有關(guān)二階微分方程的研究

吳桐

（清華大學(xué)附屬中學(xué)，北京 100028）

1 二階微分方程

二階微分方程在時(shí)間上大致與微積分同時(shí)產(chǎn)生。對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)，y′=f（x）這樣的問(wèn)題就是最簡(jiǎn)單的微分方程。二階常系數(shù)線性微分方程的形式為y″+py′+qy=f（x）。與二階常系數(shù)線性微分方程對(duì)應(yīng)的二階常系數(shù)齊次線性微分方程的形式為y″+py′+qy=0，其中p，q 是實(shí)常數(shù)。若函數(shù)y1和y2的比為一個(gè)常數(shù)，稱和是線性相關(guān)的；若函數(shù)y1和y2之比不為一個(gè)常數(shù)，稱y1和y2是線性無(wú)關(guān)的。二階方程的幾個(gè)例子（都可降階求解）：?jiǎn)螖[、懸鏈線、二體問(wèn)題（都與引力有關(guān)）[1]。

考慮微分方程如下：

彈簧振動(dòng)，單擺，行星在引力下運(yùn)動(dòng)都是這種形式的方程或方程組。令，以v 為新的變量，t 當(dāng)作參數(shù)，則：。

式中：C1——任意常數(shù)。

方程（2）對(duì)于固定的C1是一階微分方程：。它也是變量分離的。因此，又可以求出它的積分：

式中：C2——第二個(gè)任意常數(shù)。

方程（3）為方程（1）的通積分；通常由它可得到通解x=u（t，C1，C2）。在實(shí)際求解方程（3）時(shí)，求原函數(shù)G以及從方程（3）中反解得到x 都可能遇到很多困難。

但其實(shí)對(duì)于某些實(shí)際的問(wèn)題，有時(shí)并不完全需要求出通解。假如只對(duì)運(yùn)動(dòng)的位移（x）和速度（v）之間的關(guān)系感興趣，即運(yùn)動(dòng)的相（x，v）感興趣，那么方程（2）就已經(jīng)滿足這種關(guān)系。實(shí)際上，對(duì)于一個(gè)固定的常數(shù)C1，方程式（2）在（x，v）相平面上確定幾條名為軌線的曲線[2]。例如，當(dāng)f（x）=-kx，k>0（簡(jiǎn)諧振動(dòng)）時(shí)，利用方程（2），就得到方程：v2+kx2=-C1=C2。軌線是一個(gè)以原點(diǎn)為中心的橢圓。

所以，微分方程的求解在于引入新變量，從而方程（1）等價(jià)于：，。即。

這里可以降階求解依賴于f 的特殊性，即它不顯含t。如果微分方程不顯含自變量，則稱之為駐定（或自治）微分方程。可以對(duì)其進(jìn)行降階[3]。例如，考慮n 階自治微分方程（當(dāng)方程有x 平移不變性時(shí)會(huì)如此）。

然后，把方程（5）至方程（8）代入方程（4），就得到一個(gè)n-1 階的微分方程（其中z 是未知函數(shù)，而y 是自變量）。

2 二階常微分方程解法的應(yīng)用

為了更好地體現(xiàn)特征方程法和常數(shù)變易法的區(qū)別，本文選取了一個(gè)比較簡(jiǎn)單的動(dòng)力學(xué)方程來(lái)進(jìn)行求解。通常，在對(duì)物理問(wèn)題求解時(shí)，分為3 個(gè)步驟：第一步是對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行徹底分析從而能做到對(duì)方程的初步建立并且對(duì)定解條件進(jìn)行明確；第二步是對(duì)其解的性質(zhì)進(jìn)行探究或者求出方程來(lái)滿足初始條件的特解；最后一步是定性分析對(duì)解，對(duì)原來(lái)的問(wèn)題反過(guò)來(lái)進(jìn)行解釋，其中最為關(guān)鍵的步驟就是要將方程列出，而能列出方程的方法主要有兩種，分別為微元分析法和瞬時(shí)變換法。但是在研究阻尼運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，求解運(yùn)動(dòng)方程一直是令人頭疼的問(wèn)題。接下來(lái)分別使用特征方程法和常數(shù)變易法來(lái)求解這個(gè)動(dòng)力學(xué)方程[4]。

2.1 特征方程法

在要研究的彈簧振子系統(tǒng)中，測(cè)定物體的阻尼系數(shù)δ=10.0s-1，物體的質(zhì)量為m=1.0kg，該彈簧所具備的勁度系數(shù)為k=75N·m-1，根據(jù)上述條件，假設(shè)質(zhì)點(diǎn)由靜止?fàn)顟B(tài)逐步開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，對(duì)彈簧振子的位移方程進(jìn)行求解。

解：根據(jù)牛頓的第二運(yùn)動(dòng)定律可以得出：

或：

由于相對(duì)來(lái)說(shuō)振動(dòng)系統(tǒng)是在之前給定的，其中包含的常量為m，k，c，如果能夠確定，c/m=2δ，方程（10）和方程（11）就可以轉(zhuǎn)變?yōu)榉匠蹋?2）。

那么將所得到的數(shù)據(jù)代入方程（12），可以得到：

通過(guò)對(duì)方程（10）至方程（12）的仔細(xì)觀察和深入研究則可以得到對(duì)方程（13）進(jìn)行求解能夠使用特征值法，得出其特征方程可以表述為：λ2+20λ+75=0，并且在該特征方程當(dāng)中包含有不同的兩個(gè)根λ1=-15，λ2=-5，這樣相對(duì)應(yīng)的方程（13）的兩個(gè)根分別為ξ1=e-5t，ξ2=e-15t。

通過(guò)方程（14），可以看出振子所保持的狀態(tài)屬于一個(gè)非振動(dòng)狀態(tài)，在這樣的背景下，所要求的質(zhì)點(diǎn)也只是在原先的不平衡位置逐漸恢復(fù)到平衡狀態(tài)當(dāng)中，該質(zhì)點(diǎn)并不具有周期振動(dòng)的特征。由于在δ<ω0情況下，質(zhì)點(diǎn)會(huì)呈現(xiàn)出逐漸衰減的振動(dòng)。然而由于會(huì)受到阻尼作用的影響，不能保持自由振動(dòng)系統(tǒng)的長(zhǎng)久運(yùn)作，振動(dòng)會(huì)逐漸衰減直至振動(dòng)停止，如果要保持振動(dòng)持續(xù)不停的狀態(tài)的話，該質(zhì)子就需要從外界獲得運(yùn)動(dòng)必要的能量，在學(xué)術(shù)界，將受到外部持續(xù)的作用，產(chǎn)生振動(dòng)的情況稱之為強(qiáng)迫振動(dòng)[5]。

假如在以上的振動(dòng)系統(tǒng)當(dāng)中振子由于受到某個(gè)外力F=100cos（30t）N 的作用，在該方程之中FA=100 表示的是該驅(qū)動(dòng)力的幅度值，ω=30 表示的是該驅(qū)動(dòng)力所具有的圓頻率，f 即是該驅(qū)動(dòng)力所保持的頻率。

解：由于在質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)系統(tǒng)當(dāng)中會(huì)受到驅(qū)動(dòng)力的作用，那么就可以得到關(guān)于系統(tǒng)振動(dòng)的方程：

方程（15）還可以表示為方程（16）。

在這里可以假設(shè)方程（17）有著x1=Asin30t+Bcos30t這樣的特解，將這個(gè)特解代入方程（17）并且將其簡(jiǎn)化最終得到：

-（33A+24B）sin30t+（24A-33B）cos30t=4cos30t。（18）

綜上所述，題目中的條件決定A，B 的數(shù)值，之前的兩項(xiàng)為該方程的瞬態(tài)解，瞬態(tài)項(xiàng)對(duì)這整個(gè)系統(tǒng)所進(jìn)行的自由衰減振動(dòng)能夠進(jìn)行有效的描述，然而只能在運(yùn)動(dòng)的開(kāi)始階段起作用，在經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的運(yùn)動(dòng)之后，它起到的影響會(huì)隨時(shí)間消逝并且在運(yùn)動(dòng)最后完全消失。而之后兩項(xiàng)所代表的穩(wěn)態(tài)解，描述的是強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，由于幅值條件的固定，所以稱這樣的狀態(tài)為穩(wěn)定狀態(tài)。根據(jù)方程（19），外力作用在質(zhì)點(diǎn)上的時(shí)候，整個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)狀態(tài)十分復(fù)雜，這時(shí)候的振動(dòng)既包括了瞬態(tài)振動(dòng)，也包括了穩(wěn)定振動(dòng)，而這樣的振動(dòng)狀態(tài)對(duì)于在強(qiáng)迫振動(dòng)之中逐步建立起穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的過(guò)程進(jìn)行有效的描述。在長(zhǎng)時(shí)間的振動(dòng)之后，瞬態(tài)振動(dòng)終將消逝，這整個(gè)系統(tǒng)就會(huì)保持穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的狀態(tài)。

2.2 常數(shù)變易法

從上文的分析之中，可以了解到x=e-5t即是屬于特征方程λ2+20λ+75=0 的實(shí)根，于是可以得到x=e-5t為λ2+20λ+75=0 當(dāng)中的一個(gè)根，之后通過(guò)運(yùn)用常數(shù)變易法設(shè)置x*=c（t）e-5t，在這一過(guò)程中也可以得到λ2+20λ+75=0 其中一個(gè)解為x*，將數(shù)值代入λ2+20λ+75=0 當(dāng)中并且對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化可以得到：

方程（20）屬于c（t）的一階線性微分方程，該方程當(dāng)中一個(gè)特解為：c（t）=。

根據(jù)方程（20）可以得出的一個(gè)特解為（取c1=c2=0）：。

于是可得方程（20）的通解為：x（t）=Ae-5t+Be-15t+。

由上文的結(jié)論可知：

將2.1 中相關(guān)數(shù)據(jù)代入方程（21）中可以得到：

通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)行該類求解的過(guò)程中要使用常數(shù)變易法，首先就是要求出公式，而在前文的探索當(dāng)中已經(jīng)可以得到公式的特征方程為μ2+20μ+400=0。于是可以進(jìn)一步的假設(shè)該特征方程的根為μ=-10±，那么即為公式的一個(gè)解。運(yùn)用常數(shù)變易法可設(shè)為：x（*t）=c（t）e-10tsin。

這里套用2.1 中的解法，將x*（t）代入方程（22）并進(jìn)行化簡(jiǎn)得：

由于x*是特解，所以積分常量可以為零。

3 結(jié)語(yǔ)

用特征方程法和常數(shù)變易法求解了彈簧振子的運(yùn)動(dòng)方程，以此來(lái)比較這兩種方法的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)。并且通過(guò)這個(gè)方程的解答，體現(xiàn)出了二階常微分方程與生活息息相關(guān)的特性。由于篇幅及本人專業(yè)知識(shí)的限制，無(wú)法進(jìn)行更深層次的探究，例如，求解二階常微分方程還有一種冪級(jí)數(shù)解法，但是它的解題過(guò)程非常煩瑣，對(duì)計(jì)算的要求很高，計(jì)算量比較大，還要考慮該函數(shù)是否解析以及冪級(jí)數(shù)在某個(gè)區(qū)間是否收斂等問(wèn)題，所以在此不做討論。二階常微分方程研究的道路遠(yuǎn)不止此，在這個(gè)時(shí)代，二階常微分方程被廣泛應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)、軍事、醫(yī)學(xué)等各種高科技領(lǐng)域，對(duì)二階常微分方程進(jìn)行研究，有利于推進(jìn)目前社會(huì)的發(fā)展。