對一道圓錐曲線問題的探究與拓廣

郭永生

? 山東省菏澤市定陶區(qū)第一中學(xué)

一套成功的試卷總是不乏好題,立意新穎,典型突出,亮點十足,引人注目.這類試題往往知識融合自然,考點科學(xué)交匯,具有良好的教研價值,倍受眾多數(shù)學(xué)愛好者青睞,非常值得我們深入思考、分析與探究.

1 問題呈現(xiàn)

(1)求軌跡E的方程.

(2)設(shè)過點A(0,-1)且斜率為k1的動直線與軌跡E交于C,D兩點,且點B(0,2),直線BC,BD分別交圓x2+(y-1)2=1于異于點B的點P,Q,設(shè)直線PQ的斜率為k2,問是否存在實數(shù)λ,使得k2=λk1成立?若存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由.

2 問題解答

上述問題的解答如下.

(2)由題意知,直線CD的方程為y=k1x-1.設(shè)C(x1,k1x1-1),D(x2,k1x2-1).

將y=k1x-1與x2+2y2-8=0聯(lián)立,消去y,得

設(shè)直線PQ的方程為y=k2x+m,P(x3,k2x3+m),Q(x4,k2x4+m).

3 問題探究

經(jīng)過初步探究,發(fā)現(xiàn):

設(shè)M(dy1+t,y1),N(dy2+t,y2),則

特別地,可得以下結(jié)論:

當TM⊥TN時,則直線AB恒過點(0,0).

(注:上述e為相應(yīng)曲線的離心率.)

4 拓廣探索

再進一步深入研究拋物線,發(fā)現(xiàn)類似性質(zhì):

特別地:

(1)當TM⊥TN時,時,直線MN恒過定點(2p+x0,-y0);

(2)當x0=y0=0,且TM⊥TN時,直線MN恒過定點(2p,0).

5 鏈接高考

(1)求C的方程;

(2)點M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足.證明:存在定點Q,使得|DQ|為定值.

圖1

當下高中數(shù)學(xué)教學(xué)面臨新教材、新課程、新高考所引領(lǐng)的三新環(huán)境,單純從學(xué)科教與學(xué)的角度來看,學(xué)習探究應(yīng)該成為適應(yīng)新時代下教與學(xué)的新常態(tài),特別是像學(xué)習圓錐曲線等一類難度較大的內(nèi)容時,教師更有必要下功夫思考與探究.圓錐曲線的性質(zhì)十分豐富,可供探究的方面十分廣泛,以上筆者所探討的這些只不過是圓錐曲線性質(zhì)中的冰山一角,滄海一粟,期盼早日見到新時代同行們更多、更好的教學(xué)研究成果,以期同學(xué)習、共進步!Z