面向微細(xì)加工的二自由度磁懸浮平臺(tái)

魏發(fā)南，劉 英

（福州大學(xué)先進(jìn)制造學(xué)院，福建 晉江 362200）

微細(xì)加工技術(shù)是一種制造微小尺寸零件的加工技術(shù)，其加工平臺(tái)具有毫米級(jí)別的行程和微米級(jí)別及以下的定位精度[1].激光微細(xì)加工以無機(jī)械沖力、加工對象局限性小的特點(diǎn)而被廣泛研究.為提升工件的加工精度，研究更多集中在如何減少加工表面熱損傷.文獻(xiàn)[2-4]采用高頻的脈沖激光（如納秒激光、飛秒激光、皮秒激光）實(shí)現(xiàn)高精度加工，激光的脈沖頻率越高，則越能對材料實(shí)現(xiàn)幾乎無熱效應(yīng)的加工.文獻(xiàn)[5]采用水輔助激光加工技術(shù)，通過水層帶走加工過程中的熱量和碎屑來縮小熱影響區(qū).然而，除卻表面熱效應(yīng)的影響，移動(dòng)臺(tái)的定位精度也與工件的加工精度有直接影響.激光微細(xì)加工移動(dòng)臺(tái)通常采用步進(jìn)電機(jī)進(jìn)行驅(qū)動(dòng)，在傳動(dòng)過程中不可避免存在機(jī)械摩擦，影響定位精度.磁懸浮作為一種磁力克服重力的技術(shù)，因其無接觸的特性很好地避免了部件之間的直接接觸與摩擦損耗，在交通運(yùn)輸、軸承、高精密數(shù)控機(jī)床等領(lǐng)域得到廣泛的研究[6-10].將磁懸浮的無接觸摩擦特性運(yùn)用于激光微細(xì)加工移動(dòng)臺(tái)，為進(jìn)一步提升加工精度提供了可能性.

在磁懸浮定位平臺(tái)的研究中，文獻(xiàn)[11]提出一種二維磁懸浮定位平臺(tái)，由6 對電磁鐵實(shí)現(xiàn)懸浮支撐與平面運(yùn)動(dòng).文獻(xiàn)[12]采用電磁鐵實(shí)現(xiàn)懸浮控制、直線電機(jī)進(jìn)行驅(qū)動(dòng)的方式，構(gòu)建多自由度的磁懸浮平臺(tái).文獻(xiàn)[13-14]考慮多個(gè)線圈組合排列，共同驅(qū)動(dòng)永磁體載體實(shí)現(xiàn)六自由度的運(yùn)動(dòng).以上研究中，因電磁鐵或線圈陣列均承載著平臺(tái)懸浮的功能，平臺(tái)面臨著能耗與溫升問題.永磁體因其低能耗的固有屬性而被廣泛研究.文獻(xiàn)[15]提出一種完全永磁懸浮裝置，通過改變盤狀永磁體的旋轉(zhuǎn)角度調(diào)整磁通量，從而改變懸浮力大小，可實(shí)現(xiàn)零功率懸浮控制.文獻(xiàn)[16]提出間隔分布的方形永磁體作為定子，驅(qū)動(dòng)器為線圈陣列的永磁平面電機(jī).文獻(xiàn)[17]提出由4 組線性哈爾巴赫陣列作為定子以及對應(yīng)的二相線圈繞組為驅(qū)動(dòng)器的磁懸浮平臺(tái).在上述磁懸浮平臺(tái)中，永磁體陣列或者哈爾巴赫陣列替代電磁鐵或者電磁線圈提供懸浮力，有效避免懸浮控制所需的能耗.但由于永磁體陣列或者哈爾巴赫陣列既提供懸浮力，也提供驅(qū)動(dòng)力，不可避免地存在耦合的問題.解耦問題往往是磁懸浮系統(tǒng)性能優(yōu)化的關(guān)鍵，也是重難點(diǎn)問題，因此，研究人員在模型優(yōu)化和控制算法上進(jìn)行了許多嘗試與探索[17-22].

本文提出一種新型磁懸浮平臺(tái)運(yùn)用于激光微細(xì)加工裝置中.在該平臺(tái)中，永磁斥力抵消重力，從而可忽略垂直方向的運(yùn)動(dòng)控制，電磁線圈用來實(shí)現(xiàn)水平方向的驅(qū)動(dòng).由此，不僅可以避免懸浮力與水平驅(qū)動(dòng)力的耦合，也消除了因電磁力平衡重力而產(chǎn)生的功耗和熱量.同時(shí)針對該磁懸浮平臺(tái)，采用分散控制策略，設(shè)計(jì)對動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程具有一定魯棒性的模糊PD（proportional-derivative）控制器，結(jié)果表明，該磁懸浮平臺(tái)具備毫米級(jí)的平面運(yùn)動(dòng)行程以及微米級(jí)的定位精度.本文安排如下：首先，介紹磁懸浮定位平臺(tái)的結(jié)構(gòu)及其工作原理；其次，基于文獻(xiàn)[23]進(jìn)行平臺(tái)的數(shù)學(xué)建模并建立動(dòng)力學(xué)方程，以此進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)，考慮平臺(tái)多點(diǎn)懸浮支撐的結(jié)構(gòu)特性，采用分散控制[24]降低控制器的設(shè)計(jì)難度，同時(shí)設(shè)計(jì)可實(shí)時(shí)修正PD 參數(shù)的模糊PD 控制器；最后，搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.

1 磁懸浮定位平臺(tái)

1.1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與工作原理

磁懸浮定位平臺(tái)三維模型結(jié)構(gòu)如圖1 所示，由3 組定子基座、3 個(gè)圓柱永磁體、載物平臺(tái)構(gòu)成.定子基座包括線圈陣列、線性霍爾傳感器、環(huán)形永磁體.定子基座中的線圈陣列（共4 個(gè)）位于環(huán)形永磁體上方，線圈繞圓環(huán)永磁體的中心軸線陣列分布，兩兩組合提供沿著x、y方向的水平電磁力.線性霍爾傳感器位于線圈陣列的中心軸線處，高度位于線圈高度的一半處，用于測量圓柱永磁體沿x、y方向移動(dòng)時(shí)的磁場變化.定子基座之間相互間隔120° 呈圓周分布，定子基座的中心距原點(diǎn)的距離為100 mm.最下方的圓形底座的半徑尺寸設(shè)計(jì)為170 mm，便于固定3 個(gè)環(huán)形永磁體.圓柱永磁體固定在載物平臺(tái)上，與載物平臺(tái)共同構(gòu)成移動(dòng)臺(tái).將一組定子基座和圓柱永磁體定義為一組子單元，3 組子單元具有一致的物理參數(shù).每組子單元中，圓環(huán)永磁體剩磁0.23 T，內(nèi)、外徑分別為60、100 mm，高度15 mm；圓柱永磁體2 個(gè)，剩磁1.03 T，直徑40 mm，高度5 mm；線圈內(nèi)、外徑分別為7、25 mm，電感4.28 mH，電感5.5 Ω.

圖1 磁懸浮平臺(tái)三維模型Fig.1 Three-dimensional model of maglev platform

本文的磁懸浮平臺(tái)中兩兩線圈組合提供一組電磁力，共提供6 組電磁力.現(xiàn)通過有限元仿真方式[23]對其中一組圓柱永磁體與線圈間的相互作用力進(jìn)行分析，建立圖2 所示坐標(biāo)系.電磁力的磁力大小與線圈電流成比例關(guān)系，取線圈電流為1 A，作歸一化處理.圖2 為圓柱永磁體在固定高度下，沿x方向移動(dòng)一定距離后再往y方向偏移0、1、2、3 mm 時(shí)圓柱永磁體所受電磁力大小.圖2（a）表明，在x≤ 3 mm，y≤3 mm，圓柱永磁體往y方向偏移時(shí)，電磁力在x方向的分量變化微小，最大變化量發(fā)生在x=0，y=3 mm處，其值為0.010 N，變化幅度為1.5%；電磁力在y方向的分量隨著偏移距離越遠(yuǎn)，其值增加，最大僅為0.008 N，為x方向電磁力分量的1.4%.圖2（b）表明，在x≤ 3 mm，y≤ 3 mm，圓柱永磁體往y方向偏移時(shí)，電磁力在z方向的分量變化微小，最大變化量發(fā)生在x=2 mm，y=3 mm 處，其值為0.010 N，變化幅度為0.7%.由此可認(rèn)為，由兩兩線圈組成的結(jié)構(gòu)中，在固定高度以及3 mm×3 mm 平面范圍內(nèi)，電磁力的大小與在y方向的位置無關(guān)，僅與在x方向的位置以及電流大小相關(guān)；假設(shè)電磁力在y方向的微小分量為外部擾動(dòng).由此線圈僅產(chǎn)生沿兩線圈中心連線方向的電磁力分量以及豎直向上的分量.

圖2 不同偏移距離下電磁力在x、y、z 方向的分量Fig.2 Components of electromagnetic force in x,y,and z directions at different offset distances

對平臺(tái)能否實(shí)現(xiàn)一定平面范圍內(nèi)穩(wěn)定的懸浮高度，進(jìn)行了以下探究.在重力與永磁斥力平衡的高度處，動(dòng)子沿平面內(nèi)移動(dòng)，令豎直方向上所受電磁力與永磁斥力之和的變化量與動(dòng)子的重力之比為k.若k＜0.1，且在該水平范圍內(nèi)，懸浮高度變化微小，即可認(rèn)為在此水平范圍內(nèi)動(dòng)子在豎直方向上合力為0，可忽略垂直方向上的控制[23].對本文所述的子單元結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，圖3 為圓柱永磁體沿x、y方向移動(dòng)，電磁力與永磁斥力之和在豎直方向上分量的變化情況以及對應(yīng)k值變化.由圖3 可知，本文所述的結(jié)構(gòu)在 ±2 mm 內(nèi)，k值始終在10%以內(nèi)，永磁斥力與電磁力在豎直方向上變化量最大為0.017 N，懸浮高度變化不到0.2 mm，因此，可認(rèn)為平臺(tái)結(jié)構(gòu)在4 mm ×4 mm 的平面范圍內(nèi)只需考慮x、y方向的運(yùn)動(dòng)控制，而忽略垂直方向上的控制.

圖3 豎直方向上的電磁力與永磁斥力之和以及k 值Fig.3 Sum of electromagnetic force and permanent magnet repulsion in vertical direction and k value

磁懸浮平臺(tái)的3 組子單元中環(huán)形永磁體對移動(dòng)臺(tái)產(chǎn)生一致的、豎直向上的排斥力，排斥力之和用于抵消移動(dòng)臺(tái)部分重力.子單元中同一軸線方向的兩個(gè)線圈反向串聯(lián)產(chǎn)生一組電磁力，3 組子單元的水平方向的電磁力總和與環(huán)形永磁體產(chǎn)生的被動(dòng)偏移力共同驅(qū)動(dòng)移動(dòng)臺(tái)在平面內(nèi)移動(dòng).

2 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

圖4 為磁懸浮平臺(tái)的受力分析簡圖，原點(diǎn)O設(shè)在載物平臺(tái)的質(zhì)心位置處，建立全局坐標(biāo)系，并確定3 組子單元的序號(hào)，按逆時(shí)針排序?yàn)?、2、3.令圓環(huán)永磁體對圓柱永磁體的作用力為Fm，兩兩組合的線圈對圓柱永磁體作用力為Fe，圓柱永磁體與載物平臺(tái)的質(zhì)量之和為m.將圓柱永磁體統(tǒng)稱為動(dòng)子.將Fm在x、y、z方向上分別分解為Fmx、Fmy、Fmz.令i=1,2,3，依次表示3 個(gè)子單元，則第i組子單元在x、y、z方向上的永磁斥力為Fmxi、Fmyi、Fmzi，對應(yīng)電磁力為Fexi、Feyi、Fezi.平面內(nèi)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

圖4 磁懸浮平臺(tái)的受力分析Fig.4 Force analysis of maglev platform

式中：θ 為磁懸浮平臺(tái)繞z軸旋轉(zhuǎn)的角度；J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；fx、fy分別為x、y方向上的外界干擾力；φi為單元i動(dòng)子質(zhì)心和原點(diǎn)的連線與x軸正方向按順時(shí)針?biāo)纬傻膴A角；L=100 mm，為各子單元中動(dòng)子的質(zhì)心到全局坐標(biāo)系原點(diǎn)的水平距離；M為外界干擾力矩.

本文的磁懸浮實(shí)物平臺(tái)設(shè)計(jì)中各個(gè)子單元具有一致的幾何參數(shù)和幾乎一致的磁場特性，可認(rèn)為各個(gè)子單元具有一致的數(shù)學(xué)模型.以其中一個(gè)單元中圓柱永磁體在x方向?yàn)槔?，通過COMSOL Multiphysics?得到永磁體和電磁線圈的有限元仿真模型，通過多項(xiàng)式擬合獲得磁力公式，由此得到的偏移力Fmx1和電磁力Fex1分別為

同理，在y方向的偏移力Fmy1和電磁力Fey1分別為

式（4）～（7）中：kmi為單元i中動(dòng)子的被動(dòng)偏移力剛度系數(shù)，kei為單元i中動(dòng)子的電磁力剛度系數(shù)，kIi為單元i中動(dòng)子的電流剛度系數(shù)，I1、I2分別為單元1在x、y方向線圈所通的電流.

通過多項(xiàng)式擬合，偏移力和電磁力的各項(xiàng)系數(shù)以及擬合程度如表1 所示，其中，偏移力和電磁力的擬合度分別為0.998 7、0.994 1.

表1 擬合后的各項(xiàng)系數(shù)Tab.1 Various coefficients after fitting

因本文僅探究平面內(nèi)的平移運(yùn)動(dòng)，暫未考慮平臺(tái)繞z軸旋轉(zhuǎn)的問題.將式（4）～（7）代入式（1）、（2）中，得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

式中：I3、I4分別為單元2 在x、y方向的線圈所通的電流，I5、I6分別為單元3 在x、y方向的線圈所通的電流.

在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，放置6 個(gè)霍爾傳感器檢測3 個(gè)單元分別在x、y方向的運(yùn)動(dòng)，所測量的位移變化量(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)分別為

3 控制器設(shè)計(jì)

由于磁懸浮系統(tǒng)具有開環(huán)非線性的特點(diǎn)，需要設(shè)計(jì)反饋控制以達(dá)到穩(wěn)定的狀態(tài).分散控制可忽略各個(gè)單元之間的耦合關(guān)系，獨(dú)立控制各個(gè)單元，使得控制器具有設(shè)計(jì)簡單、易于實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，該策略在工程實(shí)際中運(yùn)用廣泛[24-25].模糊PID 控制運(yùn)用模糊語言與專家知識(shí)，可在線對PID 參數(shù)進(jìn)行適應(yīng)性調(diào)整，具有一定柔性，在動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程中具有良好的魯棒性.磁懸浮平臺(tái)基于多點(diǎn)支撐懸浮驅(qū)動(dòng)的結(jié)構(gòu)特性，采取分散控制策略，且磁懸浮平臺(tái)系統(tǒng)為滯后系統(tǒng)，因此，選用具有超前補(bǔ)償?shù)腜D 控制算法與模糊控制相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)過程中的穩(wěn)定調(diào)節(jié).本文基于分散控制策略對3 組子單元的x、y方向均采取獨(dú)立的模糊PD 控制算法.因本文僅探究了平面內(nèi)的平移運(yùn)動(dòng)，3 組子單元給予相同的參考信號(hào)實(shí)現(xiàn)平臺(tái)整體移動(dòng)，因此，3 組子單元具有一致的調(diào)節(jié)過程.下面以單元1 為例進(jìn)行模糊PD 控制器的設(shè)計(jì)以及描述其控制過程.

3.1 模糊PD 控制器設(shè)計(jì)

以單元1 中的x方向?yàn)槔?，PD 控制器的傳遞函數(shù)G(s) 為

式中：E(s) 為輸入控制器中的偏差量，U(s)為控制器的輸出量，P為比例系數(shù)，D為微分系數(shù)，s為復(fù)頻率.

模糊控制流程如圖5 所示.將動(dòng)子位移的偏差量E與偏差變化量Ec為模糊控制器的2 個(gè)輸入，選用三角隸屬度函數(shù)對輸入量和輸出量進(jìn)行模糊化處理，模糊量的子集選用 {NB（負(fù)大），NM（負(fù)中），NS（負(fù)小），ZO（零），PS（正?。?，PM（正中），PB（正大）}，根據(jù)由實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和專家知識(shí)組成的知識(shí)庫進(jìn)行模糊規(guī)則推理，輸出模糊量，采用重心法對輸出量進(jìn)行解模糊處理，輸出參數(shù)P、D經(jīng)模糊控制器輸出的變化量 ΔKp、ΔKd，如式（11）、（12）所示.

圖5 模糊控制器流程Fig.5 Flow chart of fuzzy controller

由于浮子位置變化范圍為4 mm，令E的基本論域?yàn)?[-2，2]；在數(shù)字控制器中，Ec表現(xiàn)為當(dāng)前偏差與上一次偏差的差值，令Ec的基本論域?yàn)?[-1，1]；依據(jù)PD 控制環(huán)節(jié)的調(diào)試經(jīng)驗(yàn)，設(shè)定 ΔKp和ΔKd的基本論域分別為[-0.01，0.01]、[-0.1，0.1]；同時(shí)，結(jié)合前人經(jīng)驗(yàn)以及實(shí)際控制經(jīng)驗(yàn)確定模糊規(guī)則表.模糊控制器的量化因子、變量的基本論域、模糊論域、ΔKp和 ΔKd的模糊規(guī)則，見表2～4.

表2 模糊控制器參數(shù)Tab.2 Parameters of fuzzy controller

表3 Δ Kp 的模糊規(guī)則Tab.3 Fuzzy rule ofΔKp

表4 ΔKd的模糊規(guī)則Tab.4 Fuzzy rule of ΔKd

本文由數(shù)字控制器實(shí)現(xiàn)3 組子單元的模數(shù)轉(zhuǎn)換、模糊PD 算法計(jì)算以及驅(qū)動(dòng)電壓控制.單元1 系統(tǒng)控制過程如下：單元1 中線性霍爾傳感器檢測到由動(dòng)子位移變化帶來的磁場信號(hào)變化，將其轉(zhuǎn)化成電壓信號(hào)，通過信號(hào)放大電路傳輸至控制單元的模數(shù)轉(zhuǎn)換模塊（AD 變換），得到信號(hào)值，與參考信號(hào)作比較后輸入控制單元，控制單元實(shí)時(shí)計(jì)算并輸出PWM（pulse width modulation），經(jīng)光耦隔離后傳輸至驅(qū)動(dòng)電路，并輸出相應(yīng)的電壓，電壓信號(hào)傳輸至線圈兩端轉(zhuǎn)換成電流信號(hào)，由此線圈產(chǎn)生電磁力，與圓環(huán)永磁體產(chǎn)生的偏移力共同調(diào)整子單元中動(dòng)子在水平面內(nèi)的移動(dòng).單元2、3 系統(tǒng)控制過程同上.單元1系統(tǒng)控制過程如圖6，圖中：U1為位移量x1經(jīng)傳感器輸出的電壓信號(hào).

圖6 單元1 的x 方向控制框圖Fig.6 Control block diagram of unit 1 in x direction

4 實(shí) 驗(yàn)

磁懸浮平臺(tái)整體架構(gòu)如圖7 所示，基于CortexTMM4 內(nèi)核的高性能微控制器STM32F407ZGT6 是控制系統(tǒng)的核心，接收由3 個(gè)子單元的線性霍爾傳感器SS495A 輸出的電壓信號(hào)，同時(shí)獨(dú)立輸出各單元的電壓控制信號(hào).其中，線性霍爾傳感器的分辨率為3.125 mV/Gs，微控制器輸出位移信號(hào)的分辨率為2.85 μm.上位機(jī)實(shí)時(shí)監(jiān)測平臺(tái)的位移信號(hào)，示波器提供可視化的線圈電壓波動(dòng)信號(hào).

圖7 磁懸浮平臺(tái)的整體架構(gòu)Fig.7 Overall structure of maglev platform

本文僅探究磁懸浮平臺(tái)在平面內(nèi)的平移運(yùn)動(dòng)，所以在實(shí)驗(yàn)中給予3 組子單元一致的位移參考信號(hào).采用3 組子單元測量的位移量平均值表示平臺(tái)整體的位移.引入均方根誤差eRMSE（式（14））和最大跟蹤誤差量化磁懸浮平臺(tái)的控制效果.

式中：ej為第j個(gè)采樣點(diǎn)的實(shí)際測量值與參考值的偏差；N為采樣點(diǎn)的數(shù)量.

4.1 控制器比較

對磁懸浮系統(tǒng)分別采取PD 控制和模糊PD 控制，并進(jìn)行x方向上0.5 mm 的階躍響應(yīng)以及幅值為0.5 mm 的余弦跟隨實(shí)驗(yàn).在PD 控制實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)，對P、D參數(shù)進(jìn)行多次調(diào)整，最后取3.0，以獲得較小的均方根誤差和穩(wěn)定的動(dòng)態(tài)跟隨曲線.令PD 控制最終P、D參數(shù)與模糊PD 控制中初始P、D參數(shù)取值一致.圖8 為磁懸浮平臺(tái)在x方向上的階躍響應(yīng)，其步長為0.5 mm.由圖可知：PD 控制階躍響應(yīng)具有明顯的超調(diào)現(xiàn)象，其超調(diào)量達(dá)到0.411 7 mm；而模糊PD 控制階躍響應(yīng)的超調(diào)量僅為0.093 1 mm，為前者的22.6%.

圖8 x 方向上的0.5 mm 階躍響應(yīng)曲線Fig.8 Step response curve of 0.5 mm in x direction

圖9 為磁懸浮平臺(tái)在x方向上2 個(gè)周期的余弦跟隨曲線，幅值為0.5 mm.由圖可知：模糊PD 控制相較于PD 控制具有更好的動(dòng)態(tài)性能；PD 控制下的跟隨曲線均方根誤差為0.075 1 mm，最大跟蹤誤差為0.403 2 mm；而模糊PD 控制下的跟隨曲線均方根誤差為0.046 9 mm，最大跟蹤誤差僅為0.156 8 mm，是PD 控制下的38.8%.綜上可知，在相同的初始參數(shù)下，相較于PD 控制算法采用模糊PD 控制算法，能夠有效降低超調(diào)量，并且具有更優(yōu)的動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)性能.

圖9 x 方向上的余弦跟隨曲線Fig.9 Sinusoidal following curve in x direction

4.2 懸浮實(shí)驗(yàn)

在微控制器中給定3 組子單元一致的參考位置（x1,x2,x3,y1,y2,y3=0），隨后給系統(tǒng)上電，將平臺(tái)放置在定子基座上方，直至平臺(tái)實(shí)現(xiàn)懸浮.圖10 為放置平臺(tái)至穩(wěn)定懸浮的過程.

圖10 磁懸浮平臺(tái)在x、y 方向的靜態(tài)懸浮過程Fig.10 Static levitation process of maglev platform in x and y directions

圖10 表明：在5 s 后平臺(tái)趨于穩(wěn)定，并能夠維持長時(shí)間的穩(wěn)定狀態(tài)；平臺(tái)在靜態(tài)懸浮狀態(tài)下，x、y方向的均方根誤差分別為7.19、2.95 μm，其最大跟蹤誤差分別為17、11 μm.由此可認(rèn)為，該磁懸浮平臺(tái)具有良好的懸浮效果，能夠?qū)崿F(xiàn)微米級(jí)的懸浮精度.

4.3 步進(jìn)響應(yīng)實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證該磁懸浮平臺(tái)可實(shí)現(xiàn)大范圍的行程，對磁懸浮平臺(tái)進(jìn)行0.028 5 mm 的小步長位移響應(yīng)，如圖11 所示.

圖11 平臺(tái)小步長響應(yīng)曲線Fig.11 Small step response curves of platform

圖11 表明：x、y方向小步長響應(yīng)均能夠穩(wěn)定地跟隨參考曲線，且行程范圍分別為4.5 mm 和4.6 mm；隨著x方向的步進(jìn)響應(yīng)，y方向的最大跟蹤誤差不超過0.16 mm；隨著y方向的步進(jìn)響應(yīng)，x方向的最大跟蹤誤差也不超過0.16 mm，由此可認(rèn)為，該磁懸浮平臺(tái)具備x與y方向解耦的能力.但不可避免的是，隨著參考位移的增加，實(shí)驗(yàn)跟隨曲線的均方根誤差也在不斷增加.x方向的均方根誤差由0.004 9 mm 增加到0.874 8 mm，y方向的均方根誤差由0.006 1 mm 增加到0.721 0 mm，其原因在于控制環(huán)節(jié)缺少積分項(xiàng)而造成穩(wěn)態(tài)誤差不斷累積.

4.4 雙軸組合工作實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證磁懸浮平臺(tái)具有x與y軸的組合工作能力，對磁懸浮平臺(tái)進(jìn)行直徑為1 mm 圓形軌跡的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)，如圖12 所示.圖中：紅色圓點(diǎn)表示為直徑為1 mm 的圓形參考曲線，其中步進(jìn)角度為60/π；藍(lán)色方框表示平臺(tái)的實(shí)驗(yàn)跟隨曲線.圖13 為實(shí)驗(yàn)跟隨過程中，實(shí)測值與參考值的誤差散點(diǎn)圖.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明：圓形跟隨軌跡的均方根誤差為0.095 4 mm，最大跟蹤誤差為0.244 8 mm.因此，從實(shí)驗(yàn)曲線上來看能夠?qū)崿F(xiàn)很好地跟隨，磁懸浮平臺(tái)具有一定的組合工作能力.

圖12 平臺(tái)進(jìn)行直徑1 mm 的圓周運(yùn)動(dòng)Fig.12 Circular motion of platform within diameter of 1 mm

圖13 實(shí)測值與參考值的誤差分布Fig.13 Error distribution of measured and reference values

5 結(jié)論

本文介紹了所設(shè)計(jì)磁懸浮平臺(tái)的結(jié)構(gòu)和工作原理，并建立平面內(nèi)的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，進(jìn)行模糊PD 控制器設(shè)計(jì)，最后設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證平臺(tái)的靜態(tài)懸浮能力以及平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)控制能力，得出以下結(jié)論：

1）針對激光微細(xì)加工的移動(dòng)平臺(tái)存在機(jī)械摩擦問題，提出一種新型的二自由度混合斥力式磁懸浮平臺(tái).在 ±2 mm 內(nèi)，該平臺(tái)所受垂直方向的合力變化為0.017 N，懸浮高度變化在0.2 mm 內(nèi)，因此，可近似認(rèn)為該平臺(tái)垂直方向合力為0，可忽略垂直方向的運(yùn)動(dòng)控制，從而實(shí)現(xiàn)懸浮與驅(qū)動(dòng)解耦.

2）基于平臺(tái)的多點(diǎn)懸浮驅(qū)動(dòng)控制特性，采用分散控制策略，設(shè)計(jì)模糊PD 控制器.通過實(shí)驗(yàn)對比可知，與PD 控制器相比，本文提出的模糊PD 控制器能夠有效減少超調(diào)量，超調(diào)量為前者的22.6%，并且最大跟蹤誤差為前者的38.8%，具有更優(yōu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性.

3）搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行試驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該磁懸浮平臺(tái)具有良好的靜態(tài)懸浮效果，x、y方向靜態(tài)懸浮的均方根誤差分別為7.19、2.95 μm.實(shí)驗(yàn)同樣驗(yàn)證了該平臺(tái)在x、y方向均可實(shí)現(xiàn)4 mm 的行程范圍，且具備x、y軸的組合工作能力，即該平臺(tái)可滿足4 mm × 4 mm 的平面范圍內(nèi)的運(yùn)動(dòng)控制.

綜上，本文提出的新型磁懸浮平臺(tái)具備懸浮與驅(qū)動(dòng)解耦的能力；同時(shí)所設(shè)計(jì)的模糊PD 控制器使得平臺(tái)具有平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)可控的能力，能夠?qū)崿F(xiàn)毫米級(jí)的行程以及微米級(jí)的精度.為磁懸浮技術(shù)運(yùn)用于激光微細(xì)加工，提高其加工精度提供了可能性.但實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)同樣表明，結(jié)果仍存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差，同時(shí)各單元之間的耦合仍然不可忽略.因此，為提高運(yùn)動(dòng)控制的準(zhǔn)確性，在后續(xù)的工作中將引入積分控制項(xiàng)或者采納更為合適的控制算法，滿足快速響應(yīng)和穩(wěn)定性的同時(shí)，進(jìn)一步消除穩(wěn)態(tài)誤差.