層狀全空間介質(zhì)中重疊回線的瞬變電磁響應(yīng)

劉建鵬, 車(chē)海清, 朱 華, 劉 飛, 孫 巖

(核工業(yè)二九〇研究所, 廣東 韶關(guān) 512029)

地面瞬變電磁法是發(fā)射和接收裝置均位于地面的時(shí)間域方法,接收回線中得到隨時(shí)間衰減的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),能有效地反映該點(diǎn)豎直深度方向的電性特征[1-3]。但隨著復(fù)雜環(huán)境的地質(zhì)勘探任務(wù)需求增加,特別是在工程隧道、煤炭巷道超前探測(cè)、全空間地質(zhì)災(zāi)害等方面,全空間瞬變電磁法具有勘探效率高、對(duì)低阻體靈敏和無(wú)須接地等優(yōu)點(diǎn),全空間瞬變電磁法已經(jīng)成為首選的地球物理方法,并逐漸成為礦井勘探領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)[4-9]。尤其受工作條件等因素限制,重疊回線裝置應(yīng)用較為廣泛。

伴隨著煤炭等非金屬礦的開(kāi)采和交通運(yùn)輸?shù)拈_(kāi)發(fā),國(guó)內(nèi)已經(jīng)取得了許多的研究成果。部分研究通過(guò)物理實(shí)驗(yàn)的方法,探究出重疊回線的分辨率和信號(hào)強(qiáng)度主要跟發(fā)射回線參數(shù)有關(guān),并利用等磁矩的方式將多匝回線等效為同等面積的大半徑回線,得出小回線裝置同樣具有較大的探測(cè)深度[10-12]。理論研究則根據(jù)電磁場(chǎng)原理,結(jié)合數(shù)理方面已經(jīng)能模擬多維瞬態(tài)擴(kuò)散場(chǎng),而對(duì)于一維瞬態(tài)擴(kuò)散場(chǎng)研究較緩,與傳統(tǒng)磁偶源理論不同,可通過(guò)研究層狀海洋模型的回線源解析解,來(lái)探究全空間與半空間瞬變電磁法的聯(lián)系與區(qū)別[13-22]。

從電磁場(chǎng)擴(kuò)散原理出發(fā),研究全空間中回線源產(chǎn)生的瞬變電磁場(chǎng),分析了直接求解的響應(yīng)和柱坐標(biāo)下求解的響應(yīng)表達(dá)式,并利用貝塞爾函數(shù)的積分式將這兩種解進(jìn)行了統(tǒng)一,推導(dǎo)了層狀全空間重疊回線的響應(yīng)和計(jì)算方法,從而探究發(fā)射半徑對(duì)全空間瞬變電磁場(chǎng)的影響規(guī)律。將該計(jì)算方法應(yīng)用于實(shí)測(cè)礦井?dāng)?shù)據(jù)中,經(jīng)擬二維斷面分析,計(jì)算結(jié)果證實(shí)了方法的有效性。

1 均勻全空間的求解

1.1 直角坐標(biāo)系下的求解

如圖1所示,在電導(dǎo)率為σ、磁導(dǎo)率為μ0的均勻全空間中,存在一個(gè)發(fā)射電流為I、半徑為r的重疊回線,在t時(shí)刻的感應(yīng)電壓為[3]

圖1 全空間中的回線源

(1)

式中:

(2)

式中:R為觀測(cè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,R=2rsin(φ/2)。則式(2)為

(3)

式(1)變?yōu)?/p>

(4)

考慮第一類(lèi)修正的貝塞爾的積分表達(dá)式[18],令v=1有:

(5)

結(jié)合式(4),則可以得到感應(yīng)電壓表達(dá)式為

(6)

1.2 柱坐標(biāo)系下的求解

如圖1所示,在柱坐標(biāo)系(r′,φ,z)下,回線源的中心處為坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0,0),參數(shù)與圖1一致,得到的水平方向電場(chǎng)為[14]

(7)

利用法拉第電磁感應(yīng)定律,得

V(t)=∮Eφ

(8)

將(7)式代入(8)式中,則有

(9)

對(duì)比式(6)和式(9)可知,兩種方法得出的感應(yīng)電壓完全相同,其中u1=θr,兩者可以相互驗(yàn)證。

2 全空間層狀介質(zhì)的響應(yīng)計(jì)算方法

如圖2所示,建立全空間層狀模型,Ti、Tj分別為第i層、j層的厚度(i=1,2,…,N-1,N;j=1,2,…,M-1,M);σi、σj分別為第i層、j層的電導(dǎo)率;半徑為r的水平重疊回線源位于薄層中(層厚非常小,可忽略影響),拉普拉斯域下瞬變電磁感應(yīng)電壓為[13]。

圖2 位于層狀介質(zhì)中的重疊回線

(10)

式中:s為拉普拉斯變量,s與F(λ)有關(guān);J1為第一類(lèi)一階貝塞爾函數(shù);磁矩m=Iπr2。其他參數(shù)與圖1一致,F(λ)的推導(dǎo)公式為

(11)

式中:P、Q為每個(gè)層位之間的遞推值;Ki=λ2+sμ0σi,Kj=λ2+sμ0σj;Ki、Kj為第i層、j層的波數(shù)。

遞推的關(guān)鍵步驟是得到末端層的P、Q值,即當(dāng)i=N、j=M時(shí)有Qi=N=μ0/Ki=N,Pj=M=μ0/Kj=M。即波數(shù)為Ki=N=λ2+sμ0σi=N,Kj=M=λ2+sμ0σj=M。

由上述可知,求解全空間重疊回線瞬變電磁響應(yīng)的算法步驟為:從上下末端層(第N層,第M層)開(kāi)始,逐步往中間遞推,得到相應(yīng)第一層的P1、Q1,代入式(10),最終經(jīng)拉普拉斯逆變換得到時(shí)間域感應(yīng)電壓為

(12)

式中:L-1為拉普拉斯逆變換。與常規(guī)的地面瞬態(tài)響應(yīng)計(jì)算方法相同,式(12)可聯(lián)合漢克爾變換和正余弦變換得到時(shí)間域的瞬態(tài)響應(yīng)[19-20]。

3 瞬變電磁響應(yīng)規(guī)律

3.1 均勻全空間瞬變電磁場(chǎng)擴(kuò)散規(guī)律

根據(jù)全空間瞬變場(chǎng)的擴(kuò)散規(guī)律,回線源關(guān)斷后產(chǎn)生的瞬變電磁場(chǎng)為水平方向的電場(chǎng)[9](后稱(chēng)為電場(chǎng)),研究電場(chǎng)在空間上的變化規(guī)律能直觀地了解場(chǎng)的擴(kuò)散特征。由式(7)可知,考慮一個(gè)垂直于φ平面且包含回線軸線的平面,該平面有利于直觀展示瞬變電磁場(chǎng)隨延時(shí)時(shí)間的擴(kuò)散規(guī)律。另一方面,為研究電場(chǎng)在r方向、z方向的傳播規(guī)律,可以給定一個(gè)半徑r(m)或者深度z(m),得到電場(chǎng)在深度或者半徑上的變化特征。

如圖3所示,水平回線源在0.3 ms、1 ms和3 ms時(shí)的電場(chǎng)分布,其半徑為40 m,全空間電導(dǎo)率為1/100 S/m,回線中的電流為3 A。在均勻全空間介質(zhì)中,二次場(chǎng)的擴(kuò)散規(guī)律依然滿足“煙圈效應(yīng)”,并且“煙圈”會(huì)在x軸、z軸方向上運(yùn)動(dòng),而電場(chǎng)極值中心位置保持在r軸上。另外,電場(chǎng)的擴(kuò)散形態(tài)并非規(guī)則的圓形,說(shuō)明在瞬態(tài)場(chǎng)在空間中傳播存在一定的方向性,不同方向的速度不同。在不均勻介質(zhì)中,受+z、-z、+r方向的共同作用,似橢圓的電場(chǎng)將變得不光滑、不對(duì)稱(chēng),受地下結(jié)構(gòu)復(fù)雜多變的影響,滿足擴(kuò)散方程的電場(chǎng)形成更復(fù)雜的擴(kuò)散,難以判斷引起電場(chǎng)變化的異常來(lái)自+z還是-z方向。

圖3 全空間介質(zhì)不同時(shí)刻的電場(chǎng)分布

3.2 全空間響應(yīng)驗(yàn)證

回線半徑是重疊回線的重要參數(shù),決定了發(fā)射、接收回線的幾何尺寸和磁矩?？紤]半徑對(duì)應(yīng)電壓的影響,建立半徑分別為2、4、10、20、40、80、200 m的均勻全空間模型,同時(shí)為檢驗(yàn)全空間層狀解的精確性,利用相同參數(shù)的層狀解來(lái)計(jì)算均勻介質(zhì),并呈現(xiàn)半徑為4 m時(shí)的相對(duì)誤差曲線。由圖4可知,對(duì)于歸一化感應(yīng)電壓而言,均勻全空間響應(yīng)曲線形態(tài)基本相同;結(jié)合式(6)和式(9)對(duì)延時(shí)時(shí)間t的兩個(gè)極限狀態(tài)(早期t→0,晚期t→∞),在早期的響應(yīng)遵循t-1衰減,經(jīng)過(guò)渡期,晚期響應(yīng)遵循t-5/2衰減;半徑對(duì)早期的幅值影響大,將Kaufman[3]中的早期響應(yīng)進(jìn)行歸一化,可得到響應(yīng)與半徑成反比關(guān)系,例如在半徑為80和200 m時(shí),前者的早期響應(yīng)大于后者,到晚期則相反。另一方面,如圖4和表1所示,層狀解的響應(yīng)相對(duì)誤差較大值分布在延時(shí)時(shí)間始末時(shí)段,且相對(duì)誤差都在4%以?xún)?nèi),說(shuō)明算法有效且較準(zhǔn)確。

表1 不同半徑的平均相對(duì)誤差

圖4 不同半徑尺寸的解析解和層狀解

4 瞬變電磁響應(yīng)特征

4.1 典型全空間響應(yīng)特征

上文已經(jīng)討論尺寸對(duì)均勻全空間的影響,得出計(jì)算的層狀解具有較高的精確度,為研究尺寸與層狀介質(zhì)響應(yīng)的影響規(guī)律提供了基礎(chǔ)。建立全空間的四層模型,發(fā)射回線的上半空間為均勻介質(zhì),下半空間為類(lèi)似地面的H型,通過(guò)Swidinsky[21]分別得到全空間瞬態(tài)響應(yīng)以及晚期視電阻率,如圖5所示。

圖5 四層全空間不同半徑尺寸的響應(yīng)和視電阻率曲線

由圖5(a)可知,對(duì)比均勻全空間,回線半徑小于層厚時(shí),層狀解響應(yīng)脫離均勻解析解的時(shí)間基本一致;反之,則隨半徑的增加而延后,但其尾支形態(tài)的“回歸時(shí)間”是一致的。“早期”響應(yīng)的強(qiáng)度不隨回線源半徑的改變而改變,僅延時(shí)時(shí)間不同,即回線半徑越大其低阻引起的響應(yīng)時(shí)間越延后。另一方面,延時(shí)時(shí)間在0.1～100 ms時(shí),通過(guò)增加回線源的半徑能顯著地增大響應(yīng)值,進(jìn)而提高響應(yīng)的信噪比,這段時(shí)間正是礦井瞬變電磁數(shù)據(jù)采集的主要測(cè)量時(shí)間段,例如延時(shí)時(shí)間為1 ms時(shí),半徑從2 m增加到200 m,層狀解感應(yīng)電壓從5.02×10-9V增加到0.30 V。由圖5b可知,均勻全空間的晚期視電阻率應(yīng)用范圍隨半徑的增加而延后;當(dāng)發(fā)射半徑大于等于目標(biāo)層厚度時(shí),晚期視電阻率上移,不利于晚期各個(gè)公式的應(yīng)用。

考慮一個(gè)較為典型的七層模型,下半空間地電參數(shù)保持不變,上半空間與下半空間關(guān)于發(fā)射層對(duì)稱(chēng),即σi=1=σj=1=1/300 S/m,σi=2=σj=2=1/10 S/m,σN=σM=1/300 S/m,僅中間夾有空氣層,其厚度為4 m,其他參數(shù)與圖5一致。同樣得到全空間瞬態(tài)響應(yīng)以及對(duì)應(yīng)的晚期視電阻率曲線,如圖6所示。

圖6 七層全空間不同半徑尺寸的(a)響應(yīng)和(b)視電阻率曲線

由圖6(a)可知,上半空間的變化,對(duì)于小尺寸的早期影響比較大,說(shuō)明空氣層作為一種真實(shí)存在的影響因素,不能直接忽略,這與實(shí)際應(yīng)用中的結(jié)果一致。另一方面,受電磁波傳播的對(duì)稱(chēng)性,上半空間低阻層的表征基本與下半空間重合,其響應(yīng)表現(xiàn)在同一時(shí)段且疊加后的強(qiáng)度更大,但是不改變層狀解脫離均勻解析解的延時(shí)時(shí)間,僅對(duì)表征響應(yīng)的結(jié)果分析無(wú)法判斷低阻層來(lái)自上半空間或者下半空間,與前文結(jié)果相同,這正是全空間效應(yīng)的表現(xiàn)形式之一。由圖6(b)可知,半徑越小,巷道的影響越明顯,但對(duì)于薄層的巷道不影響目標(biāo)層的表征。

4.2 不同尺寸多層全空間響應(yīng)特征

在考慮裝置半徑對(duì)響應(yīng)的影響時(shí),可以換一個(gè)角度:在改變層位中覆蓋層、低阻層層厚的條件下,探討相同半徑在不同層厚尺度時(shí)對(duì)響應(yīng)的影響,即半徑為40 m,厚度分別為2、4、10、20、40、80、200 m及∞。圖7、圖8分別為不同層厚下的全空間響應(yīng)和視電阻率結(jié)果。綜合這些響應(yīng)結(jié)果可以得出:隨著低阻層層厚小于、等于到大于半徑改變時(shí),全空間瞬變電磁響應(yīng)對(duì)異常持續(xù)時(shí)間越長(zhǎng),偏離解析解的程度越明顯;隨著異常體離發(fā)射位置越來(lái)越遠(yuǎn),視電阻率也越 “偏離”真實(shí)值,且值偏大。

圖7 四層全空間不同低阻層層厚尺寸的(a)響應(yīng)和(b)視電阻率曲線

圖8 四層全空間不同覆蓋層層厚尺寸的(a)響應(yīng)和(b)視電阻率曲線

5 應(yīng)用實(shí)例

湖南省內(nèi)煤礦眾多,為了解某煤礦開(kāi)采中掘進(jìn)面上頂板的礦體分布情況,利用重疊回線發(fā)射源的瞬變電磁法開(kāi)展超前探測(cè)。圖9(a)為實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的視電阻率斷面圖,視深度結(jié)果采用于景邨[23]提出的礦井瞬變電磁法時(shí)間-深度轉(zhuǎn)換公式;視電阻率采用楊海燕等[24]提出的全區(qū)視電阻率計(jì)算公式。由圖可知,該區(qū)域橫向變化明顯,在x軸上的35 m和50～80 m位置上存在相對(duì)的低阻體,且數(shù)值較煤礦而言相近,該區(qū)域存在煤的可能性大。在此基礎(chǔ)上,建立了全空間模型,如圖9(b)所示,在x軸上布置點(diǎn)距為4.4 m的測(cè)線,長(zhǎng)度為110 m,測(cè)點(diǎn)的z方向?yàn)槿臻g層狀結(jié)構(gòu),其他參數(shù)與采集裝置相同。圖9(c)為理論數(shù)據(jù)的視電阻率斷面圖。由圖9可知,兩個(gè)斷面圖結(jié)構(gòu)上較為吻合,理論數(shù)據(jù)的視電阻率斷面明顯反映兩個(gè)低阻異常體的位置和形態(tài)。斷面結(jié)果說(shuō)明采用研究介紹的方法得出的全空間響應(yīng)能反映瞬態(tài)場(chǎng)在地下的擴(kuò)散規(guī)律。

圖9 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)斷面、模型圖斷面和理論數(shù)據(jù)斷面

6 結(jié)論

位于全空間中的回線源,通過(guò)直接計(jì)算和采用柱坐標(biāo)系計(jì)算的方法能得出相同的瞬變電磁響應(yīng);并以此為基礎(chǔ),得到垂直平面上的水平方向電場(chǎng),該電場(chǎng)呈橢圓狀,證實(shí)回線源裝置探測(cè)具有一定的方向性,同時(shí)這也構(gòu)成了全空間瞬變電磁場(chǎng)難以分辨異常體位置的復(fù)雜性。

在不同半徑條件下的瞬變電磁響應(yīng),相對(duì)“早期”響應(yīng),全空間響應(yīng)與半徑成反比,且按延時(shí)時(shí)間t-1衰減。

采用層狀解公式計(jì)算的均勻全空間響應(yīng),具有相對(duì)誤差較小和精度較高等特點(diǎn),能夠用來(lái)計(jì)算層狀空間的瞬變電磁響應(yīng);在“早期”響應(yīng)中,強(qiáng)度不隨回線半徑的變化而改變,只是延時(shí)時(shí)間不同,即回線半徑越大響應(yīng)時(shí)間越延后。在“晚期”響應(yīng)中,通過(guò)增加回線源的半徑能顯著地增大響應(yīng)值,可以提高地下瞬變電磁法的抗干擾性能。

對(duì)于全空間的晚期視電阻率應(yīng)用范圍,當(dāng)發(fā)射半徑大于等于目標(biāo)層厚度時(shí)其視電阻率值上移,不利于晚期公式的應(yīng)用。半徑越小,巷道對(duì)早期響應(yīng)的影響越明顯,但其對(duì)目標(biāo)層的表征影響較小。