基于普氏理論的圓形隧道豎向土壓力計算方法

邱岳峰

(中國電建集團(tuán)中南勘測設(shè)計研究院有限公司,湖南 長沙 410014)

20世紀(jì)80年代以來,伴隨著我國城市化進(jìn)程的持續(xù)推進(jìn)和交通需求的日益增長,以公路隧道、鐵路隧道為典型代表的中國隧道及地下工程事業(yè)迎來了蓬勃發(fā)展。歷經(jīng)40余年的快速發(fā)展,現(xiàn)如今,我國已是世界上隧道及地下工程數(shù)量最多、發(fā)展速度最快、工程地質(zhì)環(huán)境最復(fù)雜、斷面及結(jié)構(gòu)形式最繁多的國家。據(jù)統(tǒng)計,截至2022年底,我國隧道總里程已近5萬千米[1],領(lǐng)先于世界其他國家。

隧道及地下工程破土開挖后,圍巖內(nèi)部將形成一個自由變形的空間,圍巖朝著該空間位移,引起圍巖應(yīng)力重分布和變形,并對隧道支護(hù)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生作用。由此可見,隧道圍巖壓力與變形計算是支護(hù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理設(shè)計和隧道安全施工的前提。長期以來,隧道圍巖壓力與變形計算受到國內(nèi)外研究人員的廣泛關(guān)注[2-4]。當(dāng)前,隧道豎向土壓力的理論計算方法主要包括3種,即全土柱理論[5]、普氏壓力拱理論[6]以及太沙基松弛土壓力理論[7]。其中,全土柱理論并沒有考慮到土體的抗剪強(qiáng)度,其假定豎向土壓力為全部覆土重量;后面兩種土壓力計算理論則考慮了土體的抗剪強(qiáng)度和潛在滑移面,更符合隧道工程實(shí)際特點(diǎn)。僅從計算公式上來看,普氏壓力拱理論較太沙基松弛土壓力理論要簡潔得多,應(yīng)用起來較為方便,其自1907年由俄羅斯學(xué)者普羅托奇雅闊諾夫首次提出以來,被諸多學(xué)者加以應(yīng)用和改進(jìn)[8-10]。

盡管普氏壓力拱理論相關(guān)研究成果頗豐,但值得注意的是,普氏壓力拱理論最初是普羅托奇雅闊諾夫在研究礦山巷道支護(hù)荷載時提出的,而礦山巷道的斷面形式多為馬蹄形,對于圓形隧道,該如何應(yīng)用普氏壓力拱理論計算豎向土壓力,當(dāng)前鮮有人討論。為此,本文基于普氏壓力拱理論,對松散地層隧道豎向土壓力進(jìn)行了分析論證,在此基礎(chǔ)上,結(jié)合圓形隧道開挖后土體潛在滑裂面的實(shí)際情況,對經(jīng)典普氏理論進(jìn)行了合理的改進(jìn),推導(dǎo)并建立了適用于圓形隧道條件下的隧道豎向土壓力的計算公式,并通過一個具體的算例,與經(jīng)典普氏壓力拱理論計算結(jié)果進(jìn)行對比分析。

1 經(jīng)典普氏壓力拱理論

俄羅斯學(xué)者普羅托奇雅闊諾夫于1907年提出圍巖分類,并給出了松散地層隧道圍巖壓力的計算方法,即普氏壓力拱理論,又稱普氏平衡拱理論。該理論認(rèn)為,地下硐室開挖后,由于圍巖應(yīng)力的重新分布,在硐室上方將形成一個拋物線形狀的壓力拱,也即平衡拱;與此同時,在硐室兩側(cè)壁處,沿與側(cè)壁夾角為45°-φ/2的方向上,也即與水平方向夾角為45°+φ/2的方向上,將形成兩個滑動面;該平衡拱與兩滑動面所形成的范圍本質(zhì)上就是圍巖可能發(fā)生破壞的范圍,該范圍內(nèi)圍巖的重量即硐室頂部所受到的圍巖壓力,如圖1所示。

普羅托奇雅闊諾夫通過分析平衡拱拱軸線的靜力平衡以及拱腳處的力矩平衡,推導(dǎo)出硐室頂部圍巖豎向壓力的表達(dá)式:

(1)

其中,σv為硐室頂部豎向壓力;γ為圍巖容重;h為平衡拱高度;B為平衡拱半跨度;b為硐室半跨度;h0為硐室高度;φ為圍巖計算摩擦角;f為普氏圍巖堅固系數(shù)(類似摩擦系數(shù)),可按式(2)計算:

(2)

其中,Rc為圍巖單軸飽和抗壓強(qiáng)度;φ為圍巖內(nèi)摩擦角;c為圍巖黏聚力。

由式(1)和式(2)不難看出,采用普氏壓力拱理論計算豎向壓力,關(guān)鍵是要先確定平衡拱寬度2B。

2 普氏壓力拱理論的分析與改進(jìn)

2.1 圓形隧道平衡拱半跨度B計算分析

根據(jù)前面的敘述可知,普氏壓力拱理論的基本假定之一是硐室開挖后,硐室側(cè)壁兩側(cè)滑動面與硐室側(cè)壁(即豎直方向)的夾角為45°-φ/2。由于硐室斷面形狀為馬蹄形,側(cè)壁豎直,從圖1可以直觀地看出,側(cè)壁兩側(cè)滑動面從平衡拱拱腳處延伸至側(cè)壁底部。

對于圓形隧道而言,其開挖斷面為圓形,假設(shè)其半徑為R,若直接采用普氏理論計算隧道頂部豎向土壓力,即根據(jù)圖1,當(dāng)?shù)叵马鲜覕嗝嫘螤顬閳A形時,可取硐室半跨度b=R,硐室高度h0=2R,則根據(jù)式(1)可求得圓形隧道平衡拱的半跨度B為:

(3)

本文在研究分析普氏壓力拱理論時,通過分析圓形隧道平衡拱的范圍,發(fā)現(xiàn)采用式(3)直接計算圓形隧道的平衡拱半跨度B時,將出現(xiàn)較為明顯的誤差。這是因?yàn)?對于圓形隧道而言,由于其側(cè)壁并非豎直,當(dāng)隧道外圍巖處于極限平衡狀態(tài)時,兩個滑動面應(yīng)產(chǎn)生于與側(cè)壁相切并與水平方向呈45°+φ/2夾角的兩個方向上,如圖2所示。此時,側(cè)壁兩側(cè)滑動面應(yīng)由平衡拱拱腳處延伸至與隧道側(cè)壁相切的位置,而不是隧道底部。圓形隧道的這種破壞模式得到很多學(xué)者的認(rèn)可,相關(guān)文獻(xiàn)[11-12]有所論述。

此時,根據(jù)圖2所示幾何關(guān)系,可確定圓形隧道平衡拱半跨度B的計算表達(dá)式為:

(4)

2.2 圓形隧道平衡拱高度h計算分析

在分析平衡拱受力時,普羅托奇雅闊諾夫?qū)⑵胶夤霸诠澳_處的受力分解為一個水平推力F′和一個豎向反力N′,如圖3所示,考慮到平衡拱的對稱性,此處僅示意一半。

圖3中,q為由拱軸線上部圍巖自重產(chǎn)生的均布荷載;T為平衡拱拱頂截面的水平推力。由于拱軸線靜力平衡,則圖3中拱軸線所受水平方向、豎直方向上的合力均為0,即:

(5)

同時,由于拱軸線不能承受拉力,因此在拱軸線上任意一點(diǎn),外力的合力矩應(yīng)為零,取拱腳處作為分析點(diǎn),則存在:

(6)

在分析F′和N′時,普羅托奇雅闊諾夫先將F′取為F′=f×N′,后為了安全起見,又將F′取為F′=f×N′/2,最終求得平衡拱的高度計算表達(dá)式為:h=B/f。

本文在分析平衡拱受力時,結(jié)合滑動面的實(shí)際位置,將平衡拱拱腳處的受力分解為一個沿滑動面的摩擦力F和一個垂直于滑動面的支撐力N,如圖4所示。

這樣分解的優(yōu)點(diǎn)是結(jié)合了滑動面,從力學(xué)意義上來講更加清晰直觀。這是因?yàn)樵诠澳_處的圍巖微分單元體,因處于極限平衡狀態(tài),將產(chǎn)生沿滑動面方向向下滑動的趨勢。此時滑動面上的支撐力和摩擦力之間的關(guān)系更易清晰表達(dá)。

類似上述分析,根據(jù)圖4,通過分析平衡拱拱軸線靜力平衡條件可知:

T-Fsinα-Ncosα=0

(7)

qB+Fcosα-Nsinα=0

(8)

其中,α為滑動面與水平方向的夾角,即α=45°+φ/2。

同樣,平衡拱不能承受拉力,則由外力在拱腳處的合力矩為零可知:

(9)

將式(7)除以式(8)可得:

(10)

將式(9)代入式(10)中可得:

(11)

1)對于無黏性土,當(dāng)抗剪強(qiáng)度充分發(fā)揮時,根據(jù)摩爾庫侖強(qiáng)度準(zhǔn)則可知,作用于滑動面上的支撐力N和摩擦力F之間存在如下關(guān)系:

F=N×tanφ

(12)

將式(12)代入到式(11)中可得:

(13)

結(jié)合式(4),式(13),可求得平衡拱高度h的表達(dá)式為:

(14)

依據(jù)α=45°+φ/2可將式(14)進(jìn)一步化簡為:

(15)

其中,θ=π/8+φ/4。

由此求得了無黏性土圓形隧道平衡拱高度h的計算表達(dá)式。

2)對于黏性土或巖石,可借鑒式(2)中關(guān)于f的計算公式,并取f=F/N,聯(lián)立式(4)以及式(13)可求得平衡拱高度h的表達(dá)式為:

(16)

其中,β為與圍巖堅固系數(shù)f有關(guān)的量,且滿足tanβ=f,f仍可按式(2)進(jìn)行計算。

至此,基于以上分析論述,對于無黏性土、黏性土或巖石,采用本文所提出改進(jìn)的普氏壓力拱理論,可求得圓形隧道拱頂豎向壓力的計算表達(dá)式為:

(17)

其中,σv為圓形隧道拱頂豎向壓力;γ為圍巖容重;R為圓形隧道半徑;φ為圍巖摩擦角;α,θ均為中間角度計算參數(shù),并可按下式計算:

(18)

3 算例分析

在論文前述部分,本文在經(jīng)典普氏壓力拱理論的基礎(chǔ)上,通過分析圓形隧道開挖后圍巖內(nèi)滑移面的實(shí)際情況,對無黏性土、黏性土或巖石,分別建立了隧道拱頂豎向壓力的計算表達(dá)式。從表達(dá)式可以看出,對于無黏性土圓形隧道,隧道拱頂豎向壓力僅與隧道半徑和圍巖內(nèi)摩擦角相關(guān),形式較為簡單。這里通過一個具體的算例,對比分析無黏性土圓形隧道條件下,分別采用經(jīng)典普氏壓力拱理論以及本文改進(jìn)的普氏壓力拱理論所得計算結(jié)果之差異。對于無黏性土圓形隧道,根據(jù)本文前述分析,分別直接采用經(jīng)典普氏壓力拱理論以及本文改進(jìn)的計算方法,可求得相應(yīng)隧道拱頂豎向土壓力的計算表達(dá)式如下:

(19)

式中各計算參數(shù)的物理意義同前。

不失一般性,在式(19)中,取γ=20 kN/m3,R=5 m,可作出兩種計算方法下,隧道拱頂豎向土壓力與土體內(nèi)摩擦角的關(guān)系曲線,如圖5所示。

從圖5中可以看出,兩種計算方法下,隧道拱頂豎向土壓力均隨著土體內(nèi)摩擦角的增大而減小,這是因?yàn)殡S著內(nèi)摩擦角的增大,隧道兩側(cè)滑移面與水平線的交角增大,滑移面逐漸向豎直方向偏轉(zhuǎn),由此隧道兩側(cè)土體發(fā)生破壞的范圍減小,相應(yīng)的平衡拱的寬度和高度均減小。在圖1,圖2中,逐漸增加土體內(nèi)摩擦角,并重新繪制平衡拱示意圖,也能直觀地發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律。

相較于直接采用經(jīng)典普氏壓力拱理論,本文所提計算方法中豎向土壓力與內(nèi)摩擦角的關(guān)系曲線更為平緩。取φ=0°,采用本文所提計算方法,豎向土壓力約為120 kPa,而經(jīng)典普氏壓力拱理論則無法計算,豎向土壓力此時趨于+∞;取φ=20°,采用本文計算方法,所得豎向土壓力約為67 kPa,相對應(yīng)平衡拱的高度為3.35 m,采用經(jīng)典普氏壓力拱理論所得豎向土壓力約為660 kPa,相對應(yīng)平衡拱的高度為32 m?？梢园l(fā)現(xiàn),二者計算所得結(jié)果相差近10倍,考慮到隧道半徑僅為5 m,顯然本文計算結(jié)果更為合理、可靠。進(jìn)一步分析圖5可以發(fā)現(xiàn),隨著土體內(nèi)摩擦角的增大,兩種計算方法所得豎向土壓力之間的差值逐漸減小,當(dāng)內(nèi)摩擦角取極限值90°時,二者計算結(jié)果已基本一致。

4 結(jié)論

隧道拱頂豎向壓力的計算是隧道支護(hù)結(jié)構(gòu)設(shè)計的前提和依據(jù),本文以普氏壓力拱理論為基礎(chǔ),結(jié)合圓形隧道開挖后洞身兩側(cè)滑移面的實(shí)際情況,分析了圓形隧道開挖后平衡拱的范圍及受力情況,推導(dǎo)了圓形隧道條件下平衡拱跨度和高度的解析表達(dá)式,并由此分別建立了無黏性土、黏性土或巖石圓形隧道拱頂豎向壓力的計算公式。算例分析表明,相較于直接采用經(jīng)典普氏壓力拱理論,采用本文所提改進(jìn)的計算方法,計算圓形隧道拱頂豎向土壓力所得結(jié)果更為合理。