例談小學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力的培養(yǎng)

廣西欽州市欽北區(qū)小董鎮(zhèn)吉水小學(xué)（535022） 周超紅

數(shù)學(xué)是一門邏輯性非常強(qiáng)的學(xué)科，很多概念的學(xué)習(xí)、理解及應(yīng)用，需要學(xué)生具備良好的邏輯思維能力。通過提升學(xué)生的邏輯推理能力，可以幫助他們學(xué)會(huì)觀察、分析和解決問題的方法，幫助他們理解數(shù)學(xué)規(guī)律和推導(dǎo)出正確的答案。教師應(yīng)當(dāng)認(rèn)識到這一點(diǎn)，并能夠根據(jù)實(shí)際教學(xué)情況制訂培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力的有效策略，為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)以及長遠(yuǎn)發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

一、教學(xué)環(huán)節(jié)與研究方法

1.教學(xué)環(huán)節(jié)

邏輯推理指的是從一些命題或者事實(shí)出發(fā)，按照既定的規(guī)則推斷出其他命題。常見的邏輯推理方式有溯因推理、歸納推理、演繹推理等。麥肯錫將邏輯推理的過程分為7 個(gè)步驟，包含問題確認(rèn)、問題分解、問題剔除、制訂計(jì)劃、關(guān)鍵分析、建立論證、交流溝通。筆者在麥肯錫理論的基礎(chǔ)上，結(jié)合自身實(shí)際教學(xué)情況，將推理過程分為確認(rèn)問題、提出猜想、尋找論據(jù)、建立論證、得出結(jié)論5 個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行教學(xué)，全面動(dòng)態(tài)地呈現(xiàn)學(xué)生的推理論證歷程。

2.研究方法

以一節(jié)“探索圖形的周長與面積”公開課為例，對課堂的每一個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行反思與總結(jié)，再反復(fù)實(shí)踐，實(shí)現(xiàn)對整個(gè)教學(xué)流程的不斷改進(jìn)與優(yōu)化，形成一套培養(yǎng)小學(xué)生邏輯推理能力的有效策略。

二、研究過程

1.確認(rèn)問題

教師為學(xué)生提供方格紙（每一格的邊長為1 厘米），要求學(xué)生沿方格線裁掉小長方形（不能直接從內(nèi)部裁），觀察剩余方格紙的周長與面積的變化。學(xué)生經(jīng)過反復(fù)裁切后歸納出三種裁切方法：第一種，一裁到底，整行整列地裁（如圖1-1）；第二種，裁在角上，從方格紙的一角開始裁切（如圖1-2）；第三種，裁在邊上，不裁方格紙的四個(gè)角（如圖1-3）。

圖1-1

圖1-2

圖1-3

教師向?qū)W生提問：（1）請說明裁切方法分為三種的原因；（2）請說出不同裁切方法下，剩余圖形的周長和面積隨裁掉的方格數(shù)變化的規(guī)律；（3）從方格紙中裁掉整數(shù)方格，請說出使圖形“周長不變，面積最小”的裁切方法。

在此環(huán)節(jié)中，學(xué)生對“裁切方格紙”表現(xiàn)出非常濃厚的興趣，很多學(xué)生在裁切完之后主動(dòng)和周圍同學(xué)進(jìn)行交流、探討。

2.提出猜想

小學(xué)生的思維尚處于形成發(fā)展階段，還沒有掌握完善的邏輯推理方法，教師可采取對話介入的方式，通過循序漸進(jìn)的方式引導(dǎo)學(xué)生提出猜想。

師：同學(xué)們，要想解決上述三個(gè)問題，我們首先要找出這三個(gè)問題之間的關(guān)系，然后找出關(guān)鍵性問題。你們發(fā)現(xiàn)這三個(gè)問題之間的關(guān)系了嗎？

生（齊）：沒有。

師：那好，注意聽老師的分析。第一個(gè)問題是關(guān)于“裁切方法”的，如果這三種方法已經(jīng)包含了所有的裁切情況，那么就說明，我們在探究第二個(gè)問題“剩余圖形的周長和面積隨裁掉的方格數(shù)變化的規(guī)律”時(shí)不會(huì)出現(xiàn)遺漏，是不是？

生（齊）：是的。

師：當(dāng)我們找到“剩余圖形的周長和面積隨裁掉的方格數(shù)變化的規(guī)律”時(shí)，就可以根據(jù)規(guī)律來解決第三個(gè)問題。也就是說，解決第三個(gè)問題前要解決第二個(gè)問題，在此之前要先證明第一個(gè)問題的正確性。

通過對話的方式引發(fā)學(xué)生對問題的深入認(rèn)識，并將溯因推理的意識植入學(xué)生的腦海中。學(xué)生非常迅速地投入對第一個(gè)問題的探索中，經(jīng)過研究與分析得出結(jié)論“長方形是由相對邊等長、相鄰邊相互垂直的4 條線段首尾相連組成的，每一個(gè)長方形都包含4條邊和4個(gè)角”。學(xué)生就能明白“在裁切的過程中最多出現(xiàn)三種情況，裁角又裁邊、只裁角、只裁邊，其對應(yīng)的裁切方法也就分別為一裁到底、裁在角上、裁在邊上”。此結(jié)論得到教師的認(rèn)可之后，學(xué)生又對第二個(gè)問題提出猜想（見表1）。

表1 裁切方式的猜想

3.尋找論據(jù)

尋找論據(jù)的過程可以由學(xué)生提出，也可以由教師提出。在此環(huán)節(jié)中，上述9 個(gè)猜想中有3 個(gè)得到了論據(jù)支持，其中2 個(gè)是學(xué)生獨(dú)立提出的，另外一個(gè)是學(xué)生在教師的提示下找到的。例如，對于“裁在角上，周長不變，面積變小”這一猜想，學(xué)生提出了2 條論據(jù)，一條是“在任何一個(gè)長方形中，對應(yīng)邊的長度相等”，另一條是“長方形中對應(yīng)邊平行且相等”，由此可見，學(xué)生對既有知識的掌握是比較熟練的。另外，學(xué)生在提出論據(jù)的過程中出現(xiàn)了4 次“爭論”，每次“爭論”出現(xiàn)的時(shí)候，教師都組織學(xué)生發(fā)表自己的觀點(diǎn)，互相辯論。當(dāng)學(xué)生在尋找論據(jù)的過程中遇到了問題時(shí)，教師的引導(dǎo)與啟發(fā)就能起到重要的作用，這比教師直接告知學(xué)生答案更好。在此過程中，學(xué)生思維的邏輯性、發(fā)散性、嚴(yán)謹(jǐn)性都得到了很好的鍛煉與培養(yǎng)。

4.建立論證

經(jīng)過論證發(fā)現(xiàn)，如圖2 所示，當(dāng)選擇“一裁到底”的裁切方法時(shí)，裁掉了原來的一條邊，還有另外兩條邊變短了，但產(chǎn)生1 條新的“邊”，裁掉的邊與產(chǎn)生的“邊”長度相等，但另外兩條邊變短了，剩余圖形的周長變小。由于是整行或整列地裁，故減少的面積為“5平方厘米×裁掉的列數(shù)（或行數(shù)）”。

圖2

如圖3 所示，當(dāng)選擇“裁在角上”的裁切方法時(shí)，剩余圖形的面積會(huì)減少，周長保持不變。這是因?yàn)檫@樣裁，有兩條邊變短，但產(chǎn)生了兩條新的“邊”，而這兩條新的“邊”的長度正好是原來兩條邊變短的長度，因此，剩余圖形周長不變，裁掉幾格，面積就減小幾平方厘米。

圖3

如圖4 所示，當(dāng)選擇“裁在邊上”的裁切方法時(shí)，剩余圖形的面積會(huì)減少，周長變大。這是因?yàn)檫@樣裁，原來的一條邊變短，但會(huì)產(chǎn)生三條新的“邊”，三條新“邊”中的一條“邊”的長度等于變短的那條邊變短的長度，其他兩條“邊”是新產(chǎn)生的，所以剩余圖形周長變大，裁掉幾格，面積就減少幾平方厘米。

圖4

5.得出結(jié)論

從上述論證中可以得出選擇不同裁切方法下剩余圖形的周長和面積隨裁掉的方格數(shù)變化的規(guī)律：（1）“一裁到底”時(shí)，剩余圖形的周長和面積都變小，裁的方格數(shù)越多，面積越??；（2）“裁在角上”時(shí)，剩余圖形的周長不變，面積變小，裁的方格數(shù)越多，面積越??；（3）“裁在邊上”時(shí)，剩余圖形的周長變大，面積變小，裁的方格數(shù)越多，面積越小。

因此，對于教師提出的第三個(gè)問題，學(xué)生明白：要想獲得一個(gè)“周長不變”的圖形，就必須選擇“裁在角上”；要想剩余圖形“面積最小”，就要盡可能多地裁。學(xué)生不斷嘗試，很快就得出了“周長不變，面積最小”的圖形（如圖5）。

圖5

三、研究反思

1.為學(xué)生提供經(jīng)歷推理論證全過程的機(jī)會(huì)

為了學(xué)生有完整的數(shù)學(xué)推理論證體驗(yàn)，教師需要在整個(gè)教學(xué)過程中穿插不同形式的教學(xué)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的思維，引導(dǎo)他們通過合理的推理來解決問題。

2.為學(xué)生提供找出論據(jù)的空間

在整個(gè)課堂教學(xué)過程中，教師需要以學(xué)生為主體，對教學(xué)中產(chǎn)生的一些階段性問題，可以讓學(xué)生依靠自己的獨(dú)立思考及探究完成。教師將自身定位為一個(gè)引導(dǎo)者，在課堂上適時(shí)地為學(xué)生提供幫助，最大限度激發(fā)學(xué)生的潛力。

3.為學(xué)生提供推理所需的過渡性載體

小學(xué)生的思維具有具象化特征，教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)提供實(shí)物學(xué)具，幫助學(xué)生深入探究問題。另外，教師需充分發(fā)揮自身的教學(xué)引導(dǎo)作用，向?qū)W生傳授溯因、歸納等推理理念，讓學(xué)生掌握必要的邏輯推理方法。

四、研究總結(jié)

要想實(shí)現(xiàn)對學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力的培養(yǎng)，可以從以下幾個(gè)方面著手。

1.引入實(shí)際問題

從學(xué)生的生活實(shí)際出發(fā)，激發(fā)起學(xué)生對問題的探究興趣。

2.使用圖形教具

圖形或者實(shí)物學(xué)具可以幫助學(xué)生更加形象直觀地理解問題，促進(jìn)其具象思維與抽象思維的共同發(fā)展，從而增強(qiáng)他們的邏輯分析及推理能力。

3.開展分步教學(xué)

可將問題拆分成更小、更容易理解的部分，借助深入淺出的方式引導(dǎo)學(xué)生逐步推理并解決問題，從而培養(yǎng)邏輯推理能力。

4.組織合作討論

發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主體作用，利用學(xué)生相互討論來實(shí)現(xiàn)不同思維的相互碰撞，最終提升學(xué)生的思維判斷力。

5.教師適時(shí)介入

教師對學(xué)生有著非常重要的引導(dǎo)與啟發(fā)作用，教師需適時(shí)地介入學(xué)生的討論，給予學(xué)生必要的幫助并啟發(fā)其思維，這對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力有著很大的幫助。

6.注重反饋評估

教師及時(shí)評估學(xué)生的推理過程，并與學(xué)生交流，才能了解他們的理解程度和思維發(fā)展情況，方便開展下一步教學(xué)工作。