問題變式在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探究

唐鵬

［摘 要］在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師如何創(chuàng)設(shè)情境，引入問題并通過問題變式來激發(fā)學(xué)生思維，最終引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建知識框架是一個值得探討的問題。文章以“函數(shù)的零點與方程的解”的教學(xué)為例，闡述如何通過問題變式引導(dǎo)學(xué)生自主整理歸納函數(shù)零點存在定理。

［關(guān)鍵詞］問題變式；函數(shù)零點存在定理；高中數(shù)學(xué)

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）23-0013-03

一般的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)歸納起來大致分兩大類：一是教師直接講授，幫助學(xué)生理解，通常的模式是“知識—講解—理解—應(yīng)用”；二是教師創(chuàng)設(shè)問題情境，導(dǎo)入問題，并通過問題變式，提升學(xué)生的思辨能力，引導(dǎo)學(xué)生自主探究與建構(gòu)知識，其模式是“情境—探究—總結(jié)—應(yīng)用”。前者屬于接受式學(xué)習(xí)，不利于學(xué)生的思維發(fā)展；后者以學(xué)生為主體，由教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，自主建構(gòu)知識。但如果教師的引導(dǎo)和問題變式不夠恰當(dāng)，過于勉強(qiáng)，便會使整個課堂教學(xué)流于形式，學(xué)生被動接受知識。因此，如何創(chuàng)設(shè)情境才能自然地引發(fā)問題及其變式，同時給學(xué)生更大的空間去聯(lián)想、思考、表達(dá)和總結(jié)，是值得每一個高中數(shù)學(xué)教師深入探索的問題。下面，筆者以新人教A版數(shù)學(xué)教材必修第一冊“函數(shù)的零點與方程的解”這一節(jié)的教學(xué)為例進(jìn)行說明。

一、問題變式在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用思路

在“二次函數(shù)與一元二次方程、不等式”一節(jié)中就有提及函數(shù)零點的概念，在教學(xué)這節(jié)內(nèi)容時，筆者引導(dǎo)學(xué)生在函數(shù)與方程之間構(gòu)建聯(lián)系，并從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生歸納出零點的概念及其幾何意義，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng)。而在“函數(shù)的零點與方程的解”教學(xué)中涉及的函數(shù)零點存在定理比較抽象，學(xué)生雖然掌握了一些基本的初等函數(shù)知識，但是想要把握該定理的本質(zhì)仍然較為吃力。鑒于數(shù)形結(jié)合思想不僅能幫助學(xué)生理解知識與解決問題，還能提升學(xué)生的創(chuàng)新思維能力及知識遷移能力，筆者嘗試用數(shù)形結(jié)合的方法從函數(shù)零點存在定理的數(shù)學(xué)內(nèi)涵出發(fā)，化數(shù)為形，設(shè)計一個真實、開放的數(shù)學(xué)情境，即給出一個不完整的函數(shù)圖象，讓學(xué)生自由、充分、靈活地展開探究，并設(shè)置問題變式（何時會有零點？有幾個零點？什么時候只有一個零點？等）引導(dǎo)學(xué)生思考，從而發(fā)現(xiàn)該函數(shù)的各種可能（如沒有零點、有一個零點、有兩個零點……），讓學(xué)生在問題變式中不斷豐富認(rèn)知，建構(gòu)知識。待學(xué)生通過探究歸納總結(jié)出函數(shù)零點存在定理后，筆者引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實際操練，應(yīng)用函數(shù)零點存在定理解決實際問題，做到學(xué)以致用、鞏固新知，同時為學(xué)習(xí)“用二分法求方程的近似解”做好鋪墊。

二、問題變式在引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用案例

（一）回顧引入，構(gòu)建聯(lián)系

師：同學(xué)們，請觀察本節(jié)課的標(biāo)題“函數(shù)的零點與方程的解”，其中包含兩個概念，而這兩個概念我們在第二章已經(jīng)學(xué)習(xí)過了。大家還記得什么是函數(shù)的零點嗎？

生1：函數(shù)的零點是使[f（x）=0]的實數(shù)[x]的值。

師：所以函數(shù)的零點是一個數(shù)并不是一個點。

師：對于二次函數(shù)[y=ax2+bx+c]與一元二次方程[ax2+bx+c=0]，其判別式為[Δ=b2-4ac]。這三者間的關(guān)系如下表所示。

師：觀察表格，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生2：二次函數(shù)的圖象與[x]軸的交點和一元二次方程的解相對應(yīng)。

師：那函數(shù)的零點是不是也一樣呢？

生3：函數(shù)的零點、方程的解和圖象的交點也相對應(yīng)。

（二）在問題變式中探究函數(shù)零點存在定理

1.在問題變式中引入定理（一定會有零點嗎？）

師：我們知道圖象與[x]軸交點的橫坐標(biāo)就是函數(shù)的零點，而零點兩側(cè)的函數(shù)值是異號（見圖1），那么只要函數(shù)值異號，就代表這個區(qū)間里一定存在零點嗎？

師：現(xiàn)在同學(xué)們有不同的意見，那請大家在學(xué)案上試著畫一畫，再小組討論畫出來的函數(shù)圖象與[x]軸有沒有交點，如有交點，是多少個。

生4：（展示圖2）一定存在。

生5：（展示圖3）我不贊同生4的觀點。函數(shù)圖象不連續(xù)的時候，就沒有零點了。

（學(xué)生自由討論達(dá)成共識：當(dāng)兩側(cè)函數(shù)值異號且圖象連續(xù)時，一定有零點。）

師：如果其他函數(shù)圖象連續(xù)不斷時，是否一定有零點呢？

生6：不一定。當(dāng)所有圖象都在[x]軸的同一側(cè)時，就有可能設(shè)有零點。

師：因此想要有零點，這個函數(shù)需要滿足什么條件？

生7：函數(shù)圖象在[x]軸兩側(cè)且圖象連續(xù)。

師：函數(shù)有零點就一定說明函數(shù)值異號且函數(shù)圖象連續(xù)嗎？（錯誤，這并不是一個充要條件）

2.在問題變式中深入探究（若零點存在，那零點的個數(shù)確定嗎？）

師：滿足了函數(shù)值異號和圖象連續(xù)就會有交點，那有多少個呢？（展示學(xué)生的答案，如圖4、圖5、圖6所示，學(xué)生回答有多個且數(shù)量不定）

師：函數(shù)零點存在定理——如果函數(shù)[y=f（x）]在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有[f（a）f（b）<0]，那么，函數(shù)[y=f（x）]在區(qū)間[（a，b）]內(nèi)至少有一個零點，即存在[c∈（a，b）]，使得[f（c）=0]，這個[c]也就是方程[f（x）=0]的解。

師：對于這個定理，你們覺得我們需要重點把握什么？

生8：函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的圖象連續(xù)不斷，而且在區(qū)間端點的函數(shù)值異號，則一定有零點；零點的個數(shù)并不一定；有零點推不出函數(shù)值異號且圖象連續(xù)。

3.在問題變式中激發(fā)學(xué)生思辨（什么情況下才能保證有且只有一個零點呢？）

師：我們發(fā)現(xiàn)滿足函數(shù)值異號且圖象連續(xù)是一定有零點的，但是個數(shù)是不確定的，那么什么情況下才能保證有且只有一個零點呢？

（學(xué)生觀察圖象，小組討論）

生9：再添加函數(shù)在[a，b]上單調(diào)的條件。

師：圖象連續(xù)且函數(shù)值異號可以保證有零點，再加上其單調(diào)性就可以說這個函數(shù)在[a，b]上有且只有一個零點。

［例1］判斷函數(shù)[f（x）=lnx+2x-6]的零點個數(shù)。

解：因為[f（x）=lnx+2x-6]在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以函數(shù)[f（x）]在定義域上至多有一個零點，又因為[f（1）=-4<0]， [f（3）=ln3>0]，所以[f（x）]在區(qū)間[（1，3）]上有唯一零點。

另外，還可通過圖象進(jìn)行觀察，函數(shù)[f（x）=lnx+2x-6]的零點個數(shù)即為函數(shù)[f（x）=lnx]與函數(shù)[g（x）=6-2x]圖象的交點個數(shù)，如圖7所示.

師（追問）：觀察函數(shù)圖象，借助計算器，你能進(jìn)一步縮小函數(shù)零點所在的范圍嗎？

（學(xué)生討論交流，為后續(xù)學(xué)習(xí)“用二分法求方程的近似解”做好鋪墊。）

［例2］若函數(shù)[f（x）=lnx+x2+a-1]在區(qū)間[（1，e）]內(nèi)有唯一的零點，則實數(shù)[a]的取值范圍是多少？

解：因為函數(shù)[f（x）=lnx+x2+a-1]在區(qū)間[（1，e）]內(nèi)有唯一的零點，且當(dāng)[x>0]時，函數(shù)[f（x）=lnx+x2+a-1]單調(diào)遞增，所以[f（1）<0]， [f（e）>0]，由此可得[a<0]，[1+e2+a-1>0]，解得[a∈（-e2，0）]。

三、教學(xué)反思

數(shù)學(xué)家康托爾說過：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它的自由?！北竟?jié)課的教學(xué)，在學(xué)生沒有“函數(shù)零點存在定理”意識的基礎(chǔ)上，利用一個真實、開放的數(shù)學(xué)情境激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生對熟悉的數(shù)學(xué)情境進(jìn)行觀察和思考，激活學(xué)生的思維，自然產(chǎn)生“零點是什么？”“零點是否存在？”“零點存在需要什么條件？”“如果存在零點，有多少種可能性？”等變式問題，激發(fā)學(xué)生聯(lián)想，并產(chǎn)生內(nèi)驅(qū)力去自主探索學(xué)習(xí)。教師鼓勵學(xué)生小組合作對零點存在的條件進(jìn)行總結(jié)，幫助學(xué)生將得到函數(shù)零點存在定理的有關(guān)要素從自然語言向嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言過渡，幫助他們構(gòu)建知識框架。在此基礎(chǔ)上，教師繼續(xù)進(jìn)行變式提問，從而提升學(xué)生的思維能力。

在理論教學(xué)過程中鑒于函數(shù)零點知識內(nèi)容的抽象性和復(fù)雜性，教師引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合將其以更簡單的圖形方式呈現(xiàn)出來，從而理解并解決問題，利用數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)變，鍛煉學(xué)生思維邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性，幫助學(xué)生條理清晰地掌握函數(shù)知識以及更準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，提升學(xué)生的知識應(yīng)用能力。在最后具體的應(yīng)用過程中教師還應(yīng)全面了解學(xué)生，進(jìn)行合理分層；結(jié)合具體內(nèi)容，分層設(shè)計目標(biāo)；緊扣教學(xué)實際，全面助力教學(xué)質(zhì)量的提升和學(xué)生的個性化發(fā)展。

通過本節(jié)課的嘗試，不難看出學(xué)生有強(qiáng)大的想象能力和論證能力。在變式問題的探索過程中，學(xué)生會產(chǎn)生很多奇思妙想，因此如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中創(chuàng)設(shè)情境，幫助學(xué)生在變式問題的探究中自主構(gòu)建知識框架是值得每一個教師去探索的。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 陳群峰.用“現(xiàn)象”助“建構(gòu)”：《函數(shù)零點存在性定理》教學(xué)嘗試［J］.教育研究與評論（課堂觀察），2020（3）：54-57.

［2］? 王冬晴，張榮延.核心素養(yǎng)理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計［J］.贏未來，2018（22）：179.

［3］? 楊高峰.數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中的應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2020（10）：122-123.

［4］? 馮夕凱.分層教學(xué)法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探索［J］.中學(xué)生作文指導(dǎo)，2019（32）：119-120.

（責(zé)任編輯 黃春香）