基于超螺旋二階滑模理論的直流微電網(wǎng)母線電壓控制

吳博寧，高志強(qiáng)，周雪松，馬幼捷，王成龍

( 天津理工大學(xué)電氣電子工程學(xué)院，天津 300384)

0 引言

國內(nèi)外研究表明，相比于交流微電網(wǎng)，直流微電網(wǎng)在系統(tǒng)可控性、經(jīng)濟(jì)性以及供電質(zhì)量方面具有更加優(yōu)越的性能［1-4］。

如何抑制直流微電網(wǎng)母線電壓波動，保證系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行，是直流微電網(wǎng)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問題之一［5-7］。當(dāng)直流微電網(wǎng)與交流電網(wǎng)相連時，往往是通過優(yōu)化三相AC-DC 雙向變流器的控制系統(tǒng)來實(shí)現(xiàn)對母線電壓的控制。但在對變流器進(jìn)行建模和控制時，變流器所帶負(fù)荷通常是復(fù)雜多變的，輸入側(cè)的電阻、電感、電容參數(shù)是不能精確測量的，而且隨著時間的推移還會出現(xiàn)一定程度的老化，存在參數(shù)攝動［8〗。因此，要保證直流微電網(wǎng)母線電壓恒定，就需要控制器對時變的直流負(fù)載以及參數(shù)攝動具有良好的魯棒性。

滑模控制是一種典型的非線性控制方法，它不依賴于被控對象精確的數(shù)學(xué)模型，對負(fù)載波動、參數(shù)攝動具有較強(qiáng)的魯棒性，近年來被廣泛應(yīng)用于電機(jī)、整流器等系統(tǒng)中［9-10］。但在傳統(tǒng)的滑模控制方法中，需要較大的控制增益來提高系統(tǒng)的動態(tài)性能，過大的增益和控制的不連續(xù)性使得系統(tǒng)存在一定程度的抖振，嚴(yán)重影響了滑?？刂圃趯?shí)際工程中的應(yīng)用。

為削弱抖振影響，文獻(xiàn)［11-13］提出了一種變趨近律滑模控制方案，通過狀態(tài)變量偏差信號的大小來修正滑模切換項(xiàng)增益;文獻(xiàn)［14-15］將模糊控制與滑模控制相結(jié)合，利用模糊規(guī)則來調(diào)整更新滑模切換項(xiàng)增益。上述控制方法，本質(zhì)上都是通過不斷調(diào)整、減小不連續(xù)滑模切換函數(shù)的增益來抑制系統(tǒng)的抖振，雖在一定程度上達(dá)到了抑制抖振的目的，但同時也增大了控制器的復(fù)雜程度，不利于滑?？刂频倪M(jìn)一步工程推廣。高階滑模控制在保持傳統(tǒng)滑模算法設(shè)計(jì)簡單、易于實(shí)現(xiàn)、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)的同時，還能夠有效地抑制系統(tǒng)抖振，因此，成為了解決滑模抖振的新型控制方法。

文中針對高階滑模控制在直流微電網(wǎng)系統(tǒng)中應(yīng)用較少的情況，將超螺旋( Super-Twisting，ST) 二階滑模控制算法應(yīng)用于直流微電網(wǎng)三相AC-DC 雙向變流器控制系統(tǒng)中的電壓外環(huán)，以此來提高系統(tǒng)對負(fù)載波動、參數(shù)攝動等不確定性因素的魯棒性。最后，通過數(shù)字仿真驗(yàn)證了該制策略的可行性與正確性。

1 三相AC-DC 變流器數(shù)學(xué)建模

直流微電網(wǎng)的電路拓?fù)淙鐖D1 所示。

圖1 AC-DC 變流器電路拓?fù)銯ig.1 AC-DC converter circuit topology

為得到更加簡明的直流微電網(wǎng)三相AC-DC 變流器數(shù)學(xué)模型，結(jié)合實(shí)際的電力系統(tǒng)，作如下假設(shè):

1) 交流側(cè)電源是無窮大電源;

2) 交流系統(tǒng)是三相對稱系統(tǒng);

3) 功率開關(guān)管是理想器件，無過渡過程、無功率損耗、無死區(qū)效應(yīng)。

圖1 中，ea，eb，ec為等效交流電源;ia，ib，ic為交流側(cè)線電流; R 為線路等效電阻;L 為線路等效電感;C 為直流側(cè)濾波電容;Udc為直流側(cè)電容器兩端電壓;idc為直流側(cè)兩端電流;ic為流過電容器兩端電流;iL是流過負(fù)載兩端的電流; RL是直流微電網(wǎng)的等效負(fù)荷;Si是開關(guān)函數(shù)。

根據(jù)直流微電網(wǎng)三相AC-DC 變流器的電路拓?fù)鋱D，由基爾霍夫定律，可得三相AC-DC 雙向變流器在a，b，c 三相靜止坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型為:

其中:

由于交流測電流是非線性時變強(qiáng)耦合的，不利于控制器的設(shè)計(jì)。因此，為簡化控制器設(shè)計(jì)，需采用坐標(biāo)變換，將三相靜止坐標(biāo)系變?yōu)閮上嘈D(zhuǎn)坐標(biāo)系，具體變換矩陣為:

式中θ 為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系d軸與靜止坐標(biāo)系a 軸的夾角。

聯(lián)立式(1) ～式( 4) 可得三相AC-DC 變流器在二維旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型為:

其中:

式中ed、eq、id、iq、Sd、Sq為三相AC-DC 變流器交流側(cè)電壓矢量、電流矢量、開關(guān)函數(shù)在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系dq軸上的分量。

設(shè)U*dc為母線電壓給定，定義電壓誤差狀態(tài)變量x

式(8) 兩邊對時間t求導(dǎo)，得:

將id改寫為i*d ，用以表示id同時作為電壓外環(huán)控制變量和電流內(nèi)環(huán)給定指令兩個含義。將式( 9) 改寫為式(10) 所示的狀態(tài)方程:

式中w為未知的外部擾動，將設(shè)w可微，且其微分有界。

2 控制器設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性證明

2.1 超螺旋二階滑?？刂坪喗?/h3>

二階滑模之所以可以抑制抖振，是因?yàn)槎A滑模將實(shí)際控制輸入u(t) 的微分信號u·(t) 虛擬成為新的控制變量。通過設(shè)計(jì)不連續(xù)的虛擬控制u·(t) 來確?；Ｗ兞縮能夠在有限的時間收斂于零，并保持二階滑動模態(tài)，即s =。而實(shí)際控制輸入u(t) 則是通過對虛擬控制(t) 求積分得到的，因此實(shí)際控制輸入u(t)是連續(xù)的，從而有效地削弱了系統(tǒng)的抖振。

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)方程與控制律u(t) 的相關(guān)度r≥1時，則控制器可以簡化為:

式中ε、κ、ρ 為控制器參數(shù)。

從式(12) 可知，超螺旋二階滑模算法的實(shí)現(xiàn)不需要知道任何關(guān)于滑模變量的微分信號。同時，根據(jù)文獻(xiàn)［16-17］，當(dāng)ρ=1 時，系統(tǒng)將得到指數(shù)穩(wěn)定的二階滑模;當(dāng)ρ=0.5 時，系統(tǒng)將最大可能實(shí)現(xiàn)二階滑動模態(tài)。

2.2 超螺旋二階滑?？刂破?/h3>

通過式(9) 、式(10) 可知，直流微電網(wǎng)三相AC-DC雙向變流器的狀態(tài)方程與控制變量id的相關(guān)度為2。根據(jù)式(12) ，取ρ=0.5，可得超螺旋二階滑模的控制律為:

式中s為滑模變量，ε、κ 為控制器參數(shù)。

選取電壓的偏差信號以及偏差信號的微分信號作為滑模函數(shù)的狀態(tài)變量，則可得滑模面為:

根據(jù)霍爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)，只需要c ＞0 ，系統(tǒng)式(14) 就是大范圍漸近穩(wěn)定的。

針對式(10) 設(shè)計(jì)基于超螺旋的二階滑?？刂坡?

式(14) 兩邊同時對時間求導(dǎo)得:

聯(lián)立式(8) 、式(10) 、式(15) 、式(16) 可得:

令:

聯(lián)立式(17) 、式(18) ，得:

從式(19) 可知，在控制器參數(shù)整定的過程中，可將實(shí)際系統(tǒng)的控制增益b2融入到參數(shù)α、β 的調(diào)節(jié)，而無需關(guān)注b2是否已知，這樣只許調(diào)整κ，ε，使其滿足式(19) 的穩(wěn)定性要求即可。進(jìn)一步的說明了超螺旋二階滑?？刂频膶?shí)現(xiàn)不依賴于被控對象精確的數(shù)學(xué)模型。

聯(lián)立等式( 14) 、式( 15) ，可得二階滑模的控制器框圖，如圖2 所示。

圖2 二階滑模控制框圖Fig.2 Block diagram of second-order sliding mode control

2.3 穩(wěn)定性證明

令:

記(f(t) )' = g(t) ，則式(19) 可以被改寫為:

至此，把超螺旋二階滑模穩(wěn)定性問題轉(zhuǎn)化成為了式(21) 在平衡點(diǎn)是否大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定。

對于式(21) 所示系統(tǒng)，定義Lyapunov 函數(shù)如下:

式中ηT= ［η1，η2］=;P 為正定實(shí)常數(shù)矩陣。

式中A=。

根據(jù)轉(zhuǎn)置矩陣的性質(zhì)，可知:

對Lyapunov 函數(shù)求導(dǎo)，聯(lián)立式(23) 、式(24) 可得:

進(jìn)而整理可得:

當(dāng)α＞0 ，β＞0 時可知，矩陣A 是Hurwitz 矩陣，對于任意給定的正定矩陣Q，一定存在著一個正定矩陣P 滿足式(27) :

記V1(z1，z2)=ηT( ATP+PA) η=ηTQη，因?yàn)閂1(z1，z2) 是二次正定函數(shù)，所以有:

結(jié)合實(shí)際的電力系統(tǒng)與式(10) 中的假設(shè)，可認(rèn)為g(t) 為有界函數(shù)，不妨設(shè)g(t) ＜L，故而一定存在一常數(shù)μ＞0 ，使得不等式(28) 成立。

根據(jù)2 范數(shù)的定義與性質(zhì)可知:

聯(lián)立式(25) ～式(30) 可得:

3 仿真分析

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的二階滑模控制器的控制效果，文中采用了控制變量的分析方法，即僅電壓環(huán)控制器不同，其余變量和參數(shù)均相同。用Matlab/Simulink 搭建了如圖3 所示的直流微電網(wǎng)，系統(tǒng)參數(shù)和控制器參數(shù)如表1 和表2 所示。

表1 系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 System parameters

表2 控制系統(tǒng)參數(shù)Tab.2 Parameters of control system

圖3 直流微電網(wǎng)Fig.3 DC micro-grid

圖4為兩種控制器在仿真期間的總體控制效果圖。從圖4 可知，與PI 控制器相比，文中設(shè)計(jì)的超螺旋二階滑?？刂破髟趩犹匦?、負(fù)載突變、參數(shù)攝動、光伏并網(wǎng)等工況下都具有較大的優(yōu)勢。下面將從上述幾個方面詳細(xì)介紹二階滑?？刂破?。

圖4 總體控制效果圖Fig.4 Overall control effect

(1) 兩種控制器的啟動特性比較。

圖5為直流微電網(wǎng)三相AC-DC 雙向變流器采用不同控制策略帶載啟動時的母線電壓波形圖。從圖5 中可知，一方面，兩種控制器控制下的系統(tǒng)上升時間是相同的，但二者的超調(diào)量卻相差甚大，其中二階滑?？刂破骺刂葡碌南到y(tǒng)的超調(diào)量幾乎為零，而PI 控制器控制下的系統(tǒng)的超調(diào)量為6.4%。根據(jù)PI 控制器比例增益的物理意義可知，如果想要繼續(xù)減小超調(diào)量，就要調(diào)小比例增益，但這會增大上升時間，不利于系統(tǒng)的快速啟動。另一方面，二階滑模控制下的系統(tǒng)，當(dāng)母線電壓到達(dá)額定電壓700 V 時，就基本維持在額定電壓附近，幾乎無暫態(tài)過程，而PI 控制器還需要經(jīng)過一系列的過渡過程才能維持在額定電壓附近。綜上所述，二階滑?？刂破飨啾扔赑I 控制器在啟動特性和魯棒性方面更具有優(yōu)勢。

圖5 采用不同控制方式系統(tǒng)啟動時母線電壓波形Fig.5 Voltage waveform of bus when the system starts up with different control modes

(2) 負(fù)載驟減。

母線電壓維持在700 V，直流側(cè)電阻性負(fù)載在0.3 s 時突然減半，母線電壓波動如圖6 所示; 系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行，恒功率性負(fù)載在0.5 s 時突然減半，母線電壓波動如圖7 所示。

圖6 直流側(cè)電阻性負(fù)載減半時的電壓波形Fig.6 Voltage waveform of half reduction of DC resistive load

圖7 直流側(cè)恒功率性負(fù)載減半時的電壓波形Fig.7 Voltage waveform of constant power load on DC side reduced by half

當(dāng)負(fù)載電流突然減小時，由于電容兩端的電壓不能突變，所以直流側(cè)電流idc的變化要滯后于負(fù)載電流iL的變化，因此流過電容兩端的電流ic要減小。根據(jù)式(32) 可知母線電壓要發(fā)生跌落。

從圖6 和圖7 可知，二階滑?？刂葡碌南到y(tǒng)的過渡過程時間和電壓振蕩范圍都要小于PI 控制策略。因此，二階滑?？刂撇呗栽谪?fù)載波動下能夠很好的抑制直流母線電壓波動，縮短系統(tǒng)的過渡過程時間。

(3) 參數(shù)攝動。

母線電壓維持額定值700 V，在0.7 s 時，交流側(cè)a相線路電阻突增至2.5 Ω，在0.85 s 時，參數(shù)攝動消失，母線電壓波動如圖8 所示。

圖8 參數(shù)攝動時母線電壓波動圖Fig.8 Bus voltage fluctuation with parameter perturbation

當(dāng)交流側(cè)參數(shù)發(fā)生攝動時，二階滑?？刂破鞯碾妷翰▌痈?當(dāng)參數(shù)攝動消失時，二階滑?？刂破鞯某{(diào)和快速性均優(yōu)于PI 控制器。因此，二階滑?？刂撇呗栽诮涣麟娋W(wǎng)發(fā)生參數(shù)攝動時可以更好的穩(wěn)定公共直流母線電壓，保證系統(tǒng)能夠以較快的速度恢復(fù)穩(wěn)定。

(4) 光伏并網(wǎng)。

母線電壓維持額定值700 V，在1.05 s 的時候，光伏系統(tǒng)接入微網(wǎng)，母線電壓波動如圖9 所示;系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行，在1.3 s 的時候光照強(qiáng)度由1000 W/m2驟減至100 W/m2，母系電壓波動如圖10 所示。

圖9 光伏并網(wǎng)母線電壓波形圖Fig.9 Voltage waveform of photovoltaic grid-connected bus

圖10 光照驟減母線電壓波動圖Fig.10 Bus voltage fluctuation diagram with sudden decrease of illumination

根據(jù)能量守恒定律—系統(tǒng)輸入功率等于系統(tǒng)消耗功率，當(dāng)光伏并網(wǎng)時，系統(tǒng)輸入側(cè)能量激增，而直流側(cè)恒功率負(fù)載消耗功率恒定，電阻性負(fù)載有限，只能將過剩的能量轉(zhuǎn)存至電容，根據(jù)式(33) 可知，母線電壓會升高。

同理，根據(jù)能量守恒定律，當(dāng)光照強(qiáng)度減小，輸入側(cè)能量驟減，由式(33) 可知，母線電壓會下降。

綜上，由圖9 和圖10 可知，無論是光伏并網(wǎng)還是光照強(qiáng)度驟減，二階滑?？刂葡碌南到y(tǒng)的動態(tài)品質(zhì)都要優(yōu)于PI 控制器。因此，二階滑模控制器更加適用與光伏系統(tǒng)并網(wǎng)。

4 結(jié)束語

文中結(jié)合直流微電網(wǎng)三相AC-DC 雙向變流器的數(shù)學(xué)模型，通過選取合適的滑模面，設(shè)計(jì)了一種超螺旋二階滑?？刂破鳎⑵鋺?yīng)用于直流微電網(wǎng)三相ACDC 雙向變流器控制系統(tǒng)中的電壓外環(huán)，并從理論上證明了該控制器的設(shè)計(jì)的合理性與正確性。最后，數(shù)字仿真結(jié)果表明，該控制器在削弱傳統(tǒng)滑?？刂破鞫墩竦幕A(chǔ)上，有效地克服負(fù)載波動，參數(shù)攝動等不確定因素對母線電壓造成的影響，能夠更高效地接納分布式電源并網(wǎng)，保證了負(fù)載的即插即用。