親緣選擇下間接互惠的量子鷹鴿博弈模型合作演化穩(wěn)定性

張新立,王新穎,程 程,付子芮

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧 大連 116029)

0 引言

自2005年《科學(xué)》提出了“合作行為如何演化是21世紀(jì)最關(guān)鍵的25個(gè)科學(xué)問題之一”以來[1],研究合作行為的演化穩(wěn)定性一直是國內(nèi)外學(xué)者重點(diǎn)關(guān)注的問題。Smith和Price[2]創(chuàng)立的演化博弈論及Nowak[3]提出的五大合作機(jī)制為研究合作行為演化穩(wěn)定性提供了有效的理論框架。在二人博弈中,鷹鴿博弈被廣泛使用,很多學(xué)者利用該理論對鷹鴿博弈合作演化穩(wěn)定性進(jìn)行了研究,其中以五大合作機(jī)制中親緣選擇和間接互惠最為常見。親緣選擇是指愿意與血緣關(guān)系近的伙伴合作的合作機(jī)制,如家族企業(yè)。Hines和Smith在具有親緣關(guān)系的鷹鴿博弈中得到混合演化穩(wěn)定策略的概率分布不同于純策略的概率分布[4]。Seidy和Ale等人分別從靜態(tài)和動(dòng)態(tài)角度展示了合作(鴿)策略為演化穩(wěn)定策略時(shí),親緣關(guān)系滿足的條件[5,6]。間接互惠是人們的善意或惡意不能直接回報(bào),而被傳遞了不相關(guān)的第三方的合作機(jī)制,如慈善企業(yè)。Nowak和Sigmund利用間接互惠的評分系統(tǒng),得到玩家知道對家得分的概率必須大于成本效益比,雙方才能達(dá)到合作[7,8]。Berger建立間接互惠的容忍度評分規(guī)則,表明對背叛者有一定的容忍度,可引導(dǎo)社會(huì)穩(wěn)定合作[9]。

上述文獻(xiàn)雖然已經(jīng)從完全理性發(fā)展到了有限理性,但在參與人支付函數(shù)方面,并沒有突破經(jīng)典博弈建立的理論范式。親緣選擇或間接互惠雖然能使個(gè)體間形成合作演化均衡,但很難回答這樣一個(gè)問題:由于合作系統(tǒng)內(nèi)部的個(gè)體間爭奪公共資源,必然為資源的有限性發(fā)生沖突,導(dǎo)致合作解體,鷹鴿博弈困境仍沒有解決。由Meyer[10]創(chuàng)立的量子博弈論為解決這個(gè)困境提供了有益思路。王斌等人給出了一個(gè)新的量子策略納什均衡并達(dá)到帕累托最優(yōu),解決了鷹鴿博弈困境[11]。Sun[12]等人通過改變糾纏度使量子鷹鴿博弈達(dá)到了合作。

基于上述在演化博弈理論下研究合作行為演化穩(wěn)定性的不足及量子博弈的優(yōu)勢,本文首先運(yùn)用量子博弈刻畫了鷹鴿博弈參與人支付函數(shù),然后把親緣選擇和間接互惠有機(jī)結(jié)合起來,建立親緣選擇下間接互惠的量子鷹鴿博弈合作演化模型,求出了博弈的演化穩(wěn)定策略(ESS),對親緣選擇、間接互惠和糾纏如何影響博弈合作進(jìn)行了分析。此理論不僅拓展了傳統(tǒng)博弈模型支付函數(shù)的表示形式,而且把兩種合作機(jī)制與量子博弈結(jié)合起來,在兩種合作機(jī)制和量子糾纏的統(tǒng)一框架下,解決人類競爭和沖突等問題,具有重要指導(dǎo)意義。

1 模型的假設(shè)與建立

1.1 量子博弈模型的建立

假設(shè)博弈中參與人是兩個(gè)有限理性主體,分別為參與人I和參與人II,雙方都有兩個(gè)可選擇的策略合作(鴿)策略D和背叛(鷹)策略H.假設(shè)雙方共同獲取某一收益為B,雙方發(fā)生沖突付出的成本為C,且C>B>0.則經(jīng)典鷹鴿博弈的收益矩陣為[13]:

參與人II

DH

(1)

(2)

1.2 親緣選擇下間接互惠量子鷹鴿博弈模型的建立

(3)

(4)

2 模型均衡點(diǎn)與演化穩(wěn)定性分析

2.1 模型均衡點(diǎn)

(5)

(6)

(7)

類似可計(jì)算參與人II的收益,進(jìn)而得到參與人I、II的復(fù)制動(dòng)態(tài)方程分別為:

(8)

(9)

2.2 均衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析

引理1[15]均衡點(diǎn)為演化穩(wěn)定策略(ESS)當(dāng)且僅當(dāng)其復(fù)制動(dòng)態(tài)方程的雅可比矩陣滿足DetJ>0和TrJ<0條件。

分別對F(x)與F(y)求偏導(dǎo)可得雅可比矩陣:

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

根據(jù)Friedman提出的均衡點(diǎn)穩(wěn)定性判定準(zhǔn)則(引理1),對上述五個(gè)均衡點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性分析有如下結(jié)論成立:

定理1 均衡G1(0,0)點(diǎn)不穩(wěn)定。

證明:均衡點(diǎn)G1(0,0)的Jaconbian矩陣為

J(G1(0,0))=

證明:均衡點(diǎn)G2(0,1)的Jaconbian矩陣為

J(G2(0,1))=

令DetJ(G2(0,1))>0,TrJ(G2(0,1))<0得

由于博弈收益矩陣是對稱的,對均衡點(diǎn)G3(1,0)穩(wěn)定分析后,可得到相同結(jié)論。

證明:均衡點(diǎn)G4(1,1)的Jaconbian矩陣為

定理4 均衡點(diǎn)G5(x*,y*)為鞍點(diǎn)。

證明:均衡點(diǎn)G5(x*,y*) Jaconbian矩陣對角線元素為0,故TrJ(G5(x*,y*))=0.因此均衡點(diǎn)G5(x*,y*)為鞍點(diǎn)。

2.3 合作影響因素分析

由圖1可知根據(jù)參與雙方的初始概率不同系統(tǒng)有三種演化結(jié)果:(1,1)(1,0)和(0,1).鞍點(diǎn)構(gòu)成了這三種收斂結(jié)果的臨界線,當(dāng)參與雙方開始博弈的初始概率在臨界線右上方時(shí),系統(tǒng)穩(wěn)定于(1,1),二人選擇合作?？梢姲包c(diǎn)(x*,y*)是博弈演化路徑的重要影響因素,現(xiàn)考慮鞍點(diǎn)對合作的影響。x*和y*越接近0,右上方趨近(1,1)的概率越大,雙方?jīng)Q定合作的概率越大。

圖1 博弈演化路徑圖

1) 糾纏度

2) 辨別度

3) 相關(guān)度

3 數(shù)值仿真

僅從理論層面對模型進(jìn)行分析推導(dǎo),無法直觀地反映各參數(shù)對博弈合作的影響,因此本文利用MATLAB軟件數(shù)值分析糾纏度γ、相關(guān)度r和辨別度a對參與人I合作演化的影響。對參與人II的影響與參與人I相同,設(shè)置初始狀態(tài)(0.2,0,4)、B=2、C=3.

圖2、3、4分別為參與人I選擇合作的概率隨糾纏度γ、相關(guān)度r、辨別度a變化的情況。當(dāng)a=0.1時(shí),必須保證sin2γ≥0.5參與人才會(huì)選擇合作并趨于穩(wěn)定;當(dāng)a=0.6時(shí),sin2γ=0.1參與人就會(huì)選擇合作并保持穩(wěn)定。由此可見量子糾纏度是正向促進(jìn)合作的,若辨別度較大,糾纏度較小,雙方也會(huì)合作。當(dāng)sin2γ=0.6,a=0.1或sin2γ=0.1,a=0.6時(shí),較低的相關(guān)度也會(huì)使雙方合作;當(dāng)a=0.1,sin2γ=0.1時(shí),要求r≥0.8才會(huì)合作,相關(guān)度越大越有利于合作。當(dāng)sin2γ=0.1時(shí),a≥0.4才會(huì)合作;當(dāng)sin2γ=0.6,糾纏度較大,辨別度即使很小,雙方也會(huì)穩(wěn)定合作。符合本文的理論分析部分,由以上分析可見糾纏度、辨別度和相關(guān)度均會(huì)正向促進(jìn)合作,為使參與雙方合作,應(yīng)增加三參數(shù)的值。

圖2 糾纏度γ對合作的影響

圖3 相關(guān)度r對合作的影響

圖4 辨別度a對合作的影響

4 結(jié)論