附加約束條件的井下控制網(wǎng)變參數(shù)序貫平差

徐凱帆 張書畢 鮑 國

(1.廣東省重工建筑設(shè)計院有限公司，廣東 廣州510034;2.江蘇省資源環(huán)境信息工程重點實驗室，江蘇徐州221116;3.中國礦業(yè)大學(xué)環(huán)境與測繪學(xué)院，江蘇徐州221116;4.中國人民解放軍空軍勤務(wù)學(xué)院機(jī)場工程與保障系，江蘇徐州221008)

井下控制網(wǎng)測量不僅為井下提供準(zhǔn)確的空間基準(zhǔn)，也為礦山安全生產(chǎn)提供所需的各項數(shù)據(jù)，在礦業(yè)開發(fā)過程中發(fā)揮著重要作用［1-8］。由于受井下巷道條件的限制，控制網(wǎng)一般以導(dǎo)線的形式沿巷道分期布設(shè)［1，9］。隨著巷道的掘進(jìn)，需要加測一定數(shù)量的陀螺定向邊來提高井下控制網(wǎng)的精度。在控制網(wǎng)內(nèi)業(yè)計算時，傳統(tǒng)方法是對各期觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行獨立的平差計算［1］，但由于受到系統(tǒng)誤差的影響，導(dǎo)致控制網(wǎng)局部誤差累積過大。此外，每期控制網(wǎng)平差計算的起算點位置不同，在一定程度上影響了點位精度的評定。若采用傳統(tǒng)方法對各期的觀測值進(jìn)行整體平差，可能會由于前幾觀測數(shù)據(jù)的部分丟失給整體平差帶來困難。為此，利用前期控制網(wǎng)點的平差值和方差、協(xié)方差矩陣，結(jié)合新的觀測值推導(dǎo)變參數(shù)序貫平差模型，并利用無限權(quán)理論將陀螺方位角條件轉(zhuǎn)化為變參數(shù)序貫平差模型的觀測方程。

1 理論分析

1.1 變參數(shù)序貫平差

變參數(shù)序貫平差是指在平差過程中的未知參數(shù)的數(shù)量有增有減［6-8］，主要包括3 種情況:①第2 次平差增加新的參數(shù);②第2 次平差的參數(shù)僅為第1 次平差參數(shù)的一部分;③上述2 種情況的綜合。為了便于推導(dǎo)，給出井下控制網(wǎng)2 期觀測值的誤差方程

式中，V1、V2分別為2 期觀測值的改正數(shù)矩陣; 為第1 期出現(xiàn)的參數(shù)；為2 期共有的參數(shù);為第2期新增加的參數(shù);A、B1、B2和C 為系數(shù)矩陣;l1和l2為常數(shù)向量。

對式(1)進(jìn)行第1 次平差，其法方程為［10-12］

式中，P1為第1 期觀測值的權(quán)陣;和為第1 次平差參數(shù)的改正數(shù)。

Ea、Eb為單位矩陣，分別為參數(shù)改正數(shù)的系數(shù)矩陣。令

根據(jù)最小二乘原理，令

將式(4)代入式(5)，整理后得到法方程為

式中，P1和P2分別為2 期觀測值的權(quán)陣。

由(6)式可得參數(shù)平差值為

精度評定時，單位權(quán)中誤差估值可表示為［13-17］

式中，t 為獨立參數(shù)的個數(shù);n 為觀測值個數(shù);P 為2期觀測值的權(quán)陣;VTPV 可進(jìn)一步地表示為

1.2 附加約束條件

井下布設(shè)基本控制導(dǎo)線時，一般每間隔1. 5 ～2.0 km 加測1 條陀螺定向邊。對于已經(jīng)建立井下控制網(wǎng)的礦井，為了提高井下控制網(wǎng)的平面精度，有時需要加測一定數(shù)量的陀螺定向邊(見圖1)。在數(shù)據(jù)處理時，通常將陀螺定向邊作為堅強(qiáng)邊處理［1］，即將實測的陀螺定向邊方位角作為約束條件參與控制網(wǎng)的平差計算。

圖1 陀螺定向邊Fig.1 Gyro directional edge

圖1 中，gf 為一條陀螺定向邊，當(dāng)以陀螺定向邊方位角為約束條件時，觀測值為真值應(yīng)滿足

式中，Lgf為陀螺定向邊方位角觀測值，(°);αgf為坐標(biāo)平差值反算的坐標(biāo)方位角，(°)。

將式(10)線性化后可得待求參數(shù)的限制條件方程，該方程與式(1)、式(2)為2 種不同類型的方程，不便于利用變參數(shù)序貫平差模型進(jìn)行計算。為此，根據(jù)無限權(quán)理論［6］，將陀螺定向邊方位角作為一般觀測值處理。此時，該觀測值對應(yīng)的權(quán)值為

式(11)表明陀螺方位角值的權(quán)重?zé)o窮大，即對應(yīng)觀測值的改正數(shù)為0。

由近似坐標(biāo)改正數(shù)引起的近似坐標(biāo)方位角的改正數(shù)為δαfg，即

式中，Vgyr為陀螺方位角改正數(shù);Lgyr為陀螺方位角觀測值。

將式(13)整理后，得

式(14)為陀螺定向邊的觀測值誤差方程，可與水平角、邊長觀測值的誤差方程統(tǒng)一表示為式(1)、式(2)的形式，可利用變參數(shù)序貫平差模型進(jìn)行求解。

1.3 權(quán)陣的確定

2 實例分析

2.1 井下控制網(wǎng)概況

井下控制網(wǎng)往往隨井下巷道的道掘進(jìn)而逐步布設(shè)。圖2 為某礦井7″級局部導(dǎo)線網(wǎng)，共由119 個點組成，導(dǎo)線全長約12 km，其中JB1和JB2為已知點。第1 期形成的網(wǎng)形僅為一條與JB1點相連的閉合導(dǎo)線。虛線框中的導(dǎo)線及WE1－WE2、YS7－YS8和XF22－XF23為第2 期施測的3 條陀螺定向邊，其中陀螺定向邊被視為堅強(qiáng)邊，且3 條陀螺定向邊距起算點JB1分別為1.5，3，6 km?，F(xiàn)需要實現(xiàn)2 期控制網(wǎng)的整體平差。

2.2 平差結(jié)果分析

2.2.1 定權(quán)系數(shù)確定

陀螺定向邊作為堅強(qiáng)邊處理時，雖然其權(quán)值Pg→+ ∞，但在實際應(yīng)用中為了避免法方程病態(tài)［18-20］，陀螺定向邊觀測值的權(quán)值(Pg)往往選取一個有限值，根據(jù)觀測值權(quán)的定義

圖3 不同定權(quán)系數(shù)對應(yīng)的陀螺定向邊方位角差值Fig.3 Azimuth variation of Gyro directional edges with different weight coefficient

由圖3 可知，當(dāng)定權(quán)系數(shù)m = 1 時，最大的差值達(dá)到5.1″，但隨著m 值增大，陀螺邊方位角的差值迅速減小，當(dāng)m = 3 時，各陀螺邊方位角的平差值與已知值之差均小于1″;當(dāng)m = 10 時，其差值均小于0.1″;當(dāng)m = 20 時，各陀螺定向邊的平差值與已知值之差均小于0.01″。

為了全面分析定權(quán)系數(shù)的取值對平差結(jié)果的影響，表1 給出了m =1 ～20 時，陀螺定向邊各端點坐標(biāo)的變化量。

表1 陀螺定向邊各端點坐標(biāo)變化量Table 1 Coordinate variation of each gyro directional edge endpoint

由表1 可知，陀螺定向邊距起算點越近，其端點坐標(biāo)的變化量則越大。

2.2.2 平差結(jié)果驗證

井下控制網(wǎng)平差計算分別采用2 種方法進(jìn)行:①利用控制網(wǎng)2 期完整的觀測數(shù)據(jù)，采用附有限制條件的間接平差方法進(jìn)行整體平差，該結(jié)果視為真值;②根據(jù)控制網(wǎng)第1 期平差結(jié)果，采用附加約束條件的變參數(shù)序貫平差模型進(jìn)行控制網(wǎng)整體平差，其中，定權(quán)系數(shù)m 取20。為了全面比較2 種方法平差結(jié)果的差異，圖4 給出了控制網(wǎng)各點的坐標(biāo)差。

圖4 各控制點坐標(biāo)殘差值Fig.4 Coordinate residuals of each control point

由圖4可知，坐標(biāo)差值均小于0. 03mm，超出了結(jié)果需要保留的有效位數(shù)，其差值可以忽略不計。也就是說，如果坐標(biāo)殘差值以毫米為單位，結(jié)果保留至0.1 mm，單位權(quán)中誤差以秒為單位，保留至0.1″時，則2 種方法平差結(jié)果的精度完全一致。但文中提出的平差模型無需存儲控制網(wǎng)的前期觀測值，即使前期數(shù)據(jù)丟失，仍可根據(jù)前期的平差結(jié)果進(jìn)行計算，以達(dá)到整體平差的效果。

3 結(jié) 論

(1)變參數(shù)序貫平差模型僅需前期計算結(jié)果，便可實現(xiàn)井下控制網(wǎng)多期觀測整體平差，可有效克服控制網(wǎng)前期觀測數(shù)據(jù)丟失給整體平差帶來的困難。

(2)在井下控制網(wǎng)整體平差時，可利用無限權(quán)理論將陀螺堅強(qiáng)邊轉(zhuǎn)化為變參數(shù)序貫平差模型的觀測方程。實例分析結(jié)果表明，陀螺邊的定權(quán)系數(shù)m 取20 時，可滿足井下控制網(wǎng)計算的精度要求。

(3)附加限制條件的變參數(shù)序貫平差模型思路簡單、易于編程、無需前期觀測數(shù)據(jù)，適用于井下分期布設(shè)的控制網(wǎng)整體平差。

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