四次累積發(fā)放神經(jīng)元同宿環(huán)及周期解的存在性和穩(wěn)定性分析

吳建梅, 徐潔瓊, 王俊杰, 徐啟祥

(廣西大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,南寧 500064)

神經(jīng)元是神經(jīng)系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)和功能單元,神經(jīng)系統(tǒng)的放電活動主要表現(xiàn)為神經(jīng)元產(chǎn)生和傳輸電脈沖的過程,神經(jīng)信息主要通過神經(jīng)元放電活動的節(jié)律模式來進(jìn)行編碼。最早的神經(jīng)元模型由Hodgkin和Huxley在1952年提出,稱為Hodgkin-Huxley(H-H)模型[1]。為便于數(shù)學(xué)理論分析、高效計算以及大規(guī)模神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模擬,許多學(xué)者對該模型進(jìn)行了改進(jìn)。其中,累積發(fā)放神經(jīng)元模型(IF模型)是一類比較常用的簡化模型,這類模型能夠模擬真實神經(jīng)元豐富和復(fù)雜的放電行為且維數(shù)較低。其中平方自適應(yīng)IF模型(Izhikevich模型)、自適應(yīng)指數(shù)IF(integrate-and-fire)神經(jīng)元模型、四次IF神經(jīng)元模型等模型是其中的代表。Breete等[2]用自適應(yīng)指數(shù)IF神經(jīng)元模型成功擬合了椎體神經(jīng)元真實的放電記錄。Izhikevich等[3]用Izhikevich神經(jīng)元模型對哺乳動物的丘腦皮層系統(tǒng)進(jìn)行了模擬。四次IF神經(jīng)元模型不僅能產(chǎn)生自適應(yīng)指數(shù)IF神經(jīng)元模型和Izhikevich神經(jīng)元都能產(chǎn)生的放電模式,還能產(chǎn)生Phasic相應(yīng)、放電頻率自適應(yīng)、閾下振蕩等放電模式[4]。本文選擇四次累積發(fā)放神經(jīng)元模型為代表來研究非光滑神經(jīng)元的動力學(xué)行為,將理論分析四次IF模型的周期解的存在性和穩(wěn)定性。

IF神經(jīng)元模型具有重置過程,因此,該類模型具有非光滑特性,屬于非光滑動力系統(tǒng)的范疇。四次IF神經(jīng)元模型屬于第一類非光滑系統(tǒng),即,脈沖動力系統(tǒng)。脈沖動力系統(tǒng)廣泛存在于自然、社會與實際工程背景中,涉及到眾多領(lǐng)域。例如,機械系統(tǒng)中典型的碰撞振動系統(tǒng)[5]、電路中的開關(guān)切換[6]、閾值限定[7]等,以及生物力學(xué)領(lǐng)域中的害蟲治理[8]、種群動力學(xué)模型[9-10]、微生物生長模型[11]等。對脈沖動力系統(tǒng)周期解的研究,往往會選擇不連續(xù)面或時間面為龐加萊截面,通過重置映射和光滑流的復(fù)合得到一個龐加萊映射,把脈沖動力系統(tǒng)周期解的存在性轉(zhuǎn)化為龐加萊映射的不動點的存在性[12]。Yang等[13]提出HR混合模型,應(yīng)用龐加萊映射不動點理論給出了周期解的存在性和穩(wěn)定性分析,并討論了其周期增加的分岔和混沌現(xiàn)象;He等[14]研究了具有狀態(tài)依賴脈沖效應(yīng)的FHN模型的動力學(xué)行為,利用幾何分析構(gòu)造了不同條件下的龐加萊映射,通過龐加萊映射不動點理論和幾何分析技術(shù),得到了脈沖神經(jīng)元模型周期解的存在性和穩(wěn)定性的條件;Yi等[15]研究了具有狀態(tài)依賴脈沖效應(yīng)的Izhikevich模型,通過脈沖動力系統(tǒng)的理論、龐加萊截面和常微分方程幾何理論等給出周期解的存在性和穩(wěn)定性充分條件,并用數(shù)值仿真驗證了主要結(jié)果。在此基礎(chǔ)上,本文將利用非光滑動力學(xué)理論和不動點理論,通過證明四次累積發(fā)放神經(jīng)元模型1-階同宿環(huán)的存在性,從而證明同宿分岔后,1-階周期解(1-階簇放電)的存在性。

1 模型、相關(guān)定義及方法

考慮四次累積發(fā)放神經(jīng)元模型

(1)

當(dāng)v到達(dá)某一給定閾值時,系統(tǒng)具有如下重置過程,即,

(2)

方便起見,接下來用M表示閾值線v=vth,則M為脈沖集,用L表示重置線v=vr,故L為M對應(yīng)的相集。用Ψ表示脈沖函數(shù),即存在A(vA,wA)∈M,有Ψ(vA)=vr,Ψ(wA)=wA+d,用φ表示系統(tǒng)(1)、(2)相應(yīng)的流。

定義1:若O(v,w)為系統(tǒng)(1)、(2)的軌線,(v(t+),w(t+))∈L為O上的點(v(t),w(t))∈M對應(yīng)的重置點,并且存在非負(fù)正數(shù)n、正整數(shù)k,使得(vn(t+),wn(t+))=(vn+k(t+),wn+k(t+)),則稱O(v,w)為k-階周期解。k=1時,為1-階周期解。

定義2:如果存在A∈L,當(dāng)t>0,有φ(A,t)=B∈M,且脈沖效應(yīng)后B重置到A點,則軌跡φ(A,t)+脈沖線BA稱為1-階環(huán)。

若1-階環(huán)有一個奇點,則稱為1-階奇異環(huán)。此外,若1-階奇異環(huán)的奇點為鞍點,則稱為1-階鞍點同宿環(huán)。1-階鞍點同宿環(huán)由鞍點、鞍點不穩(wěn)定流形、鞍點穩(wěn)定流形和脈沖線四部分組成。

定義3: 假設(shè)φ(A,t)是系統(tǒng)(1)、(2)的一個1-階周期解。任意ε>0,存在δ>0,若對任意A1∈U(A,δ)∩L,存在t0>0,當(dāng)t>t0,有ρ(φ(A,t),φ(A1,t))<ε,則稱1-階周期解φ(A,t)是軌道漸近穩(wěn)定的。其中U表示鄰域,ρ表示距離。

構(gòu)造龐加萊映射：

可以構(gòu)造兩種龐加萊映射來討論系統(tǒng)(1)、(2)的動力學(xué)行為。

(i) 以重置面為龐加萊截面S={(v,w)|v=vr}。

(ii) 以閾值面為龐加萊截面S1={(v,w)|v=vth}。

方法:四階龍格庫塔法,時間步長為0.000 1,軟件為XPPAUT和MTALAB。

2 系統(tǒng)的動力學(xué)行為分析

2.1 v1

(A1) 鞍點E2(v2,w2)的不穩(wěn)定流形MU與脈沖集M相交,交點用A(vA,wA)表示。鞍點E2(v2,w2)的穩(wěn)流形MS與重置線L的交點為B(vB,wB),如圖1所示。圖中字母Lv為v-零值線,Lw為w-零值線,虛線表示脈沖線。后面的示意圖中,不同字母所表示相同的含義。

圖1 情形(A1)時系統(tǒng)(1)、(2)的1-階同宿環(huán)

(A2) 平衡點E1為穩(wěn)定點,平衡點E2為鞍點。鞍點E2的不穩(wěn)定流形MU與脈沖集M相交,其交點用A(vA,wA)表示;鞍點E2的穩(wěn)定流形MS與集合L的交點用B(vB,wB)表示,如圖2所示。

圖2 情形(A2)時系統(tǒng)(1)、(2)的1-階同宿環(huán)

(A3) 平衡點E1為不穩(wěn)定點,E2為鞍點。鞍點E2的不穩(wěn)流形MU與脈沖集M相交,交點用A(vA,wA)表示;集合L與MS的交點為B(vB,wB),如圖3所示。

圖3 情形(A3)時系統(tǒng)(1)、(2)的1-階同宿環(huán)

2.2 v1

(B1) 鞍點E2的不穩(wěn)定流形MU與脈沖集M相交于點A(vA,wA),且wA

圖4 情形(B1)時系統(tǒng)(1)、(2)的1-階同宿環(huán)

(B2)E1為穩(wěn)定平衡點,E2為鞍點。E2的不穩(wěn)定流形MU與脈沖集M相交于點A(vA,wA),且wA>wE2;E2的穩(wěn)定流形MS與L相交于點B(vB,wB),且wB>wE2,如圖5所示。

圖5 情形(B2)時系統(tǒng)(1)、(2)的1-階同宿環(huán)

(B3)E1為不穩(wěn)定平衡點,E2為鞍點。鞍點E2的不穩(wěn)流形MU與脈沖集M相交,交點用A(vA,wA)表示;鞍點E2的穩(wěn)定流形MS與重置線L的交點為B(vB,wB),且wA≤wB

圖6 情形(B3)時系統(tǒng)(1)、(2)的1-階同宿環(huán)

對于以上六種情形,存在d*使得脈沖效應(yīng)后點A映射到點B,即Ψ(wA,d*)=wA+d*=wB,則BE2、E2A和脈沖線AB構(gòu)成一個通過鞍點E2的環(huán),因此系統(tǒng)(1)、(2)存在一個同宿環(huán)。如若選取合適的參數(shù),則存在d*≥0使得wB=wA+d*,即系統(tǒng)(1)、(2)存在1-階同宿環(huán)。我們有如下定理。

定理1:對于情形(A1)、(A2)、(A3)、(B1)、(B2)、(B3),選取適當(dāng)?shù)膮?shù),則存在d*≥0使得系統(tǒng)(1)、(2)存在一個1-階同宿環(huán)。

接下來,選取d為分岔參數(shù)討論同宿分岔問題。當(dāng)d改變,1-階同宿環(huán)消失,一個1-階周期解出現(xiàn)。不失一般性,我們考慮d*>0。

定理2:對于情形(A1),當(dāng)0≤dΨ(wC1,d)時,則系統(tǒng)(1)、(2)的同宿環(huán)消失,分岔出一個軌道漸近穩(wěn)定的1-階周期解,而且這個1-階周期解是唯一的。

證明:作圖如圖7所示。對于定理中給出的條件,則可得到以下序列:

圖7 情形(A1)時系統(tǒng)(1)、(2)的1-階周期解的存在性

定理3:對于情形(A2)、(A3)、(B2)、(B3),當(dāng)d>d*≥0,且wB

證明:以情形(B2)為例,根據(jù)定理所給的條件作圖如圖8所示,則可得到如下序列

圖8 情形(B2),系統(tǒng)(1)、(2)的1-階周期解的存在性

w1

當(dāng)k→∞時,存在w∈(w1,wA)使得w2k+1=w,w2k=w,故系統(tǒng)(1)、(2)存在唯一一個軌道漸近穩(wěn)定的1-階周期解。證明完畢。對于情形(A2)、(A3)、(B3),證明類似,在此不重復(fù)證明。

對于(B1)情形,當(dāng)d改變時,1-階同宿環(huán)消失,當(dāng)0≤d

定理4:對于(B1)情形,當(dāng)0≤d

證明:作圖如圖9所示,點C為w-零值線與閾值線M:v=vth的交點。以v=vth為龐加萊截面,取初始點位于v=vth,且w0∈[wC,wA],則有w1=α(w0)∈M。由于d≥0,故φ(wC+d)≥wC。

圖9 情形(B1),系統(tǒng)(1)、(2)的1-階周期解的存在性

(i)w0=w1,則有唯一一點w0∈[wC,wA]使得α(w0)=w0,故系統(tǒng)(1)、(2)存在唯一1-階周期解,且是軌道漸近穩(wěn)定的。

(ii)w0

(iii)w0>w1,則有wC<…

接下來我們將給出1-階周期解軌道漸近穩(wěn)定的一般性判定定理。

定理5:當(dāng)d≥0時,設(shè)O(v(t),w(t))為系統(tǒng)(1)、(2)的周期為T的1-階周期解,其初始點為Z+(vr,w*),且與閾值線v=vth相交于點Z(vth,w*-d)。若μ<1,則O(v(t),w(t))是軌道漸近穩(wěn)定的,其中

證明:根據(jù)參考文獻(xiàn)[16],由系統(tǒng)(1)、(2)可取

P=v4+2av-w+i,Q=a(bv-w),

f=Δv=vr-vth,h=Δw=d,φ=v-vth,

(v(T),w(T))=(vth,w*-d),

(v(T+),w(T+))=(vr,w*)。

則有

則可得到:

Δ1=

且有

則可得Floquent乘子:

3 數(shù)值仿真

在此章中,運用數(shù)值仿真的手段去驗證理論的結(jié)果,以情形(A1)和情形(B2)為例。當(dāng)選取參數(shù)i=4,a=4,b=2時,則系統(tǒng)(1)、(2)平衡點分別為E1(-1.491 5,-2.983 1),E2(-0.708 71,-1.417 40),取vr=-0.5,vth=0.5,則有v1

(a)

對于情形(B2),當(dāng)選取參數(shù)i=0.3,a=1,b=1.24時,則系統(tǒng)(1)、(2)的兩個平衡點分別為E1(-0.685 81,-0.850 40),E2(-0.447 51,-0.554 91),重置值和閾值分別取vr=-0.5,vth=-0.3,則有v1d*時,由定理3可知系統(tǒng)(1)、(2)的同宿環(huán)消失,一個軌道漸近穩(wěn)定的1-階周期解出現(xiàn),如圖11(b)所示。其中1-階周期解由字母O表示。

(a)

4 結(jié) 論

(1) 討論了系統(tǒng)(1)、(2)存在兩個平衡點(一個為鞍點,一個非鞍點)時的同宿分岔?？紤]E1(v1,w1)為非鞍點的平衡點,E2(v2,w2)為鞍點,且有v1

(2) 僅針對系統(tǒng)具有兩個平衡點的情形進(jìn)行了討論,當(dāng)系統(tǒng)具有其它動力學(xué)特性情形下,周期解的存在性和穩(wěn)定性的分析,以及多周期峰放電和簇放電存在性的研究將在后續(xù)工作中開展。

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