軸承非線性特性對(duì)擺線針輪減速器傳動(dòng)效率的影響分析與參數(shù)確定*

宿月文 郭彩霞 張博棟 李旭波 王參軍

(陜西省機(jī)器人關(guān)鍵零部件先進(jìn)制造與評(píng)估省市共建重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，寶雞文理學(xué)院 陜西寶雞 721016)

擺線針輪傳動(dòng)具有高減速比、高精度、高負(fù)載能力、高傳動(dòng)效率、結(jié)構(gòu)緊湊等特點(diǎn)，被廣泛用于如機(jī)器人手臂、精密電機(jī)等領(lǐng)域[1-2]。目前擺線針輪傳動(dòng)性能的研究已在齒廓修形、傳動(dòng)精度、傳動(dòng)效率等領(lǐng)域取得了優(yōu)秀成果[3-5]。陳兵奎等[6]基于微分幾何和齒輪嚙合機(jī)制，構(gòu)建了擺線針輪傳動(dòng)的嚙合理論及齒廓通用方程。何衛(wèi)東等[7]以RV減速器為對(duì)象，建立了整機(jī)有限元模型，并考慮擺線輪綜合修形的前提下分析了整機(jī)扭轉(zhuǎn)剛度和變形。楊玉虎等[8]根據(jù)作用線增量原理，應(yīng)用傳遞矩陣法研究了RV減速器中各構(gòu)件的原始誤差對(duì)傳動(dòng)精度的影響規(guī)律，并建立較完善的精度分析模型。宿月文和郭彩霞[9]提出了一種可實(shí)現(xiàn)擺線針輪多齒嚙合點(diǎn)精確定位、接觸載荷分布確定和傳動(dòng)效率計(jì)算的理論分析方法，但未考慮軸承因素。隨著研究深入，軸承等非線性環(huán)節(jié)被納入傳動(dòng)性能分析模型[10]。魏波等人[11]認(rèn)為RV減速器主支撐角接觸球軸承的潤(rùn)滑情況對(duì)機(jī)構(gòu)的效率、精度等性能具有很大的影響。于東等人[12]基于達(dá)朗貝爾原理的擬靜力學(xué)模型，推導(dǎo)了RV減速器主軸承接觸橢圓內(nèi)純滾動(dòng)線位置與摩擦力矩的求解方程，給出更準(zhǔn)確的摩擦力矩計(jì)算公式。HUANG和TSAI[13]認(rèn)為軸承柔性導(dǎo)致擺線輪增加3個(gè)自由度，使得嚙合齒對(duì)提前進(jìn)入接觸，并增大了各齒載荷分配的不均勻性。楊玉虎等[14]建立了考慮軸承剛度、輪齒嚙合剛度及各構(gòu)件彈性的有限元接觸模型，分析了軸承剛度對(duì)擺線減速器整機(jī)扭轉(zhuǎn)剛度的影響。XU等[15]根據(jù)多體力學(xué)和接觸理論構(gòu)建了對(duì)擺線輪與針齒，以及轉(zhuǎn)臂軸承的多點(diǎn)接觸分析方法，研究了考慮配合間隙的擺線針輪傳動(dòng)載荷傳遞規(guī)律和動(dòng)態(tài)接觸響應(yīng)。上述研究較少涉及軸承對(duì)傳動(dòng)效率的影響。ZHU等[16]通過(guò)試驗(yàn)研究表明，擺線針輪減速器的軸承環(huán)節(jié)摩擦功耗損失可達(dá)4%，但是并未形成分析理論。PHAM和AHN[17]粗略分析了擺線減速器軸承功耗，也未在其理論中詳細(xì)考慮軸承模型。

綜上，針對(duì)現(xiàn)有擺線針輪傳動(dòng)效率分析方法中存在忽略軸承因素或未能合理嵌入軸承非線性參數(shù)的問(wèn)題。因此，本文作者提出一種新的傳動(dòng)效率分析方法，將偏心軸承表示為指數(shù)型非線性模型，進(jìn)而通過(guò)牛頓力學(xué)建立以軸承變形為變量的擺線輪動(dòng)力學(xué)微分方程，并得到由結(jié)構(gòu)與軸承參數(shù)表達(dá)的傳動(dòng)效率理論模型，最終通過(guò)試驗(yàn)與理論融合的方法確定軸承參數(shù)，構(gòu)建了簡(jiǎn)明且精確的傳動(dòng)效率評(píng)估方法。

1 理想約束情況下擺線輪動(dòng)力學(xué)方程

擺線針輪減速器結(jié)構(gòu)如圖1所示，其核心部件主要有輸入軸、擺線輪、針齒和輸出軸。其運(yùn)行原理如圖2所示，點(diǎn)O為輸入軸旋轉(zhuǎn)中心，點(diǎn)O1為擺線輪中心，OO1為偏心距，其值為ec。輸入軸為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)曲柄旋轉(zhuǎn)并驅(qū)動(dòng)擺線輪運(yùn)動(dòng)，擺線輪既繞點(diǎn)O1自轉(zhuǎn)，又繞點(diǎn)O公轉(zhuǎn)。因此，可定義XOY為固定坐標(biāo)系，X1O1Y1為擺線輪坐標(biāo)系。FNpx和FNpy分別是擺線輪和針齒嚙合力的合力FNp在X、Y軸的分量；FNsx和FNsy分別是擺線輪和輸出柱銷的接觸力的合力FNs在X、Y軸的分量；Fex和Fey(1-μe)是輸入軸與擺線輪之間的作用力，μe為摩擦因數(shù)；TNp是擺線輪和針齒銷作用力對(duì)點(diǎn)O1的合力矩；TNs是擺線輪和輸出銷軸的接觸力對(duì)點(diǎn)O1的合力矩；Izz是擺線輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，φ是輸入軸角位移，Np為針齒數(shù)，擺線輪齒數(shù)Nc=Np-1。

圖1 擺線針輪減速器主要部件

根據(jù)擺線針輪減速器原理，擺線輪與針齒以及輸出機(jī)構(gòu)均有作用力。如圖3所示，擺線輪與針齒的作用力可表述為

圖3 擺線輪與針齒接觸力學(xué)簡(jiǎn)圖

(1)

式中：r1為針齒分布圓半徑；T1為單個(gè)擺線輪的輸出力矩；βi為第i個(gè)針齒的位置角，且有，

(2)

假定輸出力矩不變時(shí)，擺線輪和針齒之間的作用力還受到輸入力矩的影響，因此引入系數(shù)Acy，即輸入力矩的增加，Acy也增大。因此，考慮輸入力矩的影響后，所有處于接觸的針齒對(duì)擺線輪的合力FNp可表示為

(3)

擺線輪所受針齒接觸力的合力矩可表示為

(4)

同理，擺線輪與單個(gè)輸出柱銷的作用力表示為

(5)

式中：r2為輸出柱銷分布圓半徑；Ns為輸出柱銷個(gè)數(shù)；βj為第j個(gè)輸出機(jī)構(gòu)柱銷中心點(diǎn)與點(diǎn)O連線與Y軸的夾角。

同理引入系數(shù)Aos來(lái)體現(xiàn)輸入力矩對(duì)擺線輪和輸出柱銷作用力的影響。那么，所有接觸柱銷對(duì)擺線輪的合力可表示為

(6)

所有接觸柱銷對(duì)擺線輪的合力矩可表示為

(7)

根據(jù)圖2以及力平衡原理，得到擺線輪的受力平衡方程組為

(8)

式中：GXi、GYi分別為式(3)中Gi在X、Y軸上的投影；SXj、SYj分別為式(6)中Sj在X、Y軸上的投影；TL為負(fù)載力矩。

根據(jù)輸出機(jī)構(gòu)受力平衡原理可得輸出力矩為

(9)

根據(jù)式(8)并數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到輸入力矩為

Tin=Fey(1-μe)·ec=

(10)

則減速器傳動(dòng)效率可表示為

(11)

基于上述方法，以表1參數(shù)對(duì)某擺線針輪傳動(dòng)系統(tǒng)的傳動(dòng)效率進(jìn)行分析，得到不同摩擦因數(shù)下傳動(dòng)效率隨負(fù)載的變化情況，如圖4所示?？梢?jiàn)，傳動(dòng)效率受摩擦因數(shù)影響很大，與負(fù)載大小無(wú)關(guān)，這顯然不合理，因此下文將嘗試引入軸承因素構(gòu)建更為準(zhǔn)確的傳動(dòng)效率分析模型。

表1 擺線傳動(dòng)系統(tǒng)主要幾何機(jī)構(gòu)參數(shù)

圖4 不同摩擦因數(shù)時(shí)負(fù)載與傳動(dòng)效率的關(guān)系

2 考慮軸承時(shí)擺線輪動(dòng)力學(xué)方程

假定所有構(gòu)件均為剛體，將輸入軸與擺線輪之間的偏心軸承視為彈性環(huán)節(jié)，則認(rèn)為軸承沿Y1變形，如圖5所示，將其彈性位移用y1表示，那么軸承力Fbearing[18]可表示為

圖5 擺線輪與軸承作用力方向及參考坐標(biāo)系

(12)

其軸承作用力矩為

(13)

其中，kcy是軸承剛度系數(shù)；p是軸承非線性剛度指數(shù)。當(dāng)p=1，可得到胡克定律；如果p≠1，則力與變形之間的關(guān)系是非線性的。

此外，考慮偏心軸承后，擺線輪中心點(diǎn)O1的速度為

vO1=vO+vO1/O，dr+vO1/O，rel

(14)

其中，vO為點(diǎn)O速度，由于輸入軸是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，因此vO=0；vO1/O，dr為動(dòng)坐標(biāo)系X1O1Y1的牽連速度；vO1/O，rel為動(dòng)坐標(biāo)系X1O1Y1的相對(duì)速度。那么

(15)

由于坐標(biāo)系X1O1Y1和坐標(biāo)系XOY存在如下關(guān)系：

(16)

那么擺線輪中心點(diǎn)O1的加速度為

(17)

設(shè)定擺線輪質(zhì)量為mcy，則擺線輪的慣性力為

(18)

根據(jù)圖6所示擺線輪的受力情況，考慮擺線輪所受慣性力以及針齒、輸出柱銷對(duì)其的作用力，建立動(dòng)力學(xué)平衡方程如下：

圖6 考慮輸入軸的軸承時(shí)擺線輪受力

(19)

進(jìn)一步對(duì)式(19)進(jìn)行數(shù)學(xué)處理得到：

(20)

式(20)屬于初值問(wèn)題，其系數(shù)隨時(shí)間變化，為變系數(shù)微分方程，可由Runge-Kutta法來(lái)求解[19]?？芍灰玫饺我粫r(shí)刻擺線輪與針齒及輸出銷軸的接觸載荷分布，即可得到|y1|。

擺線輪的輸入力矩Tin則可表示為

Tin=ec·kcy|y1|p

(21)

那么減速器的瞬時(shí)效率可表示為

(22)

由式(22)可知，擺線傳動(dòng)效率η受軸承剛度系數(shù)kcy和p的影響。

隨著偏心軸的旋轉(zhuǎn)，首先判斷哪些針齒和輸出柱銷處于接觸狀態(tài)，進(jìn)而得到每一時(shí)刻的擺線輪與針齒以及輸出柱銷的接觸力，然后代入微分方程(20)，求解得到軸承的彈性變形，最后根據(jù)式(22)計(jì)算得到減速器的傳動(dòng)效率。具體計(jì)算流程如圖7所示。

圖7 考慮輸入軸的軸承時(shí)擺線針輪機(jī)構(gòu)效率計(jì)算流程

3 軸承非線性對(duì)傳動(dòng)效率的影響分析

3.1 軸承力學(xué)參數(shù)

為了降低建模的復(fù)雜性，文中僅考慮輸入軸和擺線輪之間的軸承接觸因素對(duì)傳動(dòng)效率的影響。接觸理論表明，軸承徑向變形與法向接觸力具有非線性函數(shù)關(guān)系[20]。實(shí)際上，經(jīng)典接觸條件下，軸承剛度系數(shù)kcy取決于接觸體的幾何形狀、材料特性和某些尺寸；而p僅取決于接觸體的幾何形狀，如對(duì)于球軸承，p=3/2；對(duì)圓柱滾子軸承，p=10/9[21]。

應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，文中從理論上考慮擺線輪與輸入軸的連接軸承的非線性效應(yīng)，并引入軸承力學(xué)模型，但并非針對(duì)某一具體型號(hào)的軸承。因此，為了分析2個(gè)軸承力學(xué)參數(shù)kcy和p對(duì)擺線針輪傳動(dòng)效率的影響，設(shè)定其參數(shù)取值范圍為kcy∈[1×107，1×1011]N/m，p∈[1，2.5]。

3.2 軸承參數(shù)對(duì)傳動(dòng)效率的影響

3.2.1p=1時(shí)軸承參數(shù)的影響

為了對(duì)比分析軸承非線性效應(yīng)，首先考慮軸承力與位移屬線性情況，即p=1時(shí)，觀察不同系數(shù)kcy情況下，傳動(dòng)效率與運(yùn)行工況的關(guān)系。圖8顯示了不同kcy時(shí)，減速器傳動(dòng)效率與轉(zhuǎn)速、負(fù)載的關(guān)系?？梢钥吹絺鲃?dòng)效率基本不隨著轉(zhuǎn)速以及負(fù)載的變化而變化。這一點(diǎn)與常識(shí)不符，說(shuō)明了將軸承表達(dá)為線性剛度無(wú)法反映工程實(shí)際。

圖8 不同剛度系數(shù)時(shí)，傳動(dòng)效率與轉(zhuǎn)速、負(fù)載的關(guān)系

3.2.2p>1時(shí)軸承參數(shù)的影響

針對(duì)p>1的情況，分別以2種情況，即p為1.1和2.5，以及kcy為1×107、1×1011N/m，考察傳動(dòng)效率與運(yùn)行工況的關(guān)系。圖9和10所示為p=1.1時(shí)傳動(dòng)效率與負(fù)載、轉(zhuǎn)速的關(guān)系。運(yùn)行速度和負(fù)載幾乎對(duì)傳動(dòng)效率沒(méi)有影響，這一點(diǎn)與p=1時(shí)情況類似。此外，在p=1.1，kcy=1×1011N/m時(shí)，傳動(dòng)效率相對(duì)較好，表明系統(tǒng)具有更高剛性。圖11與12顯示了p=2.5時(shí)傳動(dòng)效率與負(fù)載、轉(zhuǎn)速的關(guān)系。與p=1.1不同，軸承的傳動(dòng)效率出現(xiàn)明顯變化。隨著負(fù)載的增加，傳動(dòng)效率顯著提高。但是運(yùn)行速度對(duì)傳動(dòng)效率的影響不大，即隨著轉(zhuǎn)速增大，效率略有下降。其中高負(fù)載時(shí)傳動(dòng)效率隨轉(zhuǎn)速上升基本不變，而在低負(fù)載時(shí)效率小幅下降。kcy較高時(shí)，系統(tǒng)剛性更強(qiáng)，傳動(dòng)效率相應(yīng)提高。圖13所示為p=2.5，kcy=1×1011N/m時(shí)，2種轉(zhuǎn)速(1 000和1 500 r/min)，2種負(fù)載(200和300 N·m)時(shí)的軸承變形y1值。2種轉(zhuǎn)速下，軸承變形基本相同；但是高載荷時(shí)，軸承變形也相應(yīng)增大。式(13)表明傳動(dòng)效率與負(fù)載正相關(guān)，與軸承變形負(fù)相關(guān)。顯然，此時(shí)負(fù)載增加對(duì)傳動(dòng)效率的影響更為重要。

圖9 不同載荷和轉(zhuǎn)速時(shí)的傳動(dòng)效率(p=1.1，kcy=1×107 N/m)

圖10 不同載荷和轉(zhuǎn)速的傳動(dòng)效率(p=1.1，kcy=1×1011 N/m)

圖11 不同載荷和轉(zhuǎn)速的傳動(dòng)效率(p=2.5，kcy=1×107 N/m)

圖13 不同運(yùn)行條件下的軸承變形

綜合圖8—11，軸承力學(xué)參數(shù)對(duì)傳動(dòng)效率計(jì)算結(jié)果有顯著影響，故有必要通過(guò)試驗(yàn)來(lái)對(duì)軸承參數(shù)進(jìn)行量化研究。

4 軸承力學(xué)參數(shù)的擬定

4.1 軸承參數(shù)擬定方法

文中通過(guò)試驗(yàn)測(cè)試的方法獲得某單級(jí)擺線減速器的傳動(dòng)效率ηs，并將其與同一運(yùn)行狀態(tài)下的理論值η進(jìn)行對(duì)比，依據(jù)|η-ηs|值來(lái)修正理論模型中的2個(gè)參數(shù)p、kcy，再進(jìn)行理論計(jì)算，反復(fù)迭代，直到傳動(dòng)效率的測(cè)試值與理論值接近。其中，迭代計(jì)算以漸進(jìn)的、小步長(zhǎng)的方式進(jìn)行，即p的步長(zhǎng)為0.01；kcy的步長(zhǎng)為103。具體流程如圖14所示。

圖14 軸承非線性參數(shù)擬定的計(jì)算流程

4.2 測(cè)試方法

擺線針輪減速器試驗(yàn)基于一體化設(shè)計(jì)的專業(yè)測(cè)試裝置(見(jiàn)圖15)進(jìn)行，該裝置滿足輸出功率≤1.8 kW、輸出轉(zhuǎn)矩≤1 000 N·m、額定轉(zhuǎn)速1 500 r/min、最高轉(zhuǎn)速≤3 000 r/min的減速機(jī)效率測(cè)試。測(cè)試裝置主要由動(dòng)力部分、電力測(cè)功機(jī)加載閉環(huán)控制部分、測(cè)試臺(tái)架以及控制測(cè)量部分構(gòu)成。其中，為滿足不同類型減速器效率試驗(yàn)，減速器安裝采用固定底座+安裝盤方式，更換方便；測(cè)試臺(tái)架加載采用伺服加載電機(jī)作為負(fù)載，負(fù)載可以任意調(diào)節(jié)，測(cè)試方便。

在被測(cè)減速器的輸出軸上加載恒定扭矩進(jìn)行測(cè)試，輸入轉(zhuǎn)速?gòu)?增加到既定速度并保持恒定20 s，然后再次降低到0，并提取20 s內(nèi)傳動(dòng)效率數(shù)據(jù)。

4.3 實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果與理論值對(duì)比

通過(guò)軸承力學(xué)參數(shù)擬定方法，得到p=2.29，kcy=1.6×1010N/m。圖16、17分別顯示了不同轉(zhuǎn)速時(shí)，由理論分析和試驗(yàn)測(cè)試得到的傳動(dòng)效率與負(fù)載的關(guān)系?？梢?jiàn)，測(cè)試所得傳動(dòng)效率數(shù)據(jù)存在2個(gè)區(qū)域，即負(fù)載較小時(shí)(<150 N·m)，傳動(dòng)效率變化幅度相當(dāng)大；而在負(fù)載較大時(shí)，隨負(fù)載的增加，傳動(dòng)效率變化較為緩慢，此時(shí)效率值已逼近飽和值。相同工況下，對(duì)應(yīng)理論值也存在類似趨勢(shì)，但是理論值稍高于試驗(yàn)值，其原因在于試驗(yàn)系統(tǒng)存在理論模型中未能考慮的其他功耗環(huán)節(jié)，如針齒軸套和輸出柱銷軸套的摩擦。可以通過(guò)高效潤(rùn)滑脂且避免過(guò)熱來(lái)減小該部分的摩擦功耗。

圖16 試驗(yàn)與仿真所得傳動(dòng)效率的對(duì)比(ωin=1 000 r/min，kcy=1.6×1010 N/m，p=2.29)

圖17 試驗(yàn)與仿真所得傳動(dòng)效率的對(duì)比(ωin=2 000 r/min，kcy=1.6×1010 N/m，p=2.29)

根據(jù)文獻(xiàn)[22]得到，材料為鋼的圓柱滾子軸承，寬度為12 mm時(shí)，其軸承剛度為kn=3.29×108N/m，p=10/9?？梢?jiàn)與文中擬定的參數(shù)值，特別是指數(shù)p，存在很大差異。這是因?yàn)槲闹兴氲妮S承模型，融合了減速器其他接觸部位的彈性環(huán)節(jié)，相對(duì)于具體軸承具有更高的彈性，具有更高的p值。正因?yàn)樵撦S承模型為具有復(fù)合效應(yīng)的純理論模型，從而使得傳動(dòng)效率理論評(píng)估模型更為簡(jiǎn)化。

5 結(jié)論

(1)考慮輸入軸與擺線輪的連接軸承彈性，利用牛頓法建立擺線輪動(dòng)力學(xué)方程，形成以軸承非線性力學(xué)參數(shù)描述的傳動(dòng)效率分析模型，并將理論傳動(dòng)效率與測(cè)試值進(jìn)行對(duì)比，揭示軸承非線性參數(shù)對(duì)傳動(dòng)效率的影響。

(2)軸承線性剛度(p=1)情況下的理論結(jié)果表明傳動(dòng)效率與運(yùn)行速度和負(fù)載無(wú)關(guān)，與測(cè)試值不符；考慮軸承非線性剛度時(shí)(p>1)，在p值較大時(shí)，即軸承剛性較低，其理論傳動(dòng)效率與運(yùn)行速度無(wú)關(guān)，但隨著負(fù)載增大而提高，與測(cè)試值基本相符。

(3)通過(guò)理論與試驗(yàn)對(duì)比法擬定的軸承參數(shù)與具體型號(hào)的軸承參數(shù)差異顯著，表明該軸承模型為純理論模型。理論模型得到傳動(dòng)效率預(yù)測(cè)結(jié)果接近測(cè)試值，證明輸入軸和擺線輪之間的軸承是影響傳動(dòng)效率曲線的重要環(huán)節(jié)。

(4)為了降低軸承參數(shù)擬定的難度，研究中忽略了軸承阻尼參數(shù)，后續(xù)工作應(yīng)考慮這些因素，以建立更為準(zhǔn)確的傳動(dòng)效率評(píng)估方法。