發(fā)掘隱含條件，巧設(shè)輔助元素

摘要：換元法是初中數(shù)學(xué)中一種能夠靈活、廣泛運(yùn)用的簡(jiǎn)潔明快的解題方法，具有“化繁為簡(jiǎn)、化隱為顯、變直接為間接”的優(yōu)越性.本文中結(jié)合典型例題，通過(guò)對(duì)其解題思路與方法的分析點(diǎn)撥，探討了如何在各類(lèi)題型中靈活運(yùn)用換元法解題的方法與技巧.

關(guān)鍵詞：變形換元；原式換元；引進(jìn)輔助元素?fù)Q元；靈活運(yùn)用

在初中代數(shù)中，換元法是一種能夠靈活運(yùn)用、十分重要且有效的解題方法.換元法，即變量替換，是把某個(gè)代數(shù)式看成一個(gè)新的未知數(shù)（元）來(lái)實(shí)施替換，其本質(zhì)還是轉(zhuǎn)化.通過(guò)這種轉(zhuǎn)化能夠達(dá)到“化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化陌生為熟悉、事半功倍”的效果[1].換元法被廣泛地應(yīng)用于解方程（組）、因式分解、代數(shù)式變形、化簡(jiǎn)求值、等式證明等各類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答之中，現(xiàn)針對(duì)其常見(jiàn)的解題思路與方法作如下探討.

1 代數(shù)式變形后換元

在初中數(shù)學(xué)中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了方程（組）的最基本的解法，而換元法是其中最方便、快捷且最具優(yōu)越性的一種解法.它能夠把高次降為低次、無(wú)理式化為有理式、分式化為整式，將復(fù)雜的方程化為簡(jiǎn)單的、最基本的方程，從而使方程（組）順利得解.運(yùn)用換元法解方程（組），關(guān)鍵是觀察分析出能夠換元的整式或分式，有時(shí)需要對(duì)方程（組）進(jìn)行整理變形（如因式分解、配方、添拆項(xiàng)等）才能觀察出如何換元[2].

例1 解方程：（x+1）（x+3）（x+5）（x+7）+15=0.

解：把原方程變形為（x2+8x+7）（x2+8x+15）+15=0.

設(shè)y=x2+8x+11，則原方程為（y-4）（y+4）+15=0，即y2-1=0，解得y1=1，或y2=-1.

所以得到方程x2+8x+11=1，或x2+8x+11=-1.

思路與方法：本題如果按照常規(guī)解題思路，即先把左邊的括號(hào)全部展開(kāi)，然后再分解，運(yùn)算非常繁瑣.所以需要換個(gè)思路，嘗試將左邊的四個(gè)因式分成兩組，變成［（x+1）（x+7）］［（x+3）（x+5）］+15=0的形式，分別利用整式的乘法展開(kāi)，再設(shè)輔助變量，用換元法求解.

由

［①2-②］÷2，得uv=2.

所以u(píng)，v可以看作是方程z2-3z+2=0的兩根.因此可得

u=1，v=2;或u=2，v=1.

還原得關(guān)于x，y的方程組

由此易得原方程組的解為

經(jīng)檢驗(yàn)知，以上四組解都是原方程組的解.

2 利用原代數(shù)式換元

在因式分解時(shí)，將相同的代數(shù)式換元是最常用的方法.當(dāng)題目中多處出現(xiàn)

相同的代數(shù)式時(shí)，可以把這個(gè)代數(shù)式設(shè)為一個(gè)字母（例如a），從而把整個(gè)代數(shù)式變?yōu)殛P(guān)于a的代數(shù)式.

例3 分解因式：（x2-4x）2-2（x2-4x）-15.

解：設(shè)x2-4x=a，則

（x2-4x）2-2（x2-4x）-15

=a2-2a-15

=（a-5）（a+3）

=（x2-4x-5）（x2-4x+3）

=（x-5）（x+1）（x-3）（x-1）.

思路與方法：通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，原代數(shù)式中x2-4x出現(xiàn)了多次，將它設(shè)為另一個(gè)字母后，既可以做到“設(shè)元?jiǎng)?wù)盡”（不再出現(xiàn)x），又便于繼續(xù)分解.

例4 分解因式：（b+c-a）（c+a-b）（a+b-c）+a（a-b+c）

（a+b-c）+b（a+b-c）（-a+b+c）+c（-a+b+c）（a-b+c）.

解：設(shè)x=b+c-a，y=c+a-b，

z=a+b-c，則

思路與方法：憑經(jīng)驗(yàn)可知，本題如果用整式的乘法展開(kāi)、整理將會(huì)十分繁瑣，需另想辦法.通過(guò)對(duì)原式的觀察發(fā)現(xiàn)，如果利用原代數(shù)式換元，設(shè)x=b+c-a，y=c+a-b，z=a+b-c，那么x+y+z=a+b+c，y+z=2a，z+x=2b，x+y=2c，再進(jìn)行代換就會(huì)使原式大為簡(jiǎn)化.從本題的解題過(guò)程中，我們可以再次感受到換元法“以一當(dāng)多、便于觀察、簡(jiǎn)化運(yùn)算、開(kāi)闊思路”的巨大優(yōu)越性.

3 引進(jìn)輔助元素?fù)Q元

代數(shù)式的恒等變形是解決有關(guān)代數(shù)式問(wèn)題的重要手段，當(dāng)代數(shù)式的形式較復(fù)雜時(shí)，可以嘗試運(yùn)用換元法，通過(guò)引進(jìn)輔助元素使其形式變得簡(jiǎn)單.

思路與方法：針對(duì)題設(shè)條件中的連等，引入輔助變量，將三個(gè)變量集中在一個(gè)變量上，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程.

思路與方法：顯然，本題如果按照去分母、計(jì)算、化簡(jiǎn)，由左邊推出右邊的常規(guī)方法來(lái)證明，將非常困難.但采用引進(jìn)輔助元素代換的方法，不僅簡(jiǎn)化了書(shū)寫(xiě)，而且更容易發(fā)現(xiàn)各量之間的隱含關(guān)系，分子與分母不斷分解，最終達(dá)到簡(jiǎn)化證明過(guò)程的目的.

4 結(jié)論

從上述典型例題的思路與方法的分析中可以看出，運(yùn)用換元法解題具有很強(qiáng)的實(shí)用性和靈活性.利用換元法引入輔助元素時(shí)，需要根據(jù)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)、特點(diǎn)靈活加以運(yùn)用，只有引元恰當(dāng)才能使運(yùn)算過(guò)程得到簡(jiǎn)化；有些問(wèn)題要經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)恼?、變形，才便于換元時(shí)進(jìn)一步利用條件中的隱含關(guān)系.

參考文獻(xiàn)：

[1]賈永亮.“換元法”在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究，2017（35）：4-5.

[2]賴(lài)振華.換元法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究，2020（17）：13-14.