色單體（含2個(gè)DNA分子）的染色體，DE段表示的是著絲點(diǎn)斷裂后的只含1個(gè)DNA的染色體。此題的答案是B。

2.排列與組合的應(yīng)用

排列與組合作為高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)。在減數(shù)分裂過(guò)程中，減Ⅰ分裂（中期）的同源染色體在細(xì)胞中央的不同排列方式，在細(xì)胞兩極出現(xiàn)不同的染色體組合，最終形成不同基因組成的配子，這是遺傳的分離定律與自由組合定律細(xì)胞學(xué)證據(jù)。同樣，遺傳信息的傳遞與表達(dá)過(guò)程中，也涉及到堿基的排列與密碼子的組合方式。因此，教師在教學(xué)中，從具體的實(shí)例出發(fā)，結(jié)合排列與組合知識(shí)，解決生物學(xué)上的一些疑難問(wèn)題。

3.數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

在平時(shí)的教學(xué)中，教師要善于從已有的知識(shí)過(guò)渡到新知識(shí)，詮釋新知識(shí)與已有知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別，以利于學(xué)生進(jìn)行同化學(xué)習(xí)。教師通過(guò)對(duì)一些實(shí)例分析、協(xié)助學(xué)生歸納出一般的規(guī)律并構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。學(xué)生通過(guò)上位學(xué)習(xí)，把數(shù)學(xué)中的相關(guān)知識(shí)融入到生物學(xué)科中來(lái)，做到舉一反三。然后通過(guò)運(yùn)用新規(guī)律，進(jìn)一步檢驗(yàn)、鞏固新知識(shí)，并實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正遷移。

例2：若讓某雜合子連續(xù)自交，能表示自交代數(shù)和純合子比例關(guān)系是（）

解析：假設(shè)此雜合子的基因型為Aa、采用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)雜合子自交的后代概率進(jìn)行推算（一般學(xué)生都會(huì)）。自交第一代的雜合子概率為1/2，純合子的概率為1/2（顯、隱性純合子），自交第二代的雜合子概率為（1/2）2……自交第N代的雜合子概率為（1/2）N，而純合子則為1-（1/2）N，然后再構(gòu)建數(shù)學(xué)曲線(xiàn)模型。本題答案為D。

4.概率的計(jì)算

高中生物的遺傳機(jī)率的計(jì)算是教學(xué)的難點(diǎn)，教師通過(guò)對(duì)具體實(shí)例的解析，協(xié)助學(xué)生構(gòu)建概率相加與相乘原理。比如，分類(lèi)用概率相加原理；分步用概率相乘原理。

例3：A a B b×A a B B相交子代中基因型a a B B所占比例的計(jì)算。

解析：因?yàn)锳 a×A a相交子代中a a基因型個(gè)體占1/4，B b×B B相交子代中B B基因型個(gè)體占1/2，所以a a B B基因型個(gè)體占所有子代的1/4×1/2=1/8。由概率分步相乘原理，可知子代個(gè)別基因型所占比例等于該個(gè)別基因型中各對(duì)基因型出現(xiàn)概率的乘積。

5.生態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

生態(tài)學(xué)的一般規(guī)律中，常常求助于數(shù)學(xué)模型的研究，理論生態(tài)學(xué)中涉及到大量的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的問(wèn)題。在高中生物學(xué)中有種群的動(dòng)態(tài)模型研究，如“J”與“S”型曲線(xiàn)；另外，種間競(jìng)爭(zhēng)及捕食的數(shù)學(xué)模型等等。

例4：在實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行了兩類(lèi)細(xì)菌競(jìng)爭(zhēng)食物的實(shí)驗(yàn)。在兩類(lèi)細(xì)菌的混合培養(yǎng)液中測(cè)定了第Ⅰ類(lèi)細(xì)菌后一代（即Zt+1）所占總數(shù)的百分?jǐn)?shù)與前一代（即Zt）所占百分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系。在下圖中，實(shí)線(xiàn)表示觀測(cè)到的Zt+1和Zt之間的關(guān)系，虛線(xiàn)表示Zt+1=Zt時(shí)的情況。從長(zhǎng)遠(yuǎn)看，第Ⅰ類(lèi)和第Ⅱ類(lèi)細(xì)菌將會(huì)發(fā)生什么情況？（）

A.第Ⅰ類(lèi)細(xì)菌與第Ⅱ類(lèi)細(xì)菌共存

B.兩類(lèi)細(xì)菌共同增長(zhǎng)

C.第Ⅰ類(lèi)細(xì)菌把第Ⅱ類(lèi)細(xì)菌從混合培養(yǎng)液中排除掉

D.第Ⅱ類(lèi)細(xì)菌把第Ⅰ類(lèi)細(xì)菌從混合培養(yǎng)液中排除掉

解析：兩類(lèi)細(xì)菌在實(shí)驗(yàn)條件下，同一環(huán)境中不存在其他生物因素的作用時(shí)，競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)果是一種生物生存下來(lái)，另一種被淘汰現(xiàn)象。從上述圖形的對(duì)角線(xiàn)（虛線(xiàn)）上可以看出在虛線(xiàn)上任取一點(diǎn)作橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)得到的是相同的數(shù)據(jù)，這說(shuō)明了同種細(xì)菌后一代與前一代在混合培養(yǎng)液中的比例沒(méi)有變化，說(shuō)明它們之間是共存的，不是競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系。而實(shí)線(xiàn)位于虛線(xiàn)下方，用同樣的方法不難得出，第Ⅰ類(lèi)細(xì)菌的后一代含量比前一代含量減少了，在競(jìng)爭(zhēng)中是劣勢(shì)的種群。本題答案為D。6.生物作圖及曲線(xiàn)分析

生物作圖在近些年的高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)，對(duì)能力要求比較高，要求學(xué)生會(huì)從數(shù)形中提煉出有用的信息。教師在平時(shí)的教學(xué)中，可以結(jié)合生物學(xué)知識(shí)解決一些難以理解的、比較抽象的圖形和曲線(xiàn)。

例5：有一種酶催化反應(yīng)P+Q→R，右圖中的實(shí)線(xiàn)表示沒(méi)有酶時(shí)此反應(yīng)的進(jìn)程。在t1時(shí)，將催化此反應(yīng)的酶加入反應(yīng)混合物中。右圖中的哪條線(xiàn)能表示此反應(yīng)的真實(shí)進(jìn)程（圖中＼[P＼]、＼[Q＼]和＼[R＼]分別代表化合物P、Q和R的濃度）？（）

A.ⅠB.ⅡC.ⅢD.ⅣE.Ⅴ

解析：A、B和D都不對(duì)。酶作為催化劑不能改變化學(xué)反應(yīng)的平衡點(diǎn)即平衡常數(shù)（Keq=＼[R＼]/＼[P＼]＼[Q＼]），只能縮短達(dá)到平衡的時(shí)間。圖中實(shí)線(xiàn)平行于橫坐標(biāo)的線(xiàn)段延長(zhǎng)相交于縱坐標(biāo)的那個(gè)交點(diǎn)即為此反應(yīng)的Keq。Ⅰ，Ⅱ和Ⅳ三條線(xiàn)顯然都改變了此平衡點(diǎn)。C正確：線(xiàn)Ⅲ反映了加酶后縮短了達(dá)到平衡點(diǎn)的時(shí)間而不改變?cè)磻?yīng)的平衡點(diǎn)。E不對(duì)：曲線(xiàn)Ⅴ從t1至平衡前的線(xiàn)段不符合加酶后的真實(shí)進(jìn)程。

參考文獻(xiàn)：

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