“教學(xué)做合一”，糾正數(shù)學(xué)認(rèn)知偏差的應(yīng)然選擇

江蘇宜興市學(xué)府路實驗小學(xué)（214421） 王琴芳

陶行知先生認(rèn)為“教學(xué)做”是一體的，其中“做”是核心，主張教師在“做”中教，學(xué)生在“做”中學(xué)。美國教育家約翰·杜威提出從“做”中學(xué)的思想，強(qiáng)調(diào)身體在認(rèn)知中的價值，他認(rèn)為，認(rèn)知的過程是通過大腦、身體、環(huán)境相互連接在一起的。具身認(rèn)知的理論強(qiáng)調(diào)學(xué)生應(yīng)全身心參與數(shù)學(xué)活動，多感官體驗，身心融合，促進(jìn)身體與思維的相互關(guān)聯(lián)，發(fā)揮身體在認(rèn)知發(fā)展、增進(jìn)兒童智慧等方面的積極作用。由于小學(xué)生的年齡特點和認(rèn)知特點，他們受生活實際及知識基礎(chǔ)的影響，對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知往往會有偏差。而教師就是要及時捕捉他們的認(rèn)知偏差，并通過對真實情境的模擬與重現(xiàn)，充分調(diào)動學(xué)生的多感官參與、多維度體驗、多元化感悟，借助體驗式實踐來辨析，從而去偽存真，正確建構(gòu)數(shù)學(xué)概念。

一、互動式討論，糾文本理解之偏差

小學(xué)生的思維以具體形象思維為主，對數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)往往停留在具體的情境中，而對于數(shù)學(xué)問題的文字的敘述會自行做不必要的補(bǔ)充，從而產(chǎn)生認(rèn)知偏差。

【教學(xué)案例1】蘇教版三年級數(shù)學(xué)上冊“認(rèn)識分?jǐn)?shù)”

問題：下面選項中，（ ）是正確的。

A.一個西瓜切成3塊，吃了2塊，吃了這個西瓜的三分之二。

B.有兩個杯子，各裝了半杯水，把兩個半杯倒在一起就是一杯水。

C.把一張正方形紙連續(xù)折兩次，每份是這張紙的四分之一。

D.五分之三里有5個三分之一。

生1：我覺得這道題出錯了，應(yīng)該是選錯誤的，因為只有一個錯誤的選項。

（絕大多數(shù)學(xué)生都有同樣質(zhì)疑。）

師：你們覺得哪個選項是錯誤的？

生2：只有D選項是錯誤的，其余都是對的。

師：認(rèn)為A選項正確的同學(xué)說說理由。

生3：將西瓜分成了3塊，2塊就是三分之二。

生4：我反對，如果我分的不是相等的3 塊，就不對了。

生5：老師，B選項的這兩個杯子一樣大嗎？

師：題目中有沒有說是同樣大的杯子呢？

生6：這兩個杯子有可能一個大，一個小。

生7：C 也不正確呀，連續(xù)折兩次，不一定每份一樣大呀！

（生7 拿出一張正方形紙示范起來，先沿對角線對折一次，再沿著側(cè)邊折一次，果然沒有將紙平均分成4份。）

師：你們覺得呢？

生8：這樣不是對折。

以上案例中，學(xué)生受生活經(jīng)驗的影響，默認(rèn)分物品時都要平均分，要想糾正這種認(rèn)知偏差，在新授課時就要通過反例強(qiáng)化分?jǐn)?shù)的意義；在學(xué)生產(chǎn)生爭論時，提供實踐的演示與圖例的說明，讓錯方深刻認(rèn)識到錯誤的原因，從而達(dá)成糾錯的目的。

二、實境式辨析，糾負(fù)面遷移之偏差

數(shù)學(xué)是一門邏輯性極強(qiáng)的學(xué)科，而知識的遷移則是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要路徑。但在具體教學(xué)中，學(xué)生常常會在知識點之間產(chǎn)生負(fù)遷移，從而產(chǎn)生錯誤。

“間隔排列”的教學(xué)通常是從情境圖入手，讓學(xué)生觀察圖上物品的擺放特點，從而找出規(guī)律，在練習(xí)中有相應(yīng)的圖示作為習(xí)題的范例，因此很少有學(xué)生會出錯。但當(dāng)問題只以文字形式呈現(xiàn)時，學(xué)生的認(rèn)知偏差就產(chǎn)生了。比如問題“24 名男生站1 排，每2名男生之間站1名女生，一共要站幾名女生？”，有學(xué)生答24÷2=12（人）。究其原因，他是受除法含義的影響，看到“每2 名男生”就以為是將每2 人分成1 份，選擇用除法計算，這是由已有知識經(jīng)驗產(chǎn)生的負(fù)遷移。怎樣讓學(xué)生理解“每2 名男生之間站1 名女生”？可以讓學(xué)生進(jìn)行實境模擬，讓男生站1排，引導(dǎo)學(xué)生思考“在什么位置上站女生”。學(xué)生通過親身體驗感受到“每2 名男生之間”就是“第一名男生和第二名男生之間站1 名女生，第二名男生與第三名男生之間站1 名女生……”，而非“隔2 名男生站1 名女生”，也就不存在“每2 人分1 份”這一說法。

上述案例中，學(xué)生由于對除法含義理解不透徹產(chǎn)生負(fù)遷移，誤認(rèn)為只要看到“每幾個”就是平均分，不自覺地將“間隔排列”的規(guī)律與除法勾連起來，選擇用除法來解決問題。在糾錯過程中，首先，要讓學(xué)生思維外顯，即通過實境模擬或者畫圖表示出題目的含義，再通過引導(dǎo)學(xué)生觀察思考“間隔排列”的規(guī)律與除法含義有無關(guān)聯(lián)，從而作出正確的判斷；其次，針對不同的圖例表達(dá)，要引導(dǎo)學(xué)生對照條件，突破理解題意之難點；最后，還要讓學(xué)生進(jìn)行必要的變式練習(xí)。在教學(xué)中，只有讓學(xué)生在實境中充分感知，加強(qiáng)對比與辨析，才能讓學(xué)生真正認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從而糾正負(fù)遷移產(chǎn)生的認(rèn)知偏差。

三、實踐式探究，糾順向推理之偏差

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開推理，而學(xué)生對論證方法的運(yùn)用有限，得到的推論并不完全正確。作為教師既要鼓勵學(xué)生大膽推理，又要提醒他們小心求證。

【教學(xué)案例2】蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊“三角形的內(nèi)角和”

（學(xué)生通過計算熟悉的直角三角尺的三個內(nèi)角的度數(shù)之和引發(fā)猜想，再通過舉例驗證，得出“三角形的內(nèi)角和是180°”的結(jié)論。）

師：用兩塊完全一樣的三角尺拼成不同圖形，拼成圖形的內(nèi)角和分別是多少？

生1：如圖1 所示，我拼成了平行四邊形，內(nèi)角和是360°。

圖1

生2：如圖2 所示，我拼成了長方形，內(nèi)角和也是360°。

圖2

生3：如圖3 所示，我拼成了正方形，內(nèi)角和也是360°。

圖3

生4：我覺得不管拼成什么圖形，內(nèi)角和總是360°，因為三角形的內(nèi)角和是180°，2個三角形拼成的圖形，內(nèi)角和就是180°×2=360°。

師：大家拼的圖形內(nèi)角和都是360°嗎？

生5：我拼成的是三角形，內(nèi)角和不是360°。

師：大家也來試著拼三角形，看看內(nèi)角和到底是多少度？

（學(xué)生拼成的三角形如圖4、圖5、圖6所示。）

圖4

圖5

圖6

生6：圖4的內(nèi)角和為60°+60°+30°+30°=180°。

生7：圖5的內(nèi)角和為30°+30°+60°+60°=180°。

生8：圖6的內(nèi)角和為45°+45°+45°+45°=180°。

（學(xué)生對拼成三角形的內(nèi)角和與前面拼成長方形、正方形的內(nèi)角和不同而產(chǎn)生了認(rèn)知沖突。）

師：仔細(xì)觀察比較，拼成三角形與拼成四邊形到底有什么區(qū)別？

生9：拼成三角形時2 塊三角板的2 個直角都被拼掉了，只有4 個銳角成了新的三角形的角。因此，內(nèi)角和是360°-90°-90°=180°。而拼成平行四邊形、長方形或正方形時，由于內(nèi)角都未被拼掉，所以內(nèi)角和就是180°+180°=360°。

在上述案例中，學(xué)生的認(rèn)知偏差源于順向推理，當(dāng)有例子是正確的時，學(xué)生就大膽猜想所有例子都正確。教師借助特例組織學(xué)生共同研究，讓學(xué)生用實驗的方式得到結(jié)論，再用動手實踐的方式來探究兩類圖形的區(qū)別。這樣，不僅培養(yǎng)了他們的合作交流、數(shù)學(xué)推理能力，還發(fā)展了他們的空間觀念，激發(fā)了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，更為他們將來探究數(shù)學(xué)本質(zhì)明確了路徑。

四、具身式想象，糾視覺空間之偏差

數(shù)學(xué)概念具有抽象性，而小學(xué)生思維又以具體形象思維為主，因此，在具體學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生往往會受視覺的影響，產(chǎn)生認(rèn)知上的偏差。

【教學(xué)案例3】蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級上冊練習(xí)

師（出示圖7）：在圖中里添一個正方形，使它成為一個軸對稱圖形，至少畫3種。

圖7

（學(xué)生通過討論交流，很快出現(xiàn)了3 種畫法，如圖8、圖9、圖10所示。）

圖8

圖9

圖10

圖11

（也有學(xué)生提出，把正方形添在右下側(cè)，如圖11所示，還特意畫出了對稱軸。）

師：大家想想，這樣的圖形是不是軸對稱圖形呢？

生1：不是，因為它對折后不能完全重合。

生2：可是它兩邊的圖形是完全相同的呀！

師：剛剛有同學(xué)說兩邊的圖形明明就是完全相同的，怎么就不是軸對稱圖形呢？

生3：雖然兩邊圖形完全相同，但它們對折后并不能完全重合，因此不是軸對稱圖形。

生4：軸對稱圖形不是看兩邊是否完全相同，而是應(yīng)該看對折后能否完全重合。

上述案例，如果教師僅僅強(qiáng)調(diào)它是錯的，而不讓學(xué)生說出自己的理由，那么就無法觸及學(xué)生的錯誤認(rèn)知，也無法幫助他們區(qū)分“完全相同”與“對折后完全重合”之間的區(qū)別。只有讓學(xué)生說出自己真實的想法，通過討論、交流、具身想象，學(xué)生才能辨析其正誤，糾正存在于腦中的認(rèn)知偏差，從而對數(shù)學(xué)概念有準(zhǔn)確的把握。

五、化歸式抽象，糾概念混淆之偏差

數(shù)學(xué)概念之間相互關(guān)聯(lián)，既有區(qū)別又有聯(lián)系。在教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)生、發(fā)展和形成，但缺少必要的化歸，導(dǎo)致在知識運(yùn)用過程中出現(xiàn)張冠李戴、概念混淆的現(xiàn)象。

【教學(xué)案例4】蘇教版五年級數(shù)學(xué)“平行四邊形面積計算”

師（出示圖12）：求該平行四邊形的面積。

（不少學(xué)生選擇了用15×12=180（平方分米）來計算。學(xué)生是套了“平行四邊形面積=底×高”這一公式。顯然，此類錯誤是因為學(xué)生對于平行四邊形中的底與高的關(guān)系不清晰。）

師：大家實踐操作，用不同方法將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形。

（學(xué)生找到的方法如圖14所示。）

圖14

師：觀察不同轉(zhuǎn)化方法，有什么共同點？

生1：通過觀察與比較，我發(fā)現(xiàn)平行四邊形沿著與底對應(yīng)的高剪下后都可以拼成長方形。

師：剛才你們不約而同想到了沿著與水平方向的底對應(yīng)的高來剪，然后拼成長方形，那還可以怎樣剪拼呢？

生2：還可以沿著另一組底對應(yīng)的高來剪，然后拼成長方形。

師（引導(dǎo)觀察思考）：這些不同的轉(zhuǎn)化方法又有什么共同點？與前一類的轉(zhuǎn)化方法有什么相同與不同？

上述案例中，學(xué)生之所以會產(chǎn)生這樣的認(rèn)知偏差，是因為只知道平行四邊形面積是底與高的乘積，沒有理解為什么，對平行四邊形中底與高的概念沒有清晰的認(rèn)知。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)充分展示轉(zhuǎn)化的過程，引導(dǎo)學(xué)生借助觀察、討論、比較，進(jìn)行化歸式抽象，得出底與高是對應(yīng)關(guān)系，是相互垂直的一組線段，從而糾正學(xué)生的錯誤認(rèn)知。學(xué)生經(jīng)歷了兩種不同的轉(zhuǎn)化過程，獲取了轉(zhuǎn)化的直觀感悟，通過觀察、比較，抽象出轉(zhuǎn)化的本質(zhì)，理解了平行四邊形面積計算方法的本質(zhì)。在教學(xué)中，概念、公式等數(shù)學(xué)知識的獲得都應(yīng)該讓學(xué)生有充分感悟的時間和空間，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識形成的過程，在直觀表象的支撐下抽象出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，即尋找共同屬性，排除非本質(zhì)屬性的干擾。

小學(xué)數(shù)學(xué)概念認(rèn)知偏差的糾正依賴于學(xué)生具身參與，是一種多感官參與、多維度體驗、多方位關(guān)聯(lián)的活動，不僅能發(fā)展學(xué)生動手操作、空間想象、合情推理、抽象概括等能力，更是溝通學(xué)生身體與思維的橋梁。學(xué)生身心融合，主動參與實踐，抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)，方能讓數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知偏差得以糾正，建立網(wǎng)狀的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的進(jìn)階。