分?jǐn)?shù)階微分方程初值問(wèn)題解的存在性

崔亞瓊，康淑瑰，陳慧琴

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山西大同 037009)

將探討Riemann-Liouville 型分?jǐn)?shù)階微分方程初值問(wèn)題(IVP)

解的存在性，其中，α∈(0,1),b為非零常數(shù)。全文假設(shè)非線性項(xiàng)f滿(mǎn)足下列條件(C)f(t,0)=0,f:(0,T]×?→? 連續(xù)有界，且M=sup(t,x)∈(0,T]×?|f(t,x)|＜∞。

近年來(lái)，許多學(xué)者利用不同的理論和技巧探討了分?jǐn)?shù)階微分方程初值問(wèn)題解的存在性，如文獻(xiàn)[1-8]。其中[1-6]中，解函數(shù)定義在有限區(qū)間上，而[7-8]解函數(shù)定義在無(wú)限區(qū)間上。具體來(lái)說(shuō)，在[1]中，作者利用Schauder’s 不動(dòng)點(diǎn)定理研究了分?jǐn)?shù)階微分方程初值問(wèn)題

類(lèi)似于文獻(xiàn)[6]，這里選擇恰當(dāng)?shù)耐陚淇臻g，利用Banach 不動(dòng)點(diǎn)定理和Schauder’s 不動(dòng)點(diǎn)定理，分別給出IVP(1)唯一解和至少一個(gè)非平凡解的存在性，并給出一個(gè)相關(guān)的例子。

1 預(yù)備知識(shí)

這部分，首先介紹一些必要的分?jǐn)?shù)階微積分的定義和運(yùn)算性質(zhì)，詳細(xì)內(nèi)容可參見(jiàn)文獻(xiàn)[9]。

1.1 概念

定義1.1函數(shù)y:(a,+∞)→? 的α＞0 階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義為

等式右端在(a,+∞)上逐點(diǎn)定義。

定義1.2設(shè)α＞0 且n=[α]+1，連續(xù) 函數(shù)y:(a,+∞)→? 的α階Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

等式右端在(a,+∞)上逐點(diǎn)定義，其中t＞a。特別地，若α∈(0,1)，有

性質(zhì)1.1若p＞0,q＞0，則

1.2 引理

下面介紹幾個(gè)必要的引理。

引 理1.1（[9，p.145，定 理3.1]）設(shè)α＞0，n=[α]+1,G是? 中的一個(gè)開(kāi)子集，函數(shù)f:(a,b]×G→? 且f(t,x) ∈L(a,b),?x∈G。若函數(shù)y∈L(a,b)是下列初值問(wèn)題的解

引理1.2設(shè)A是Banach 空間B 到自身的映射。若存在自然數(shù)n0，使得映射An0為一壓縮映射，則A在空間B中存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)。

引理1.3（[10，p.157，定理3.2]）設(shè)D是Banach空間B 的有界閉凸集，算子A:D→D全連續(xù)，則A在D中必有不動(dòng)點(diǎn)。

利用引理1.1，有如下結(jié)論

引理1.4根據(jù)假設(shè)0 ＜α＜1 及f:(0,T]×?→?連續(xù)有界知，函數(shù)y∈L(0,T]為IVP(1)的解當(dāng)且僅當(dāng)

2 主要結(jié)論

2.1 定義算子

這部分，我們選取恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)空間，在其上定義積分算子并驗(yàn)證該算子在空間上是等度連續(xù)的。

顯然，B是完備的距離空間。

在空間B上定義算子

引理2.1設(shè)條件(C) 成立，則A:B→B 等度連續(xù)。

證一方面，由條件(C)，當(dāng)0 ＜t1≤t2≤T時(shí)，對(duì)任意y∈B，有

另一方面，證t1-α(Ay)(t) ∈C[0,T]。由條件(C)，當(dāng)t1=0,0 ＜t2≤T時(shí)，對(duì)任意的y∈B，有

對(duì)任意y∈B，當(dāng)0 ＜t1≤t2≤T，有

因此，當(dāng)t1→t2時(shí)，t11-α(Ay)(t1)→t21-α(Ay)(t2)一致成立，這表明t1-α(Ay)(t)∈C[0,T]。進(jìn)一步來(lái)說(shuō)，上式與y的選取無(wú)關(guān)，所以得到{Ay:y∈B}等度連續(xù)。

由引理2.1 知，A在B 中的非平凡不動(dòng)點(diǎn)等價(jià)于IVP(1)在B中的非平凡解。

2.2 定理證明

在非線性項(xiàng)滿(mǎn)足下面兩個(gè)條件之一時(shí)，分別給出IVP(1)解的存在性定理。

定理2.1設(shè)條件(C),(C1)成立，則IVP(1)存在唯一的非平凡解。

證 由引理3.1，知A:B→B。下證存在n0∈?，使得An0:B→B 是壓縮算子。由條件(C1),對(duì)任意y1,y2∈B,t∈[0,T]，有

由歸納法，對(duì)于任意自然數(shù)n，有

定理2.2若條件(C),(C2)成立，則IVP(1)在S 中至少存在一個(gè)非平凡解。

證（i）A:S→S。由引理2.1，知A:B→B。對(duì)任意y∈S,根據(jù)條件(C2)及f(t,0)=0,有

故A:S→S 有界。由引理2.1 的證明結(jié)果知A(S)等度連續(xù)，因此A:S→S為緊算子。

（ii）A:S→S 連 續(xù)。設(shè)yn,∈S，且 ||yn-|→0(n→+∞)，即對(duì)任意t∈[0,T]，有t1-α yn(t)→t1-α(t)(n→+∞) 一致成 立。由f:(0,T]×?→? 的連續(xù)性，可以得到f(t,t1-α yn(t))→f(t,t1-α(t))(n→+∞),t∈(0,T]。事實(shí)上，類(lèi)似(6)式的推理過(guò)程，有

這樣便知A:S→S連續(xù)。

既然b≠0，利用引理1.3，知A在S中至少存在一個(gè)非平凡不動(dòng)點(diǎn)，即IVP(1)在S 中至少存在一個(gè)非平凡解。證畢。

對(duì)于這種特殊情形，可以直接在空間C[0,T]上進(jìn)行研究，如文獻(xiàn)[1]。

注2.3對(duì)于分?jǐn)?shù)階微分方程初值問(wèn)題（IVP）

若0 ＜α＜1,b為常數(shù)，f:(0,T]×?→? 連續(xù)有界。則IVP(8)）等價(jià)的Volterra 積分方程亦為(4)式。這樣定理2.1和2.2對(duì)于IVP(8)也是實(shí)用的。

2.3 例子

下面給出一個(gè)具體的例子

例考察分?jǐn)?shù)階初值問(wèn)題（IVP）

3 結(jié)語(yǔ)