緊扣知識生長點(diǎn)，讓思維在“重溫”中飛揚(yáng)

丁潔

中考第二輪復(fù)習(xí)一般設(shè)為專題復(fù)習(xí)課，是在一輪復(fù)習(xí)——夯實(shí)“四基”的基礎(chǔ)上，注重知識的縱橫聯(lián)系，強(qiáng)化重點(diǎn)、考點(diǎn)，是對學(xué)生已有知識、技能、思想方法的升華．因此，如何上好專題復(fù)習(xí)課，讓它更有新意與深意，值得每位一線教師思考．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《新課標(biāo)》）中指出：要運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，讓學(xué)生有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、抽象、探索、猜測、推理、驗(yàn)證等活動過程.可見，初中數(shù)學(xué)是活動和思維的學(xué)科．本文中從一次專題復(fù)習(xí)課的兩個不同案例出發(fā)，側(cè)重于對問題設(shè)計(jì)角度的剖析，談?wù)勅绾巫プ≈R的生長點(diǎn)，讓思維在“重溫中”飛揚(yáng)．

1 教學(xué)案例的簡要呈現(xiàn)

在一次中考復(fù)習(xí)研討會上，兩位教師執(zhí)教二輪復(fù)習(xí)的同一個課題“最值問題——線段和差問題”，這兩個班級整體水平較高，學(xué)生思維較敏捷．

案例1

例1 從點(diǎn)A（—2，3）發(fā)出的一束光，經(jīng)x軸反射后過點(diǎn)B（3，1），則這束光線從點(diǎn)A到點(diǎn)B所經(jīng)過的路徑長為[CD#3]．

變式2 如圖2，在等邊三角形ABC中，AB=6，N為線段AB上的任意一點(diǎn)，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M是AD上的動點(diǎn)，連接BM，MN，則BM+MN的最小值是[CD#3]．

案例2

例2 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，A（8，0），B（2，0），直線l與x軸的正半軸的夾角為30°，P是直線l上一動點(diǎn)，求PA+PB的最小值．

變式1 如圖3，平面直角坐標(biāo)系中，A（8，0），B是x軸上的一個動點(diǎn)，直線l與x軸的正半軸的夾角為30°，P是直線l上一動點(diǎn)，求AP+BP的最小值．

變式2 如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，A（8，0），B是x軸上的一個動點(diǎn)，直線l與x軸的正半軸的夾角為30°，P是直線l上一動點(diǎn)，Q是直線l上一定點(diǎn)，且OQ=2，求AP+PB+BQ的最小值．

接著，授課者提問學(xué)生：你還能“變”出哪些題來？

生1：如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，A（8，0），B是x軸上的一個動點(diǎn)，若轉(zhuǎn)動直線l使其與x軸的正半軸的夾角為15°，P，Q是直線l上的兩個動點(diǎn)，求AP+PB+BQ的最小值．

生2：如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，A（8，0），C（1，0），B是線段AC上的一個動點(diǎn)，直線l與x軸的正半軸的夾角為15°，P，Q是直線l上的兩個動點(diǎn)，求AP+PB+BQ+QC的最小值．

…………

學(xué)生討論激烈，思維被激活，最后，授課者組織學(xué)生對問題進(jìn)行歸類梳理，并解決產(chǎn)生的新問題．

2 教學(xué)案例的剖析與思考

2.1 目標(biāo)定位，理解學(xué)生

教學(xué)目標(biāo)就是教學(xué)的方向，目標(biāo)定位關(guān)乎一堂課的成敗.正確的目標(biāo)定位的前提是理解學(xué)生，因?yàn)閷W(xué)生是課堂教學(xué)的主體，教師只有明晰學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)習(xí)慣、思維特點(diǎn)等，才能做到有的放矢，事半功倍．對于案例1，從“將軍飲馬”問題出發(fā)，教師在教學(xué)過程中注重以生為本，由學(xué)生獨(dú)立求解，而因知識容量偏小，幾個變式問題難度也不大，使得學(xué)生在課堂教學(xué)中對答如流，但看似流暢的背后往往存在一些隱憂.因?yàn)樵摪鄬W(xué)生的基礎(chǔ)扎實(shí)，整體水平較高，況且這是二輪復(fù)習(xí)，如果僅僅是重現(xiàn)原來的問題或設(shè)置的問題難度過低，那么思維含量就會偏低，導(dǎo)致這些功底好的學(xué)生，幾乎不需多加思考就能解決，思維又怎能興奮呢？案例1的教學(xué)使不少學(xué)生處于被動答題狀態(tài)，長此以往，他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣也會逐步喪失．而案例2的題量與難度都比較符合學(xué)生實(shí)際，學(xué)生或動手解答，或動腦思考，都能積極參與其中．當(dāng)然，如果在普通層次的班級，問題設(shè)計(jì)偏難，也不符合學(xué)生實(shí)際，同樣會降低復(fù)習(xí)效率．可見，題量、難度是二輪復(fù)習(xí)目標(biāo)定位的兩個重要元素，教學(xué)一定要落在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)．另外，二輪復(fù)習(xí)的目標(biāo)定位，還要考慮課標(biāo)和本地中考對知識點(diǎn)的相關(guān)要求，考慮中考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)以及一輪復(fù)習(xí)的薄弱點(diǎn)．弄清這些問題后，再合理選材，就能讓預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)與課堂生成相匹配，使復(fù)習(xí)教學(xué)更有針對性，也更有價值．當(dāng)然，案例2也存在一些不足：（1）案例2中問題背景單一，不利于學(xué)生解決新穎問題；（2）課題為線段的和差問題，而選擇的問題卻只有“和”未見“差”.建議在例1之后，增設(shè)一道“自主練習(xí)”題：在平面直角坐標(biāo)系中，A（1，3），B（4，3），在直線y=x上是否存在一點(diǎn)P，使得PA-PB最大.如果存在，求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo).這樣既更換了問題背景，也探究了“差”的最值．

2.2 精選問題，用好經(jīng)典

模型觀念是初中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵詞之一，《新課標(biāo)》認(rèn)為數(shù)學(xué)模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象．俗話說，好鋼要用在刀刃上，好題也要放在合適的位置才能發(fā)揮它的最大價值，所以選擇經(jīng)典問題是上好復(fù)習(xí)課的第一步．幾何中的最值問題，通常最終歸結(jié)為“兩點(diǎn)之間線段最短”“垂線段最短”.因此，上述兩個案例，緊抓知識要點(diǎn)，都是以學(xué)生熟悉的“將軍飲馬”問題作為切入點(diǎn)，重溫幾何最值中的最基本模型.從這一經(jīng)典問題出發(fā)，由淺到深，再現(xiàn)“化折為直”的轉(zhuǎn)化思想，最終運(yùn)用“兩點(diǎn)之間線段最短”順利解決問題．在復(fù)習(xí)時，應(yīng)有意識地加深學(xué)生對這些核心知識的理解和認(rèn)識，使學(xué)生在遇到幾何最值問題時，能夠聯(lián)想到“將軍領(lǐng)馬”等基本模型，將陌生問題變?yōu)槭煜栴}．因此，尋找題根至關(guān)重要．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)從來不缺少題目，只是缺少對題目的篩選和創(chuàng)新.教師在選擇例題和習(xí)題時，要及時發(fā)現(xiàn)習(xí)題之間的內(nèi)在聯(lián)系，精心選擇，合理編排，科學(xué)創(chuàng)新，讓例題具有生長性、層次性、科學(xué)性.通過有限的題量，達(dá)到無限的效果，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和發(fā)散性．

2.3 變式問題，拓展經(jīng)典

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要一定的連貫性與靈活性.案例2中以例1為背景，進(jìn)行了2次變式.其一，可節(jié)省學(xué)生審題的時間；其二，在主線清晰的情況下，更方便學(xué)生將知識點(diǎn)加以整合，舍棄枝葉，突出問題本質(zhì)，提煉數(shù)學(xué)模型．變式1把例1中的定點(diǎn)B變?yōu)閤軸上一動點(diǎn)，化定為動，進(jìn)一步加深問題．根據(jù)“點(diǎn)動成線”的思路，x軸即為所有動點(diǎn)B的集合，作定點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，則此時A′B的最小值即為點(diǎn)A′到x軸距離的最小值，“點(diǎn)與直線之間，垂線段最短”的“加盟”使問題走向深入．變式2將問題由“兩折線求和的最小值”拓展為“三折線求和的最小值”，有了之前的題型鋪墊、思維構(gòu)建，學(xué)生易想到通過軸對稱“化折為直”．變式2通過兩次軸對稱，先以點(diǎn)P所在的直線為對稱軸作點(diǎn)A的對稱點(diǎn)A′，得到AP=A′P，再以點(diǎn)B所在的x軸為對稱軸作Q的對稱點(diǎn)Q′，得到BQ=BQ′，因此可得AP+PB+BQ=A′P+PB+BQ′，從而將問題化歸．案例2中巧用具有梯度的變式，由簡單到復(fù)雜，由淺入深，層層遞進(jìn)，滿足不同層次的學(xué)生解決不同層次的問題，拾級而上，讓學(xué)生的思維逐步走向深入．

案例2中授課者還設(shè)計(jì)了開放型問題.開放型問題一般需要學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、比較的過程，才能很好地對題組進(jìn)行提煉、發(fā)散.在變式1、變式2中，授課者一直在帶領(lǐng)學(xué)生感受題目變化的過程，領(lǐng)悟題目變化過程中思維的提升發(fā)展，感受“化定為動”“化折為直”的奧妙．通過題組連貫性的發(fā)展，學(xué)生“變”出來的題目可謂是在變式1和變式2的基礎(chǔ)上“長”出來的，生1“讓定點(diǎn)再次動了起來”，而生2更為大膽地嘗試了增加線段的條數(shù)．開放型問題，打開了學(xué)生的思域，再加上最后師生互動性的思維提煉，筆者發(fā)現(xiàn)不管數(shù)學(xué)模型隱藏得有多深，只要將問題與模型聯(lián)系起來，學(xué)會融會貫通，無從下手的問題也會變得輕而易舉．而在其后的解答過程中，學(xué)生都在嘗試通過軸對稱“化折為直”，努力將問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”“垂線段最短”問題，可謂把握住了此類題型的精髓.

通過對一系列問題的整合，學(xué)生感受到不斷的變化與轉(zhuǎn)化中，萬變不離其宗的是“兩個最短”原理和對稱的思想方法．這樣的設(shè)計(jì)直擊幾何最值問題的本質(zhì)，培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性與深刻性．同時，開放型問題更有利于激發(fā)學(xué)生興趣，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識，讓他們真正成為課堂的主人．從案例2的例1開始生長變式，便于進(jìn)行歸納、提煉共性.其一，選擇在同一個背景下，以問題串的形式，激發(fā)學(xué)生興趣，引發(fā)學(xué)生思考；其二，在講解過程中，有意識地引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“變化與不變”“運(yùn)動與靜止”“有限與無限”等關(guān)系，站在發(fā)展的角度思考問題，有益于培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性和深刻性．

這兩個案例給我們以啟示，若能從多角度進(jìn)行變式拓展及“生長”，經(jīng)典題就猶如題根，抓住題根，就等于抓住了整個題系，再抓根挖掘進(jìn)行改編，就可以實(shí)現(xiàn)“做一題，會多題，會一法，得通法”，讓復(fù)習(xí)更有效，事半而功倍．因此，教師應(yīng)該找到知識、方法的生長點(diǎn)，拓展經(jīng)典，讓老題生根發(fā)芽、煥發(fā)新機(jī)，幫助學(xué)生走出題海．教學(xué)實(shí)踐表明，在最近發(fā)展區(qū)設(shè)置問題，讓學(xué)生“數(shù)學(xué)地思考問題”，有助于學(xué)生產(chǎn)生思維共振，同時讓學(xué)生習(xí)得解決問題的數(shù)學(xué)思想方法，積累數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗(yàn).通過例題及適度的一題多變、一題多解，不僅能激發(fā)學(xué)生的興趣，還能培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和靈活性；通過對問題的層層深入，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“數(shù)學(xué)本質(zhì)”，有益于培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性和深刻性.這樣的課堂教學(xué)，將使學(xué)生終身受益．