生問(wèn)引學(xué)：學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生，思維切實(shí)提升
——“分?jǐn)?shù)與除法”教學(xué)創(chuàng)新的探索與思考

浙江杭州市奧體實(shí)驗(yàn)小學(xué)（310051） 竺柏明

浙江杭州市高教園小學(xué)（311403） 童 欣

【課前之思】

人教版教材將“分?jǐn)?shù)與除法”編排在五年級(jí)下冊(cè)。從教材呈現(xiàn)的內(nèi)容（如圖1）來(lái)看，本課是借助兩個(gè)關(guān)于除法的實(shí)際問(wèn)題，揭示分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，使學(xué)生不僅能理解分?jǐn)?shù)表示部分與整體的關(guān)系（即“份數(shù)”定義），還能理解分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)整數(shù)相除的商（即“商”定義），從而深化和擴(kuò)展對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解。

圖1 “分?jǐn)?shù)與除法”教材內(nèi)容

根據(jù)新的課程理念，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題是培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑精神和批判性思維的重要方式，這也是值得追求的數(shù)學(xué)課程目標(biāo)。因此，筆者建議將學(xué)生提出的問(wèn)題納入教學(xué)中，以激發(fā)學(xué)生深入探究和全面歸納的興趣。這將為他們提供發(fā)展推理意識(shí)的絕佳機(jī)會(huì)，而推理正是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課程標(biāo)準(zhǔn)》）所強(qiáng)調(diào)的最重要的數(shù)學(xué)思維之一。

也許有人會(huì)擔(dān)心，這樣的教學(xué)是否會(huì)涉及假分?jǐn)?shù)？（在人教版教材中，假分?jǐn)?shù)通常會(huì)在后面的課程中介紹，而不是通過(guò)兩數(shù)相除引入）筆者認(rèn)為這種擔(dān)憂(yōu)是不必要的，因?yàn)椤墩n程標(biāo)準(zhǔn)》鼓勵(lì)教師“要整體分析數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)和學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，合理整合教學(xué)內(nèi)容”。假分?jǐn)?shù)的本質(zhì)是為了表示被除數(shù)大于除數(shù)時(shí)的商，而這節(jié)課正好介紹了兩個(gè)整數(shù)相除的商可以用分?jǐn)?shù)表示。因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中產(chǎn)生“被除數(shù)大于或等于除數(shù)時(shí)，商會(huì)如何表示”的疑問(wèn)時(shí)，正是引入假分?jǐn)?shù)的合適時(shí)機(jī)。（北師大版教材采用了先教假分?jǐn)?shù)再教分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系的順序編排教學(xué)內(nèi)容）

根據(jù)以上思考，筆者進(jìn)行了多次嘗試，最終制訂了可行的教學(xué)方案。

【課堂實(shí)踐】

一、課題引思，明確方向

1.揭示課題，引發(fā)疑問(wèn)

師：一起來(lái)讀一下課題。讀完課題，你有什么疑問(wèn)？

生1：分?jǐn)?shù)是一種數(shù)，除法是一種運(yùn)算，它們有關(guān)系嗎？

生2：分?jǐn)?shù)怎么會(huì)與除法有關(guān)系呢？

師：今天我們就來(lái)研究它們的關(guān)系。

2.生成素材，初步感知

師（引導(dǎo)學(xué)生回憶學(xué)過(guò)的分?jǐn)?shù)和除法，并在黑板上寫(xiě)下五六個(gè)例子）：你能發(fā)現(xiàn)哪個(gè)分?jǐn)?shù)與哪道除法有關(guān)系嗎？

生4：我可以用分餅來(lái)解釋。把1 個(gè)餅平均分給3個(gè)人，每人就得個(gè)餅。

師：對(duì)，把1 個(gè)餅平均分給3 個(gè)人，可以用除法算式1÷3，結(jié)果是多少呢？

圖2

[設(shè)計(jì)意圖：把課題作為學(xué)習(xí)素材，在適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)下，學(xué)生自然地產(chǎn)生疑問(wèn)，產(chǎn)生探索知識(shí)的欲望?；仡櫯f知識(shí)能喚起學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)基本含義的記憶，同時(shí)，使用教具引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)1 個(gè)餅的就是個(gè)餅，這為后續(xù)學(xué)生的分析和表達(dá)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。］

二、逐層探究，自主釋問(wèn)

1.加深感知，初步歸納

師：分?jǐn)?shù)與除法有什么關(guān)系呢？不著急，通過(guò)一個(gè)例子就下結(jié)論，太倉(cāng)促了。我們繼續(xù)研究。如果把3 個(gè)餅平均分給4 個(gè)人，每人分到幾個(gè)餅？算式怎么列？它的商能用分?jǐn)?shù)表示嗎？在紙上畫(huà)一畫(huà)、寫(xiě)一寫(xiě)你的想法。

生2：3 個(gè)餅都平均分成4 份，一共就是12 份，平均分給4 個(gè)人，每人分到3 份，因?yàn)槊糠菔莻€(gè)餅，所以3份就是個(gè)餅。

師：同學(xué)們的研究過(guò)程很精彩，雖然方法不同，但得到結(jié)果是一致的，也就是3÷4 的商是。我們可以用最基本的思路再來(lái)分析一遍。（出示圖3）

圖3

師：現(xiàn)在有兩個(gè)例子了。你覺(jué)得分?jǐn)?shù)與除法到底有什么關(guān)系？

生3：我發(fā)現(xiàn)被除數(shù)就是分?jǐn)?shù)里的分子，除數(shù)就是分?jǐn)?shù)里的分母。

師：你說(shuō)的意思能用圖表示嗎？（引導(dǎo)學(xué)生在板書(shū)的算式中連線(xiàn)，如圖4）

圖4

師：好像的確如此！再試一個(gè)算式“2÷5”。

[設(shè)計(jì)意圖：有了前面分餅的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生能比較順利地通過(guò)畫(huà)一畫(huà)、分一分來(lái)獨(dú)立研究3÷4 的商。經(jīng)過(guò)教師引導(dǎo)，學(xué)生進(jìn)行了首次歸納，初步發(fā)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。］

2.觀察思考，提出問(wèn)題

師：愛(ài)動(dòng)腦筋的同學(xué)心里面一定產(chǎn)生了一些疑問(wèn)吧！請(qǐng)說(shuō)一說(shuō)。

（給學(xué)生思考時(shí)間）

生5：被除數(shù)大于除數(shù)的除法還是這樣嗎？

生6：被除數(shù)等于除數(shù)的時(shí)候呢？

生7：整除的時(shí)候商也能用分?jǐn)?shù)表示嗎？

……

師：學(xué)習(xí)就是要這樣。在看似得到結(jié)論的時(shí)候，還能有質(zhì)疑的精神，能勇敢地提問(wèn)，這不但需要智慧，還是一種了不起的能力。

[設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生看似已經(jīng)歸納推理出了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，但不是很確定，更多的是簡(jiǎn)單盲從或想當(dāng)然的心態(tài)。因此，教師在此處開(kāi)啟一個(gè)提問(wèn)的“窗口”，鼓勵(lì)學(xué)生深入思考，從而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并勇敢提出疑問(wèn)，進(jìn)而形成批判性思維。］

3.再度探究，深刻感知

師：除法算式5÷4等于幾？

（因?yàn)槌霈F(xiàn)了分子比分母大的新情況，所以教師和學(xué)生一起借助教具將整個(gè)過(guò)程進(jìn)行梳理，如圖5所示）

圖5

生10：我的方法跟他的不一樣，5 個(gè)餅平均分給4 個(gè)人，可以每個(gè)人先分到1 個(gè)，剩下的1 個(gè)餅再平均分成4 份，每人又得到個(gè)，所以每個(gè)人就是1個(gè)還多個(gè)。

師：雖然生10 的分法不同，但結(jié)果和生9 的是一樣的——1個(gè)餅里面有個(gè)餅，再加個(gè)餅，也就是個(gè)。

……

師：剛才有同學(xué)問(wèn)“被除數(shù)等于除數(shù)的時(shí)候，這個(gè)算法是否成立”，誰(shuí)來(lái)舉個(gè)例子說(shuō)說(shuō)看？

生11：5÷5。

4.概括歸納，得到結(jié)論

師：我們已經(jīng)研究了很多例子，有被除數(shù)小于除數(shù)的，有被除數(shù)大于除數(shù)的，還有被除數(shù)等于除數(shù)的，三種不同的情況卻有相同的結(jié)論。對(duì)于分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，你能用一個(gè)式子簡(jiǎn)約地表示嗎？

師：也可以用字母表達(dá)，寫(xiě)成a÷b=，當(dāng)然，這里的b不能等于0。

[設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)學(xué)生提出的問(wèn)題，教師組織學(xué)生深度探究。學(xué)生通過(guò)研究被除數(shù)小于除數(shù)、被除數(shù)大于除數(shù)、被除數(shù)等于除數(shù)的除法與分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，將前面不完全歸納得出的結(jié)果依次進(jìn)行檢驗(yàn)，從而在完全歸納中得出結(jié)論，深刻地建構(gòu)了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，并切實(shí)地感受到了完全歸納思想方法的實(shí)用性。］

三、知識(shí)運(yùn)用，加深理解

1.鞏固練習(xí)，體會(huì)價(jià)值

師：我們歸納得出了分?jǐn)?shù)與除法的這個(gè)關(guān)系有什么用呢？一起來(lái)看大家之前寫(xiě)的這些除法算式，它們的商分別是多少呢？

師：看了這些結(jié)果，你有什么感受？

生2：用分?jǐn)?shù)表示除法的結(jié)果太簡(jiǎn)單了！

師：兩個(gè)整數(shù)相除的商可以用分?jǐn)?shù)表示，那么你們之前所列舉的分?jǐn)?shù)，它們又分別是哪個(gè)除法算式的商呢？（學(xué)生回答略）

師：看見(jiàn)分?jǐn)?shù)就能想到除法，厲害！

[設(shè)計(jì)意圖：借助課前學(xué)生舉的除法和分?jǐn)?shù)的例子進(jìn)行練習(xí)，素材簡(jiǎn)單，形式靈活，讓學(xué)生能夠很好地感受到所學(xué)知識(shí)的用途，感受到分?jǐn)?shù)的另一個(gè)來(lái)源。］

2.問(wèn)題延伸，學(xué)法總結(jié)

師：你還有什么疑問(wèn)嗎？

生3：被除數(shù)或除數(shù)是小數(shù)的時(shí)候也是這樣的關(guān)系嗎？

生4：分?jǐn)?shù)除法的時(shí)候也會(huì)這樣嗎？

……

師：這些問(wèn)題又能引發(fā)我們進(jìn)一步思考。在學(xué)習(xí)中會(huì)提問(wèn)太重要了，希望同學(xué)們能保持這樣的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

【課后有感】

用以上思路執(zhí)教的“分?jǐn)?shù)與除法”不但讓人眼前一亮，課堂的效果也令人十分滿(mǎn)意。這節(jié)課的創(chuàng)新突破之處，主要就是“學(xué)生提問(wèn)、以問(wèn)引學(xué)”促成了學(xué)習(xí)的真實(shí)發(fā)生和思維的切實(shí)提升。

一、自主開(kāi)展提問(wèn)、釋問(wèn)等活動(dòng)，學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生

整個(gè)課程可以看作是由學(xué)生的提問(wèn)、釋問(wèn)（即探究問(wèn)題和解決問(wèn)題）等活動(dòng)串聯(lián)而成的。學(xué)生的提問(wèn)分為三輪，每一輪的提問(wèn)都是學(xué)生真實(shí)思考的表現(xiàn)，所提出的問(wèn)題都激勵(lì)了學(xué)生主動(dòng)地探究和解決問(wèn)題，解決問(wèn)題后又引發(fā)新的問(wèn)題……學(xué)習(xí)在這樣的提問(wèn)、釋問(wèn)中真實(shí)發(fā)生，深入發(fā)展。例如，課堂一開(kāi)始的提問(wèn)激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生明確了探究方向；探究?jī)蓚€(gè)例題后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中隱含的關(guān)系，此時(shí)提出更深入的問(wèn)題，自主探究其他類(lèi)型的除法，通過(guò)三種類(lèi)型的除法，正式構(gòu)建了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，解決了之前的問(wèn)題。學(xué)生自己提問(wèn)、自己探究、自己解決問(wèn)題，學(xué)習(xí)活動(dòng)在學(xué)生獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上展開(kāi)。這樣的課堂讓學(xué)生興趣高漲，積極參與，學(xué)習(xí)活動(dòng)生動(dòng)而具有鮮明的特色。

二、充分經(jīng)歷完全歸納等過(guò)程，思維切實(shí)提升

本課的最大特色是將教材上的不完全歸納改為完全歸納，從而建立了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。這么做的原因是推理包括合情推理和演繹推理兩種，小學(xué)生主要接觸到的是合情推理中的不完全歸納推理。然而，隨著年齡的增長(zhǎng)和理性思維的發(fā)展，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生疑問(wèn)：“其他例子也是這樣嗎？”或“為什么都是這樣的呢？”這些疑問(wèn)表明學(xué)生的思維已經(jīng)邁向了更高的水平。在這個(gè)時(shí)候引入演繹推理是適時(shí)的，它有助于學(xué)生思維水平的提升。

從本課可以看出，學(xué)生通過(guò)研究?jī)蓚€(gè)除法算式來(lái)歸納出結(jié)論時(shí)，伴隨的是問(wèn)題的出現(xiàn)，如“被除數(shù)大于除數(shù)和被除數(shù)等于除數(shù)的情況是否也是如此？”這類(lèi)問(wèn)題反映了學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，學(xué)生渴望對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)研究，從而實(shí)現(xiàn)完全歸納。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生經(jīng)歷了完全歸納的思維過(guò)程，從而豐富了對(duì)推理的體驗(yàn)（完全歸納推理是演繹推理的一種），邏輯思維和思考能力也得到了有效的鍛煉。

此外，學(xué)生在課堂中多次發(fā)現(xiàn)并提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這也促進(jìn)了他們批判性思維和創(chuàng)造性思維的發(fā)展和鍛煉。這與《課程標(biāo)準(zhǔn)》的強(qiáng)調(diào)是一致的。

通過(guò)對(duì)這節(jié)課的研究，筆者再次認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該抓住知識(shí)的育人價(jià)值，重視學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題并自主探究，以問(wèn)題為引導(dǎo)使學(xué)生更加主動(dòng)和深入地學(xué)習(xí)。這種教學(xué)方法有助于學(xué)生更深刻地建構(gòu)知識(shí)，更有效地提升思維水平。