基于迭代RMSE 法的約束阻尼板動(dòng)力特性分析

劉全民，葉孝意，宋立忠，孫逸飛，劉林芽

（華東交通大學(xué)軌道交通基礎(chǔ)設(shè)施性能監(jiān)測與保障國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌 330013）

黏彈性阻尼結(jié)構(gòu)具有高效的減振降噪能力及質(zhì)量輕等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用在航空航天、土木工程、交通運(yùn)輸?shù)阮I(lǐng)域[1-2]，如在車輪表面粘貼約束阻尼層以增大車輪阻尼[3]，在飛機(jī)壁板敷設(shè)約束阻尼層控制中低頻結(jié)構(gòu)振動(dòng)和噪聲[4]等.黏彈性阻尼材料具有黏性流體和彈性固體2 種特性[5]：黏性流體在受到外力時(shí)耗散能量，而彈性固體則是儲(chǔ)存能量；彈性材料的應(yīng)力和應(yīng)變幾乎是同時(shí)增加和減小的，基本不存在相位差[6]；黏彈性材料的應(yīng)變滯后于應(yīng)力，應(yīng)力應(yīng)變曲線呈橢圓形，橢圓形滯回曲線所包含的面積表示黏彈性材料耗散的能量.

根據(jù)實(shí)際所需，表面敷設(shè)黏彈性阻尼結(jié)構(gòu)的形式主要有以下4 種：1）自由阻尼層結(jié)構(gòu)（FLD），直接將黏彈性材料敷設(shè)在需要減振的結(jié)構(gòu)表面上；2）被動(dòng)約束阻尼層結(jié)構(gòu)（PCLD），在自由阻尼層表面再敷設(shè)一層彈性約束層；3）主動(dòng)約束阻尼層結(jié)構(gòu)（ACLD），采用可控壓電材料約束層代替PCLD 中不可控約束層；4）智能約束阻尼層結(jié)構(gòu)（SCLD），將傳統(tǒng)的被動(dòng)約束阻尼層與主動(dòng)控制技術(shù)相結(jié)合的新興阻尼減振降噪結(jié)構(gòu)[7].被動(dòng)約束阻尼結(jié)構(gòu)是一種將黏彈性阻尼材料鋪設(shè)在結(jié)構(gòu)層和具有較大剛度的約束層之間的結(jié)構(gòu)[8-9]，要求阻尼層與結(jié)構(gòu)層之間、約束層與阻尼層之間粘結(jié)牢固，阻尼層隨結(jié)構(gòu)層彎曲振動(dòng)產(chǎn)生拉壓變形，同時(shí)約束層能夠約束住阻尼層的拉壓變形，從而使阻尼層產(chǎn)生剪切變形，耗散更多的振動(dòng)能量實(shí)現(xiàn)減振降噪[10]，具有減振效果好、可靠性高、成本低等優(yōu)點(diǎn)，適用于鋼結(jié)構(gòu)等的振動(dòng)控制.

衡量黏彈性材料耗能性能的主要指標(biāo)是材料的損耗因子，約束阻尼結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子則是衡量阻尼處理是否合理、減振效果是否顯著的關(guān)鍵，不少學(xué)者對此進(jìn)行了積極的探索：郭中澤等[11]利用Reissner夾層板理論計(jì)算了約束阻尼結(jié)構(gòu)的固有頻率和模態(tài)損耗因子；Johnson 和Kienholz[12]采用模態(tài)應(yīng)變能法（MSE 法）計(jì)算了復(fù)合夾層梁前5 階模態(tài)損耗因子；Ren 和Zhao[13]采用有限元法計(jì)算了不考慮阻尼材料頻變特性時(shí)約束阻尼板前5 階模態(tài)損耗因子；Rao等[14]用直接頻率響應(yīng)技術(shù)和模態(tài)應(yīng)變能方法求解黏彈性約束阻尼梁損耗因子；Ravi 等[15-16]將黏彈性材料的力學(xué)性能參數(shù)（剪切模量和損耗因子）考慮成常數(shù)，采用有限元法建立了彈性-黏彈性復(fù)合梁動(dòng)力學(xué)模型，分析了結(jié)構(gòu)前2 階固有頻率和模態(tài)損耗因子.

已有的約束阻尼結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析大多將黏彈性材料的剪切模量和損耗因子看作常數(shù)，而黏彈性阻尼材料特性隨頻率變化顯著，這將導(dǎo)致在對約束阻尼結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性進(jìn)行計(jì)算時(shí)對計(jì)算結(jié)果帶來誤差.MSE法計(jì)算效率高，較多地應(yīng)用在約束阻尼結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子計(jì)算中，但已有研究往往忽略了黏彈性材料虛剛度的影響.為了減小阻尼層黏彈性材料虛剛度和參數(shù)頻變特性對約束阻尼結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子計(jì)算造成的誤差，計(jì)算出的約束阻尼結(jié)構(gòu)更接近真實(shí)的模態(tài)損耗因子，本文結(jié)合修正模態(tài)應(yīng)變能法（RMSE法）和迭代算法，探討?zhàn)椥圆牧咸搫偠燃皡?shù)頻變特性對約束阻尼板的振型、固有頻率和模態(tài)損耗因子的影響.

1 模態(tài)應(yīng)變能法

模態(tài)應(yīng)變能法被認(rèn)為是黏彈性阻尼結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子計(jì)算中最實(shí)用的一種方法，反映了整個(gè)結(jié)構(gòu)在敷設(shè)約束阻尼層后，每一階振型對于諧振峰的抑制作用.其主要做法是假定黏彈性阻尼結(jié)構(gòu)的模態(tài)近似于對應(yīng)結(jié)構(gòu)的無阻尼模態(tài)，有限元法計(jì)算時(shí)，只需將黏彈性阻尼材料當(dāng)作具有實(shí)剛度模量的純彈性體，從而避免了復(fù)雜的復(fù)特征值計(jì)算.該方法同時(shí)具有較高的計(jì)算效率和計(jì)算精度[17].

約束阻尼結(jié)構(gòu)形式作以下假設(shè)[18-20]：1）各層材料為線彈性、均勻、各向同性；2）結(jié)構(gòu)能正常工作，各層之間粘結(jié)非常牢固，在彎曲過程中各層之間不會(huì)產(chǎn)生滑動(dòng)，將約束阻尼層整體作為一個(gè)耗能元件，不考慮能量在約束層和阻尼層之間的流動(dòng)；3）垂直于板中間的各層無擠壓；4）黏彈性材料對結(jié)構(gòu)阻尼貢獻(xiàn)是主要的.

一般地，無阻尼自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程[21]為

式（1）的特征方程為

其中：λ 為特征值；Φ 為特征向量.

當(dāng)結(jié)構(gòu)為含有黏彈性材料的復(fù)合結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)剛度矩陣KG為復(fù)剛度矩陣，如式（3）.

式中：Ke為復(fù)合結(jié)構(gòu)彈性部分剛度矩陣；KvR為復(fù)合結(jié)構(gòu)黏彈性部分剛度矩陣實(shí)部；KvI為復(fù)合結(jié)構(gòu)黏彈性部分剛度矩陣虛部；ηv為黏彈性阻尼材料損耗因子.

黏彈性復(fù)合結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程為

復(fù)合結(jié)構(gòu)特征方程為

式中：λG為復(fù)合結(jié)構(gòu)復(fù)特征值，如式（6）；ΦG為復(fù)合結(jié)構(gòu)復(fù)特征向量.

式中：λR、λI分別為復(fù)特征值的實(shí)部和虛部；η 為復(fù)合結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子.

將式（6）代入式（5）得

將 ΦG由實(shí)特征向量 ΦR近似，則

根據(jù)式（9）兩邊實(shí)部與虛部分別相等，可得

將式（10）代入式（11），可得復(fù)合結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子的計(jì)算表達(dá)式為

聯(lián)合式（13）、（14）可得

2 基于迭代的RMSE 算法

本文采用基于RMSE 的迭代算法求解復(fù)合結(jié)構(gòu)的頻率和損耗因子有以下2 個(gè)原因：1）一般而言，約束阻尼結(jié)構(gòu)不同階次下模態(tài)損耗因子不同，不同階次采用相同修正系數(shù)可能導(dǎo)致修正不足或過量；2）黏彈性材料的剪切模量及損耗因子隨頻率變化較大，這使得不同模態(tài)階次下剪切模量、材料損耗因子具有顯著差異，這對模態(tài)損耗因子和固有頻率的計(jì)算有很大影響.RMSE 方法僅在計(jì)算特征向量時(shí)使用復(fù)剛度的絕對值來考慮虛剛度的影響，從而避免特征向量和剛度雙重修正引起的過度修正.黏彈性材料參數(shù)是頻變的，而約束阻尼結(jié)構(gòu)的固有頻率又與材料參數(shù)有關(guān)，而這可以通過迭代算法來實(shí)現(xiàn).通過迭代計(jì)算考慮黏彈性阻尼材料的頻變特性，可更準(zhǔn)確地分析模態(tài)損耗因子和固有頻率.

該迭代法的具體實(shí)現(xiàn)步驟：

步驟1約束阻尼結(jié)構(gòu)進(jìn)行實(shí)模態(tài)分析得各階固有頻率.

步驟2選取該頻率下阻尼層材料損耗因子和剪切模量，進(jìn)行模態(tài)分析得到新的固有頻率.

步驟3將前、后2 組的固有頻率進(jìn)行比較，若滿足誤差公式（其中，fi,j為第j次模態(tài)分析后約束阻尼結(jié)構(gòu)的第i階頻率），則輸出固有頻率，并采用RMSE 方法計(jì)算該階模態(tài)損耗因子，否則，重復(fù)步驟1 和步驟2.

3 計(jì)算方法驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文提出的基于RMSE 的迭代法較MSE 迭代法的準(zhǔn)確性，建立與文獻(xiàn)[23]相同的模型，計(jì)算結(jié)構(gòu)固有頻率和模態(tài)損耗因子，并與MSE 迭代法及文獻(xiàn)[23]的模態(tài)試驗(yàn)測試數(shù)據(jù)對比分析.本文RMSE 迭代法考慮了阻尼層虛剛度的貢獻(xiàn)，這與已有MSE 迭代法顯著不同.

文獻(xiàn)[23]試驗(yàn)材料為ZN-3 黏彈性阻尼材料，試驗(yàn)的頻率范圍為0.1～200.0 Hz，且在該范圍內(nèi)材料的儲(chǔ)能模量E和損耗因子 ηv、頻率f的關(guān)系為

文獻(xiàn)[23]中試驗(yàn)采用的結(jié)構(gòu)形式是一邊固定的約束阻尼板.本文均采用實(shí)體單元模擬結(jié)構(gòu)層、約束層和阻尼層，計(jì)算模型邊界條件為懸臂約束，如圖1所示.基層和約束層彈性模量均為70 GPa，模型其他參數(shù)如表1 所示，計(jì)算結(jié)果對比如表2 所示.

表1 文獻(xiàn)[23]模型參數(shù)Tab.1 Model parameters in reference [23]

表2 試驗(yàn)與計(jì)算結(jié)果比較Tab.2 Comparison of experimental and calculated results

圖1 結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Structural model

從表2 中可以看出，對比文獻(xiàn)[23]的實(shí)測數(shù)據(jù)，本文算法考慮阻尼層虛剛度貢獻(xiàn)和材料頻變特性后得到的固有頻率和模態(tài)損耗因子誤差更小，表明本文提出的算法較傳統(tǒng)MSE 迭代法的計(jì)算精度更高.由于本文算法涉及的仍然是與傳統(tǒng)MSE 法相同的實(shí)特征求解，通常迭代3～5 次計(jì)算結(jié)果即可收斂，計(jì)算效率雖低于傳統(tǒng)MSE 法，但仍然明顯高于復(fù)特征值法.

4 約束阻尼板動(dòng)力特性分析

黏彈性阻尼材料的損耗因子和儲(chǔ)能剪切模量隨頻率變化顯著.本文選用ISD-112 型黏彈性阻尼材料，頻變儲(chǔ)能剪切模量和材料損耗因子如圖2.在0～1 000.0 Hz 內(nèi)，儲(chǔ)能剪切模量G和損耗因子ηv與頻率f的關(guān)系[1]為

圖2 ISD-112 阻尼材料頻變特性Fig.2 Frequency-dependent characteristics of damping material ISD-112

在采用迭代算法計(jì)算約束阻尼板模態(tài)損耗因子時(shí)，利用式（18）、（19）可得到任意頻率下阻尼材料的儲(chǔ)能剪切模量和材料損耗因子.

計(jì)算模型邊界條件為四邊簡支，基層和約束層彈性模量為68.95 GPa，其他具體物理參數(shù)如表3 所示.

表3 模型參數(shù)Tab.3 Model parameters

4.1 模態(tài)振型對比

由于本文關(guān)心的頻率范圍是0～1.0 kHz，所以選取中間頻率500.0 Hz 對應(yīng)的儲(chǔ)能剪切模量和材料損耗因子作為約束阻尼板非頻變參數(shù)進(jìn)行模態(tài)分析.迭代法則可以選擇任意頻率下的儲(chǔ)能剪切模量和材料損耗因子作為初值，按照第2 節(jié)描述的步驟進(jìn)行迭代模態(tài)分析.

迭代前后計(jì)算所得的前20 階模態(tài)振型相差不大，現(xiàn)取其中的4 階計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比分析.約束阻尼板結(jié)構(gòu)層第1、12、15、20 階模態(tài)振型結(jié)果如圖3 所示.

圖3 結(jié)構(gòu)層模態(tài)振型Fig.3 Modal shapes of structural layer

從圖3 可以看出：迭代前后，各階模態(tài)振型形狀基本相同，僅部分模態(tài)振型相位相差180°.這是由于阻尼層對整個(gè)結(jié)構(gòu)的剛度貢獻(xiàn)不大，所以剪切模量的改變對振型形狀的影響可忽略，但會(huì)改變振型的相位.

4.2 固有頻率對比

迭代前后黏彈性約束阻尼板前20 階固有頻率計(jì)算結(jié)果如圖4 所示.由圖可見：對于前10 階，非迭代計(jì)算的固有頻率均高于迭代后的，且差值逐漸減??；對于后10 階，非迭代計(jì)算的固有頻率又低于迭代后的結(jié)果，且差值逐漸增大；在第10 階時(shí)，由于該頻率下的阻尼層剪切模量與實(shí)際值最為接近，故迭代前后的差值最小.

圖4 迭代前后各階固有頻率對比Fig.4 Comparison of intrinsic frequencies before and after iteration

迭代前后，約束阻尼結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣不發(fā)生改變，對于影響固有頻率的因素而言，唯一的變化在于結(jié)構(gòu)的剛度.迭代前后剛度的不同是阻尼層剪切模量變化引起的，阻尼材料的剪切模量隨頻率變化函數(shù)如式（18）所示，阻尼層剪切模量隨頻率增大而增大，所以迭代法計(jì)算時(shí)，結(jié)構(gòu)剛度隨階數(shù)增大而增大.非迭代計(jì)算，阻尼層剪切模量只能取定值（本文取500.0 Hz 對應(yīng)的剪切模量），結(jié)構(gòu)剛度矩陣不變，顯然低階模態(tài)高估了阻尼層剪切模量，高階模態(tài)又低估了阻尼層剪切模量.

以上分析表明，忽略阻尼層材料虛剛度貢獻(xiàn)及其頻變特性，阻尼層模量取定值會(huì)造成固有頻率計(jì)算出現(xiàn)明顯偏差.

4.3 模態(tài)損耗因子對比

為了修正由于未考慮黏彈性材料頻變特性而引起的誤差，Johnson 等[12]提出了利用頻率函數(shù)f(ω)對損耗因子進(jìn)行修正，損耗因子修正計(jì)算公式為

式中:ω為圓頻率；ωi為第i階模態(tài)頻率；Gd(ωi) 為第i階模態(tài)對應(yīng)的黏彈性材料剪切模量；Gd,ref為實(shí)模態(tài)分析中采用的剪切模量；ηi為第i階非迭代模態(tài)損耗因子；ηr為修正模態(tài)損耗因子.

將采用頻率修正法計(jì)算得到的模態(tài)損耗因子與迭代前后的模態(tài)損耗因子進(jìn)行對比，如圖5 所示.可以看出，非迭代計(jì)算的模態(tài)損耗因子在低頻時(shí)偏差較大，頻率修正法計(jì)算的模態(tài)損耗因子在高頻時(shí)偏差較大.

圖5 模態(tài)損耗因子對比Fig.5 Comparison of modal loss factors

將迭代法計(jì)算結(jié)果作為參照，對比分析不進(jìn)行迭代和頻率修正對模態(tài)損耗因子的影響.不進(jìn)行迭代的計(jì)算誤差范圍為-56.00%～3.72%，對于頻率修正后的計(jì)算誤差范圍為-10.20%～3.62%.所以通過頻率修正能在一定程度減小損耗因子的計(jì)算誤差，但在高階時(shí)會(huì)導(dǎo)致修正過度，說明頻率修正得到的損耗因子也存在較大誤差，不能較好地解決不考慮阻尼材料頻變特性帶來的影響.

3 種方式下求得的模態(tài)損耗因子在第10 階最為接近，原因是第10 階時(shí)結(jié)構(gòu)頻率在500.0 Hz 左右，而不進(jìn)行迭代采用的材料參數(shù)為頻率500.0 Hz對應(yīng)的材料屬性值，所以在該頻段附近的計(jì)算結(jié)果會(huì)比較接近真實(shí)值，才會(huì)出現(xiàn)三者的計(jì)算結(jié)果相近.

4.4 約束阻尼層參數(shù)分析

阻尼層厚度和約束層厚度對約束阻尼板減振效果至關(guān)重要，所以本節(jié)主要分析這2 個(gè)參數(shù)對約束阻尼結(jié)構(gòu)的模態(tài)損耗因子的影響規(guī)律.

4.4.1 阻尼層厚度對比分析

將約束層厚度取0.762 mm，阻尼層的厚度依次取0.154、0.254、0.354、0.454、0.554 mm，討論在不同厚度下約束阻尼板模態(tài)損耗因子的變化，計(jì)算結(jié)果如圖6 所示.由此可見，隨著阻尼層厚度的增加，損耗因子不斷增大，但增加相同的厚度，損耗因子增量不斷減小.

圖6 不同阻尼層厚度下CLD 板模態(tài)損耗因子Fig.6 Modal loss factors of CLD plate under various thicknesses of damping layer

4.4.2 約束層厚度對比分析

阻尼層厚度取0.254 mm，約束層的厚度依次取0.262、0.562、0.762、1.262、1.762 mm 和2.262 mm，討論在不同厚度下約束阻尼結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子變化，計(jì)算結(jié)果如圖7 所示.由此可見，隨著約束層厚度增加，結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子不斷增大，但增大到一定值時(shí)，開始減小.這說明并不是約束層厚度越大越好，而是存在最佳值使模態(tài)損耗因子最大.約束層厚度與基層厚度相等時(shí)，模態(tài)損耗因子最大.

圖7 不同約束層厚度下CLD 板模態(tài)損耗因子Fig.7 Modal loss factors of CLD plate under various thicknesses of constraint layer

5 結(jié)論

1）通過與相關(guān)文獻(xiàn)試驗(yàn)實(shí)測數(shù)據(jù)對比驗(yàn)證了本文所提出算法的準(zhǔn)確性，并且較已有MSE 迭代法具有更高的計(jì)算精度，說明有必要考慮阻尼層虛剛度的貢獻(xiàn).

2）不考慮阻尼材料參數(shù)頻變特性，結(jié)構(gòu)層模態(tài)振型形狀基本不變，但部分模態(tài)的振型相位相反.

3）對于本文選取的阻尼材料而言，阻尼層剪切模量取中間頻段值會(huì)造成固有頻率在低階模態(tài)時(shí)計(jì)算結(jié)果偏大，在高階模態(tài)時(shí)偏小.

4）不考慮阻尼材料參數(shù)頻變特性計(jì)算得到的模態(tài)損耗因子只有在中間頻段處較為準(zhǔn)確，其他頻段處有較大誤差，特別是低階模態(tài)對應(yīng)頻段.

5）在一定范圍內(nèi)，結(jié)構(gòu)損耗因子與阻尼層厚度成正比.對約束層而言，其厚度與基層厚度相等時(shí)，結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子最大.