輔助圓幫你求幾何“動點(diǎn)最值”

張鑫

許多同學(xué)在解“動點(diǎn)最值”類題目時(shí)往往因找不到“從動點(diǎn)”運(yùn)動的規(guī)律而無從下手. 本文僅就“從動點(diǎn)”的“點(diǎn)動為圓”情形做介紹.

一、問題引入

例1 如圖1，已知點(diǎn)B（10，5），C（0，5）. 在射線BC上任取一點(diǎn)P（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，C重合），作點(diǎn)C關(guān)于直線OP的對稱點(diǎn)D，連接BD，求BD的最大值.

分析：隨著點(diǎn)P位置的改變，CP和BP的長度發(fā)生變化，點(diǎn)D的位置也隨之改變，并導(dǎo)致BD的長度也發(fā)生變化，但OC的長度保持不變. 由點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于OP的對稱點(diǎn)，可知OD = OC也保持不變. 從而可知點(diǎn)D是在以O(shè)C長為半徑的⊙O上，所求BD的長度是⊙O外定點(diǎn)B到⊙O上動點(diǎn)D的距離.

解：如圖2，由題意可知點(diǎn)D在半徑為OC的⊙O上，連接OB，可知[BD - OD] ≤ OB，當(dāng)O，D，B共線時(shí)，BD取得最大值，此時(shí)BD = OB + OD = [52+102] + 5 = 5[5] + 5.

點(diǎn)評：動點(diǎn)的變化絲毫沒有改變“從動點(diǎn)”到某一定點(diǎn)的距離，如此情形即可繪制出“從動點(diǎn)”相應(yīng)的運(yùn)行路線“點(diǎn)動為圓”，從而得到解題辦法.

二、典例辨析

例2 如圖3，△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 7，BC = [15]，點(diǎn)D在邊AC上，且CD = 1. 點(diǎn)E是AB邊上的動點(diǎn)，連接DE，作BE關(guān)于直線DE的對稱線段FE. 連接AF. 求AF的最小值.

分析：盡管點(diǎn)E是動點(diǎn)，但對稱軸DE上的點(diǎn)D是定點(diǎn)，故軸對稱并不影響FD = BD為定值，故點(diǎn)F在半徑為BD的⊙D上，而所求AF的長度是⊙D外定點(diǎn)A到⊙D上動點(diǎn)F的距離.

解：由題意可知點(diǎn)F在半徑為DB的⊙D上.

如圖4，連接DB，易得DB = 4，AF + FD ≥ AD，僅當(dāng)A，F(xiàn)，D共線時(shí)，AF取得最小值，此時(shí)AF = AD - FD = AC - CD - BD = 7 - 1 - 4 = 3.

點(diǎn)評：解“動對稱軸”問題要找到對稱軸上不動的點(diǎn)，進(jìn)而與“從動點(diǎn)”建立“定點(diǎn)、定長”的圓，并借助圓來實(shí)現(xiàn)“等量位移”，進(jìn)而找到極值對應(yīng)的特殊位置.

例3 如圖5，在△ABC中，∠BAC = 30°，AC = 2，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向運(yùn)動. 連接CP，點(diǎn)A關(guān)于直線CP的對稱點(diǎn)為A'，連接A'C，A'P. 當(dāng)∠A'CA = 90°時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動. 在此過程中，點(diǎn)A'到直線AB距離的最大值是多少？

分析：AC的長度是定長，由“點(diǎn)A關(guān)于直線CP的對稱點(diǎn)為A'，連接A'C”可知A'C也是定長，均是以C為定點(diǎn)，故點(diǎn)A'在半徑為AC的⊙C上. 由此，所求即為直線AB切割⊙C所得弓形的弓高（弧上一點(diǎn)到弦的最大距離是弓高，同學(xué)們可自行證明）.

解：如圖6，由題意可知點(diǎn)A'在半徑為AC的⊙C上，

連接AA'，當(dāng)A'C⊥AB于F時(shí)，A'F就是所求的最大值.

此時(shí)，∠ACF = 90° - 30° = 60°，且A'C = AC，

∴△A'CA為等邊三角形，易得A'F = 1.

點(diǎn)評：本題確定“從動點(diǎn)”的運(yùn)動路線比較簡單，但“點(diǎn)到線的距離”對應(yīng)的是垂線段的問題. 而對于圓上“從動點(diǎn)”到弦的距離問題對應(yīng)的是弓高，同學(xué)們不太容易想到，要多積累解題經(jīng)驗(yàn).

三、能力提升

例4 如圖7，△AOB中，∠AOB = 90°，AO = BO = 8，點(diǎn)C是射線OA上的動點(diǎn)，連接BC. 作OD⊥BC于D，延長DC至點(diǎn)E，使得DE = DO. 在點(diǎn)C從點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)A的過程中，點(diǎn)E到OA的最大距離是多少？

分析：大致繪制幾個(gè)點(diǎn)C處于不同位置的圖形，不難發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E的運(yùn)動路徑是圓弧，但如何驗(yàn)證？如果是圓弧，那么確定圓心是關(guān)鍵點(diǎn)，但圓心在哪里？雖然點(diǎn)C是“自變量”，決定了點(diǎn)D和點(diǎn)E，但OB以及直角∠ODB卻是不變量，由此可知點(diǎn)D是在以O(shè)B為直徑（圓心為OB中點(diǎn)G）的圓上運(yùn)動，且點(diǎn)E可以看作是點(diǎn)O繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°所得，但孤立的一個(gè)點(diǎn)不便于研究，故“搭配”一個(gè)與點(diǎn)E一同旋轉(zhuǎn)后有定長的定點(diǎn)G，從而得到△ODG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后對應(yīng)的△EDG'（如圖8）. 易得G'是在半徑為[2]DG = 4[2]的⊙G上，且EG'⊥BO，EG' = OG = 4. 也就是說點(diǎn)E始終位于點(diǎn)G'的正上方4個(gè)單位長度處，則點(diǎn)E也在半徑為4[2]的圓上，且圓心在點(diǎn)G的正上方4個(gè)單位長度處——AB的中點(diǎn)M（如圖9）.

解：基于前面分析，并結(jié)合例3，可得EF = 4[2] - 4.

點(diǎn)評：對于“從動點(diǎn)”運(yùn)行路線是圓形但圓心難以確定的問題，應(yīng)從題目特征入手找到圓形運(yùn)動路線的其他相關(guān)因素.

綜上，解“動點(diǎn)最值”類題目時(shí)，可以在嘗試作出幾個(gè)“動點(diǎn)瞬間”的靜態(tài)圖后判斷“從動點(diǎn)”的運(yùn)行路線. 若“從動點(diǎn)”出現(xiàn)了“點(diǎn)動為圓”的情況，則應(yīng)借助圓的相關(guān)性質(zhì)求解最值.