巧添平行線(xiàn)　構(gòu)造相似形

欒長(zhǎng)偉

用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理或相似三角形的知識(shí)來(lái)解題，是初中數(shù)學(xué)常用的方法.有時(shí)題目中沒(méi)有平行線(xiàn)或相似三角形，則要引入平行線(xiàn)，構(gòu)造如圖1和圖2所示的相似三角形.這類(lèi)相似三角形通常被稱(chēng)為“平行線(xiàn)型”相似三角形. 題目中出現(xiàn)同一直線(xiàn)上或兩條平行線(xiàn)上的兩條線(xiàn)段之比時(shí)，通常要構(gòu)造“平行線(xiàn)型”相似三角形.下面舉例探討不同背景下，如何構(gòu)造“平行線(xiàn)型”相似三角形來(lái)解決問(wèn)題.

一、在三角形中構(gòu)造

例1 如圖3，Rt△ABC中，∠ABC = 90°，AB = BC，點(diǎn)D為BC邊上的中點(diǎn)，BE⊥AD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F.求[AFFC]的值.

分析：本題條件和結(jié)論中都出現(xiàn)了同一直線(xiàn)上的兩條線(xiàn)段的比，即已知的[BDDC] = 1和要求的[AFFC]，為此，考慮以點(diǎn)D或點(diǎn)F為分點(diǎn)添加平行線(xiàn)，構(gòu)造“平行線(xiàn)型”相似三角形.

解法1： 如圖3，過(guò)點(diǎn)D作DG[?]BF，交AC于點(diǎn)G.

易證△BED∽△AEB，有[BDAB=BEAE=DEBE]，進(jìn)而得出[AEDE] = 4.又因?yàn)镈G[?]BF，所以[FGFC] = [BDBC] = [12]，F(xiàn)C = 2FG，結(jié)合[AFFG] = [AEDE] = 4，可得[AFFC] = [AF2FG] = 2.

解法2：如圖4，過(guò)點(diǎn)C作CG[?]AD，交BF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G.同解法1可得[AEDE] = 4.因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，CG[?]AD，所以[DEGC=12]，進(jìn)而得到[AEGC=2].再證明△AEF∽△CGF，可得[AFFC=AEGC=2].

變式：已知，如圖5，Rt△ABC中，∠ABC = 90°，點(diǎn)D為BC邊上的點(diǎn)，BE⊥AD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F.若[ABBC] = [BDDC] = n，求[AFFC]的值（用含n的式子表示）.

分析：本題看似已知條件發(fā)生了變化，但題中“同一直線(xiàn)上的兩條線(xiàn)段的比”這一特征沒(méi)有變化，所以還是添加平行線(xiàn)，構(gòu)造“平行線(xiàn)型”相似三角形.

解： 如圖5，過(guò)點(diǎn)D作DG[?]BF交AC于點(diǎn)G.由條件得BD = nDC，BC = （n + 1）DC，AB = n（n + 1）DC.易證△BED∽△AEB，所以[DEBE] = [BEAE]，得到[AEDE] = （n + 1）2.因?yàn)镈G[?]BF，所以[FGGC] = [BDDC] = n，所以FG = nGC，F(xiàn)G = [nn+1]FC.因?yàn)镈G[?]BF，所以[AFFG] = [AEDE] = （n + 1）2，可得[AFnn+1FC] = （n + 1）2，所以[AFFC] = n2 + n.

二、在四邊形中的運(yùn)用

例2 如圖6，在四邊形ABCD中，AD[?]BC，∠ABC = 90°，AD = CD，F(xiàn)是對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)，連接BF并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)E，BE⊥CD.求[ADBC]的值.

分析：本題的顯著特征是所求比值的兩條線(xiàn)段所在直線(xiàn)互相平行，可以考慮構(gòu)造“平行線(xiàn)型”相似三角形.

解：分別延長(zhǎng)BA，CD交于點(diǎn)G.在Rt△ABC中，F(xiàn)為斜邊AC的中點(diǎn)，有FB = FC.又因?yàn)镈A = DC，可證∠1 = ∠2 = ∠3 = 30°，易得∠G = ∠2 = 30°，可得AC = AG.在Rt△ABC中，[ACAB=2]，可知[AGAB=2]，所以[AGGB=23]，所以[ADBC=AGGB=23].

三、在圓中構(gòu)造

例3 如圖7，AB是⊙O的直徑，DC是⊙O的切線(xiàn)，AD⊥CD于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，連接BD交AC于點(diǎn)F， BA = BD，求[DFBF]的值.

分析：本題圖形較復(fù)雜，題目中的特殊條件也較多，細(xì)心觀察發(fā)現(xiàn)待求比值的線(xiàn)段在同一直線(xiàn)上，可考慮連接BE，得到直角，通過(guò)“垂直于同一直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行”構(gòu)造“平行線(xiàn)型”相似三角形來(lái)解決問(wèn)題.

解：連接BE交OC于點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)G.

由DC為⊙O切線(xiàn)，AD⊥CD，可證明CO[?]AD，可得∠DAC = ∠ACO，由OA = OC，可證∠ACO = ∠CAO.又可知四邊形DEHC為矩形，可得△AEG≌△CHG，所以EG = HG，EG = [13]BG.又可證EG = [12]CD，因此[DCBG] = [2EG3EG] = [23]，又因?yàn)椤鱀CF∽△BGF，所以[DFBF=DCBG=23].

例4 如圖8，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，AC和BD相交于點(diǎn)E，且DC2 = CE·CA，分別延長(zhǎng)AB，DC交于點(diǎn)P，若PB = OB，CD = [22]，求⊙O的半徑.

分析：在圓中，構(gòu)造等腰三角形比較容易，結(jié)合角平分線(xiàn)，可以較為方便地得到平行，構(gòu)造“平行線(xiàn)型”相似三角形.

解：連接OC，設(shè)⊙O的半徑為r.

由DC2 = CE·CA和∠ACD = ∠DCE，可證得△CAD∽△CDE，得到∠CAD = ∠CDE，易證OC[?]AD，利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理得到[PCCD=POOA] = 2，則PC = 2CD = [42]，然后證△PCB∽△PAD，利用相似比得到[PCAP=PBPD]，即[423r=r62]，解得r = 4，即⊙O的半徑為4.

通過(guò)上述幾個(gè)問(wèn)題的解決，我們可體會(huì)到解決這類(lèi)問(wèn)題的兩個(gè)關(guān)鍵之處：一要熟悉“平行線(xiàn)型”相似三角形的適用背景；二要準(zhǔn)確地確定過(guò)哪個(gè)點(diǎn)且作哪條線(xiàn)的平行線(xiàn).只有抓住這兩個(gè)關(guān)鍵，才能有效解決問(wèn)題.