靜態(tài)和動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解下料方法的比較研究

劉海金 賈春玉

（廣東培正學(xué)院管理學(xué)院，廣東 廣州 510830）

下料問(wèn)題是木材、玻璃、紡織品、鋼材以及建筑業(yè)等眾多行業(yè)的常見(jiàn)問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題涉及生產(chǎn)下料、裝箱（即下料的反向問(wèn)題）配送等。下料方式和方法對(duì)降低企業(yè)運(yùn)營(yíng)成本、高效并快速求得較少的下料方案和提高材料利用率至關(guān)重要。目前，已有的研究成果主要涵蓋啟發(fā)式算法、整數(shù)規(guī)劃法以及智能搜索法[1]等。然而，整數(shù)規(guī)劃法在求解規(guī)模較大的下料問(wèn)題過(guò)程中經(jīng)常受限制，耗時(shí)較長(zhǎng)，甚至無(wú)法找出可行解。為應(yīng)對(duì)這類(lèi)挑戰(zhàn)，學(xué)界相繼提出了初始一大一小法[2]、平均數(shù)法和再平均法等改進(jìn)后的一大一小法[3]。盡管這3 種方法在某種程度上解決了相關(guān)問(wèn)題，但它們只考慮了初始原材料尺寸、各產(chǎn)品尺寸及產(chǎn)量要求，而沒(méi)有充分考慮已選定下料方案的影響。因此，這些方法仍有改進(jìn)空間。該文提出了以動(dòng)態(tài)規(guī)劃為基礎(chǔ)的求解方法，以改進(jìn)現(xiàn)有解法并提高優(yōu)化程度。該方法不僅停留在對(duì)原材料尺寸、產(chǎn)品尺寸和產(chǎn)量要求的考慮，還進(jìn)一步考慮了已選定下料方案的影響，實(shí)現(xiàn)了下料問(wèn)題的全面優(yōu)化。期待這種新的求解方法能為實(shí)際生產(chǎn)帶來(lái)更高效的解決方案，進(jìn)一步推動(dòng)相關(guān)行業(yè)的發(fā)展。

1 有關(guān)符號(hào)、名詞和參數(shù)的界定

設(shè)原材料長(zhǎng)度為H，生產(chǎn)產(chǎn)品品種數(shù)為n，產(chǎn)品尺寸為hj，下料方案種數(shù)為m，各種產(chǎn)品的產(chǎn)量為Qj，下料上限為UNj（不考慮產(chǎn)量大小時(shí)，一根原材料最多可下料第j種產(chǎn)品的個(gè)數(shù)），實(shí)際下料上限RNj（考慮產(chǎn)量大小時(shí)，一根原材料最多應(yīng)該下料第j種產(chǎn)品的個(gè)數(shù)），需要個(gè)數(shù)（每種產(chǎn)品生產(chǎn)時(shí)所需原材料個(gè)數(shù)）為XNj，下料個(gè)數(shù)（在某個(gè)下料方案中各產(chǎn)品下料個(gè)數(shù)）Cij，代表第i個(gè)下料方案中第j個(gè)產(chǎn)品的下料個(gè)數(shù)。方案中，下料個(gè)數(shù)上限（為了選擇代表性良好的方案，在某個(gè)下料方案中對(duì)下料個(gè)數(shù)的限制）為CNj。其中i=1，2，…，m，j=1，2，…，n。

大比例和小比例方案的確定根據(jù)3 個(gè)參數(shù)進(jìn)行，大比例參數(shù)KDj是確定某產(chǎn)品大比例方案的參數(shù)。為了滿(mǎn)足各種產(chǎn)品的產(chǎn)量要求，確保一個(gè)方案的某個(gè)產(chǎn)品下料個(gè)數(shù)大于等于該產(chǎn)品實(shí)際下料上限乘以大比例參數(shù)，使該產(chǎn)品下料個(gè)數(shù)足夠大。KDj取值范圍為0 ＜KDj≤1，通常取0.75左右。

小比例參數(shù)KXj是指為了保證各種產(chǎn)品的可下料總數(shù)與產(chǎn)量要求盡可能一致，便于優(yōu)化組合并提高優(yōu)化程度而設(shè)置的該產(chǎn)品下料上限的一定比例。KXj可保證在某個(gè)方案中該產(chǎn)品下料個(gè)數(shù)足夠小，并且下料個(gè)數(shù)小于等于該系數(shù)乘下料上限。KXj取值范圍通常為0.01 ＜KXj≤0.3，一般取0.1 左右。

下料個(gè)數(shù)上限比例參數(shù)為KSj。KSj是指為了便于優(yōu)化組合，確保代表性良好，在小比例方案中盡可能出現(xiàn)較多產(chǎn)品而設(shè)置的各產(chǎn)品下料上限的一定比例。KSj可保證各產(chǎn)品下料個(gè)數(shù)大小適中，使下料個(gè)數(shù)小于等于該系數(shù)乘下料上限（注意這里取下料上限，而不是實(shí)際下料上限RNj，否則數(shù)據(jù)過(guò)小，影響優(yōu)化程度）。KSj取值范圍一般為0.2＜KSj≤0.7，一般取0.5 左右。

綜上所述，可得如下文所示的重要計(jì)算公式。

下料上限UNj如公式（1）所示。

式中：符號(hào)“[]1”代表向下取整。

下文中（在大比例和小比例方案中）的符號(hào)“[]1”代表向上取整。

實(shí)際下料上限RNj如公式（2）所示。

需要個(gè)數(shù)XNj如公式（3）所示。

小比例方案中的下料個(gè)數(shù)上限CNj如公式（4）所示。

最優(yōu)解下限LN如公式（5）所示。

式中：符號(hào)“[]1”代表向上取整。

優(yōu)化程度Yp計(jì)算公式如（6）所示。

式中：Np為優(yōu)化結(jié)果，原材料需要個(gè)數(shù)。

2 靜態(tài)和動(dòng)態(tài)解法介紹

2.1 靜態(tài)解法介紹

靜態(tài)解法具體如下。

方法1，根據(jù)大比例參數(shù)KDj、小比例參數(shù)KXj和上限參數(shù)KSj統(tǒng)一設(shè)置，每種產(chǎn)品確保具有一個(gè)大比例方案。方案中下料個(gè)數(shù)Nj≥KDj·RNj，其余產(chǎn)品下料個(gè)數(shù)不限。每種產(chǎn)品確保具有一個(gè)小比例方案，方案中下料個(gè)數(shù)滿(mǎn)足1 ≤Nj≤KXj·RNj約束條件。其余產(chǎn)品下料個(gè)數(shù)滿(mǎn)足N≤KS·RN的約束條件。

方法2，可稱(chēng)為平均數(shù)法，即根據(jù)各產(chǎn)品需要個(gè)數(shù)與該數(shù)的平均數(shù)進(jìn)行比較，把產(chǎn)品分為2 種類(lèi)型，一是各產(chǎn)品需要個(gè)數(shù)大于等于該數(shù)的平均數(shù)，界定為短缺。該類(lèi)產(chǎn)品第一個(gè)參數(shù)不變，后2 個(gè)參數(shù)分別加k2和k3。其余產(chǎn)品為不短缺，將不短缺的產(chǎn)品的第一個(gè)參數(shù)減k1，其余2 個(gè)參數(shù)不變。其余與方法1 相同。

方法3，可稱(chēng)為再平均數(shù)法，即在方法2 平均數(shù)基礎(chǔ)上再求平均數(shù)，根據(jù)各產(chǎn)品需要個(gè)數(shù)與再平均數(shù)進(jìn)行比較，把產(chǎn)品分為2 種類(lèi)型，一是各產(chǎn)品需要個(gè)數(shù)大于等于再平均數(shù)，界定為緊缺，其余為不緊缺。在平均法的基礎(chǔ)上，將緊缺的產(chǎn)品KDj調(diào)整為KDj+k2，不緊缺KDj調(diào)整為KXj，其余不變。KXj系數(shù)與方法2 參數(shù)相同。緊缺的產(chǎn)品KSj調(diào)整為KSj+k1，不緊缺產(chǎn)品KSj調(diào)整為KXj，其余不變。其余與方法2 相同。

2.2 動(dòng)態(tài)解法介紹

該文提出了2 種動(dòng)態(tài)解法，一是根據(jù)方法2 進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整，選擇入選小比例方案，稱(chēng)為方法4；二是根據(jù)方法3 進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整，選擇入選小方案，稱(chēng)為方法5。2 種動(dòng)態(tài)解法方法如下。

方法4：在方法2 求解、確定各產(chǎn)品大比例方案后，計(jì)算各產(chǎn)品各方案累計(jì)下料個(gè)數(shù)及其平均數(shù)，將小于平均數(shù)為一類(lèi)，稱(chēng)為短缺，其余為不短缺。只進(jìn)一步限制不短缺一類(lèi)的取值上限，該文采用上限為1（也可用小比例上限代替1），其余與方法2 相同。

方法5：在方法3 求解、確定各產(chǎn)品大比例方案后，計(jì)算各產(chǎn)品各方案累計(jì)下料個(gè)數(shù)、累計(jì)下料個(gè)數(shù)平均數(shù)和再平均數(shù)，小于再平均數(shù)為一類(lèi)，稱(chēng)為緊缺，其余為不緊缺。進(jìn)一步限制不緊缺一類(lèi)的取值上限，該文采用上限為1。如果緊缺累計(jì)尺寸小于等于原材料尺寸，確保緊缺產(chǎn)品在小方案中出現(xiàn)，即下限為1，否則為0。避免都出現(xiàn)，否則會(huì)出現(xiàn)矛盾，其余與方法3 相同。

3 靜態(tài)和動(dòng)態(tài)解法優(yōu)勢(shì)與劣勢(shì)分析

3.1 靜態(tài)解法的優(yōu)勢(shì)與劣勢(shì)分析

3.1.1 靜態(tài)解法的優(yōu)勢(shì)

靜態(tài)解法沒(méi)有考慮求解過(guò)程中已入選下料方案的代表性、各產(chǎn)品數(shù)量和優(yōu)化保證程度，即各產(chǎn)品在已有入選下料方案中的出現(xiàn)次數(shù)及累計(jì)數(shù)量。靜態(tài)解法優(yōu)勢(shì)相對(duì)簡(jiǎn)單，計(jì)算工作量相對(duì)較少，便于編寫(xiě)求解程序，優(yōu)化程度較高，便于掌握和運(yùn)用。該方法只需要事先確定好相關(guān)比例和入選規(guī)則，進(jìn)行規(guī)劃求解，確定入選方案。規(guī)劃求解如果優(yōu)化程度不夠理想，可微調(diào)選相關(guān)比例參數(shù)，再求解2～3 組，通?？色@得滿(mǎn)意近似最優(yōu)解。

3.1.2 靜態(tài)解法的劣勢(shì)

靜態(tài)解法沒(méi)有考慮求解過(guò)程中已入選下料方案、各產(chǎn)品數(shù)量和優(yōu)化保證程度，有時(shí)會(huì)導(dǎo)致有些產(chǎn)品出現(xiàn)次數(shù)相對(duì)多或累計(jì)數(shù)量大，有些卻很少出現(xiàn)或累計(jì)數(shù)量不大，嚴(yán)重影響入選方案代表性程度，導(dǎo)致最終優(yōu)化程度不夠理想。靜態(tài)解法的現(xiàn)有方法主要包括一大一小法、平均數(shù)法和再平均法等改進(jìn)后的一大一小法。盡管這3 種方法在某種程度上解決了相關(guān)問(wèn)題，但它們只考慮了初始原材料尺寸、各產(chǎn)品尺寸及產(chǎn)量要求，沒(méi)有充分考慮已選定下料方案的影響，因此有時(shí)代表性不夠理想。

3.2 動(dòng)態(tài)解法的優(yōu)勢(shì)與劣勢(shì)分析

3.2.1 動(dòng)態(tài)解法的優(yōu)勢(shì)

動(dòng)態(tài)解法考慮求解過(guò)程中已入選的下料方案、各產(chǎn)品數(shù)量和優(yōu)化保證程度，即各產(chǎn)品在已有入選下料方案中的產(chǎn)品出現(xiàn)次數(shù)及累計(jì)數(shù)量。根據(jù)已入選的下料方案，決定后續(xù)入選方案，在多數(shù)情況下可有效克服靜態(tài)解法劣勢(shì)，最大限度地避免有些產(chǎn)品出現(xiàn)次數(shù)相對(duì)多或累計(jì)數(shù)量大，有些卻很少出現(xiàn)或累計(jì)數(shù)量不大，進(jìn)而影響入選方案代表性程度，導(dǎo)致最終優(yōu)化程度可能不夠理想。

3.2.2 動(dòng)態(tài)解法的劣勢(shì)

動(dòng)態(tài)解法的劣勢(shì)主要是計(jì)算工作量相對(duì)多，方法比靜態(tài)略復(fù)雜，因組合方案多樣性和產(chǎn)品尺寸、數(shù)量以及原材料尺寸組合特殊性，有時(shí)動(dòng)態(tài)解法優(yōu)化程度比靜態(tài)提高幅度不大。

4 求解原理與步驟

求解步驟可分為2 個(gè)階段。第一階段，優(yōu)化確定入選下料方案。第二階段，最終求解，即在入選優(yōu)化組合方案中規(guī)劃求解出近似最優(yōu)解。以方法1 為例，求解步驟如下。

第一階段，設(shè)計(jì)3 個(gè)參數(shù)數(shù)值，然后確定每種產(chǎn)品的2 種下料方案，一是根據(jù)大比例參數(shù)（KDj）規(guī)劃求解出一個(gè)大比例方案；二是根據(jù)小比例參數(shù)（KXj）和上限參數(shù)（KSj）規(guī)劃求解出一個(gè)小比例方案。設(shè)變量xij為第i個(gè)下料方案第j個(gè)產(chǎn)品的下料個(gè)數(shù)，則第一階段下料方案數(shù)學(xué)模型如下：1）第一階段第w（1 ≤w≤n）個(gè)產(chǎn)品第w個(gè)下料大比例方案數(shù)學(xué)模型為目標(biāo)函數(shù)。其中，xiw≥RNw·KDj，xij為非負(fù)整數(shù)（i≠w，j≠w），RNw代表第w個(gè)產(chǎn)品實(shí)際下料上限。2）第一階段第y（y=w+n）個(gè)下料方案第w個(gè)產(chǎn)品小比例方案數(shù)學(xué)模型為目標(biāo)函數(shù)。其中，，xiw≤RNw×KXj，xij≤CNj（j≠w），xiw≥1，xij為非負(fù)整數(shù)。

第二階段，最終求解。為了提高求解速度，在入選的若干個(gè)優(yōu)化組合方案中判斷是否有相同的方案，如果有，就將對(duì)應(yīng)下料個(gè)數(shù)賦值為0；否則保持原樣，剔出相同方案，在剩余最終入選的方案中規(guī)劃求解出近似最優(yōu)解。該方法在多數(shù)情況下可獲得滿(mǎn)意近似最優(yōu)解，但有時(shí)也會(huì)不理想。為了提高優(yōu)化程度，獲得更理想的近似最優(yōu)解，一方面可反復(fù)求解若干次（原因是有時(shí)有多個(gè)解），通常會(huì)提高優(yōu)化程度。另一方面，可微調(diào)參數(shù)，再求解若干次，可獲得滿(mǎn)意的近似最優(yōu)解。多數(shù)情況下只需求解一次就可獲得非常理想的近似最優(yōu)解。設(shè)變量xi為第i個(gè)最終入選下料方案采用個(gè)數(shù)，則第二階段數(shù)學(xué)模型為目標(biāo)函數(shù)，xi為非負(fù)整數(shù)。

5 求解實(shí)例

使用原材料200cm 棒料，生產(chǎn)產(chǎn)品（也可稱(chēng)為毛坯，以下統(tǒng)稱(chēng)為產(chǎn)品）長(zhǎng)度分別為77cm、53cm、42cm、27cm和20cm，5 種產(chǎn)品產(chǎn)量分別為32、156、56、119 和80個(gè)，如果忽略切割寬度工藝損耗，求解最省原材料的下料方法，解法如下。

計(jì)算相關(guān)數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。3 個(gè)參數(shù)（KDj、KXj、KSj）分別取0.95、0.07 和0.6，微調(diào)系數(shù)（k1、k2、k3）分別取0.08、0.03 和0.15，微調(diào)后的3 個(gè)參數(shù)見(jiàn)表2，采用方法4 進(jìn)行求解。

表1 實(shí)例1 相關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算

表2 方法4 微調(diào)后的3 個(gè)參數(shù)（KDj、KXj、KSj）

第一步，確定第一個(gè)產(chǎn)品大比例方案。設(shè)5 種產(chǎn)品在第一個(gè)產(chǎn)品大比例方案中的下料個(gè)數(shù)分別為x1，1、x1，2、x1，3、x1，4和x1，5，因?yàn)橐_保下料方案中第一個(gè)產(chǎn)品下料個(gè)數(shù)足夠大，因此應(yīng)滿(mǎn)足x1，1≥[2×0.87]1=2，則可確定第一種產(chǎn)品大比例下料方案數(shù)學(xué)模型為目標(biāo)函數(shù)maxZ=77x1，1+53x1，2+42x1，3+27x1，4+20x1，5，其中77x1，1+53x1，2+42x1，3+27x1，4+20x1，5≤200，x1，1≥2，變量為非負(fù)整數(shù)。

運(yùn)用Excel 規(guī)劃求解軟件解得x1，1=2，x1，3=1，其余均為0。此時(shí)目標(biāo)函數(shù)為maxZ=77×2+42×1=196cm。第一個(gè)方案為2、0、1、0、0。余下產(chǎn)品求解過(guò)程與第一個(gè)方案類(lèi)似，其余4 個(gè)大比例方案分別如下：第二個(gè)方案為0、3、0、0、2；第三個(gè)方案為0、0、4、1、0；第四個(gè)方案為0、0、0、7、0；第五個(gè)方案為0、0、0、0、10。然后確定各產(chǎn)品小比例方案，根據(jù)表2 中的KXj、KSj數(shù)值確定約束條件。

第二步，確定第一個(gè)產(chǎn)品小比例方案。計(jì)算前5 個(gè)大方案各產(chǎn)品累計(jì)下料個(gè)數(shù)，各產(chǎn)品累計(jì)下料個(gè)數(shù)分貝為2、3、5、8 和12，平均數(shù)為6，其中第4 和第5 個(gè)產(chǎn)品累計(jì)下料個(gè)數(shù)分別是8 和12，大于平均數(shù)6，因此這2 個(gè)產(chǎn)品是不短缺產(chǎn)品，需要限制其出現(xiàn)個(gè)數(shù)，增加約束x1，4≤1 和x1，5≤1。設(shè)5 種產(chǎn)品在第一個(gè)產(chǎn)品小比例方案中的下料個(gè)數(shù)分別為x6，1、x6，2、x6，3、x6，4和x6，5。因?yàn)橐_保下料方案中第一個(gè)產(chǎn)品所在比例足夠小且必須有，所以第一個(gè)產(chǎn)品在小比例方案中應(yīng)滿(mǎn)足x6，1≥1，x6，1≤[2×0.07]1=1，其余產(chǎn)品下料個(gè)數(shù)分別滿(mǎn)足小于等于（CNj）3、3、5、6，則第一種產(chǎn)品小比例方案數(shù)學(xué)模型為目標(biāo)函數(shù)maxZ=77x1，1+53x1，2+42x1，3+27x1，4+20x1，5。其中77x1，1+53x1，2+42x1，3+27x1，4+20x1，5≤200，x6，1≤1，x6，2≤3，x6，3≤3，x6，4≤5，x6，5≤6，x6，4≤1，x6，5 ≤1，x6，1≥1，變量為非負(fù)整數(shù)。解得x6，1=1，x6，2=1，x6，3=1，x6，4=1，x6，5=0，目標(biāo)函數(shù)為maxZ=77×1+53×1+42×1+27×1=199cm。

第六個(gè)方案為1、1、1、1、0。余下產(chǎn)品求解過(guò)程與第六個(gè)方案類(lèi)似，先計(jì)算上述各產(chǎn)品累計(jì)下料個(gè)數(shù)，再計(jì)算該數(shù)的平均數(shù)，其余4 個(gè)小比例方案分別如下：第七個(gè)方案為1、1、1、1、0；第八個(gè)方案為1、1、1、1、0；第九個(gè)方案為1、1、1、1、0；第十個(gè)方案為0、2、1、1、1。

第三步，規(guī)劃求解。經(jīng)比較，第六～第九方案相同，去掉第七、第八和第九方案（即去掉方案對(duì)應(yīng)下料個(gè)數(shù)分別賦值為0），再規(guī)劃求解。設(shè)實(shí)際7 個(gè)最終入選方案所采用的數(shù)量分別為x1、x2、x3、x4、x5、x6和x10，此時(shí)最終規(guī)劃求解數(shù)學(xué)模型為目標(biāo)函數(shù)minNp=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x10。其中2x1+x6≥32，3x2+x6+2x10≥156，x1+4x3+x6+x10≥56，x3+7x4+x6+x10≥119，2x2+10x5+x10≥80，xi為非負(fù)整數(shù)（i=1，2，...，10）。解得x1=0、x2=38、x3=5、x4=11、x5=0、x6=32、x10=5，目標(biāo)函數(shù)Np=38+5+11+32+5=91 根。5 種產(chǎn)品可下料總數(shù)分別為32、156、57、119 和81 個(gè)，其中第3 個(gè)和第5 個(gè)產(chǎn)品比要求的產(chǎn)量各多1 個(gè)，其余與產(chǎn)量相等，能滿(mǎn)足各產(chǎn)品產(chǎn)量要求。因優(yōu)化結(jié)果Np=91，最優(yōu)解下限LN=[（77×32+53×156+42×56+27×119+20×80）/200]1=90，優(yōu)化程度至少為[1-（91-90）/90]×100%≈98.9%。

5 種方法求解的Np分別為93、93、94、91 和94，優(yōu)化程度至少分別為96.7%、96.7%、95.6%、98.9%和95.6%。因此該例題方法4 最好，比方法2 優(yōu)化程度提高了3.3%。

6 試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

該文隨機(jī)選取100 個(gè)樣本，其中需求個(gè)數(shù)差異大的（最大與最小相差5 倍及以上）和不大的樣本各50 個(gè)。產(chǎn)品種數(shù)為4～5 個(gè)，產(chǎn)品尺寸為12cm～187cm，產(chǎn)品產(chǎn)量為20～300個(gè)，原材料尺寸為200cm～600cm，大比例參數(shù)為0.65～0.95，小比例參數(shù)為0.01～0.3，上限參數(shù)為0.3～0.7。

在差異大的樣本中，5 種方法優(yōu)化程度相對(duì)最好的出現(xiàn)次數(shù)分別為15、18、26、33 和24 次，分別占30%、36%、52%、66%和48%，平均優(yōu)化程度至少分別為91.2%、91.8%、95.92%、95.99%和96%。方法4 單獨(dú)出現(xiàn)最好次數(shù)為10 次，占比20%，其余均為0 次。5 種方法差異較明顯，方法1 最差，方法4 最好。動(dòng)態(tài)規(guī)劃解法方法4 比靜態(tài)解法方法2 的優(yōu)化程度平均提高4.1%，動(dòng)態(tài)解法6 與靜態(tài)解法方法3 幾乎無(wú)差異。

在差異不大的樣本中，5 種方法優(yōu)化程度相對(duì)最好出現(xiàn)次數(shù)分別為39、39、32、39 和39 次，分別占78%、78%、64%、78%和78%。平均優(yōu)化程度至少分別為98.32%、98.28%、97.65%、98.1%，97.39%和98.2%，方法2 和方法5 單獨(dú)出現(xiàn)最好次數(shù)分別為2 和4，占比4%和8%，只有方法3 略差，其余均相等。動(dòng)態(tài)與靜態(tài)解法幾乎無(wú)差異，5 種方法也無(wú)明顯差異，5 種方法都應(yīng)采用，取最好的方案作為最終優(yōu)化方案。

在100 個(gè)樣本中，5 種方法優(yōu)化程度相對(duì)最好出現(xiàn)次數(shù)分別為54、57、58、72 和63 次，分別占54%、57%、58%、72%和63%。5 種方法平均優(yōu)化程度只少分別為94.76%、95.03%、96.78%、97.04%和97.03%，具有一定差異，優(yōu)化程度級(jí)差為2.3%。方法2 的單獨(dú)最好出現(xiàn)次數(shù)為2 次，方法4 為10 次，方法5 為4 次，占比分別為2%、4%和10%。說(shuō)明這3 種方法不能被替代，最好結(jié)合使用，并擇優(yōu)作為最終優(yōu)化結(jié)果。動(dòng)態(tài)解法4 比靜態(tài)解法2 的優(yōu)化程度平均提高了2%。動(dòng)態(tài)解法6 與靜態(tài)解法3 相比幾乎無(wú)差異，優(yōu)化程度平均提高了0.23%。

7 結(jié)論

雖然靜態(tài)規(guī)劃求解方法在多數(shù)情況下能得到可接受的近似最優(yōu)解，但其僅考慮初始狀態(tài)，并未充分考慮已選取方案對(duì)后續(xù)方案選擇的影響，因此其優(yōu)化能力仍有提升空間。特別是在產(chǎn)品需求差異顯著的情況下（例如最大需求與最小需求相差5 倍以上），這種局限性更突出。動(dòng)態(tài)規(guī)劃解法在平均數(shù)法中的優(yōu)化程度可比靜態(tài)解法平均提高4.1%，但在再平均法中，兩者的差異幾乎可以忽略不計(jì)。因此，該文建議將上述策略并行使用，并根據(jù)實(shí)際結(jié)果進(jìn)行優(yōu)選，以獲得最終的優(yōu)化結(jié)果。然而，動(dòng)態(tài)解法由于僅考慮絕對(duì)入選方案累計(jì)下料個(gè)數(shù)，而忽視了相對(duì)數(shù)，因此仍有改進(jìn)余地。

綜上所述，該文提供的下料優(yōu)化策略為解決實(shí)際生產(chǎn)中的問(wèn)題提供了可行的解決方案，但仍有改進(jìn)空間。未來(lái)的研究將針對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行深入探索，以使生產(chǎn)更高效。