復(fù)雜載荷作用下梁彎曲的重心插值配點(diǎn)法★

趙曉偉，王守波，李廣惠

(1.山東建筑大學(xué),山東 濟(jì)南 250101; 2.山東省建設(shè)建工(集團(tuán))有限責(zé)任公司第四分公司,山東 濟(jì)南 250014)

0 引言

材料力學(xué)中采用彎矩方程積分法求平面彎曲梁的撓度和轉(zhuǎn)角問(wèn)題。首先建立梁的撓曲線近似微分方程, 進(jìn)行兩次積分運(yùn)算再根據(jù)邊界條件確定積分常數(shù),從而求得撓度方程和轉(zhuǎn)角方程。但是這種方法分析梁的彎曲變形時(shí),需先確定梁的彎矩方程,當(dāng)梁上作用復(fù)雜載荷時(shí),確定梁的彎矩方程變得十分困難[1-3]。載荷方程積分法[4]需要進(jìn)行四次積分運(yùn)算結(jié)合邊界條件才能得到撓度方程。當(dāng)梁上作用復(fù)雜載荷時(shí),載荷方程積分法運(yùn)算過(guò)程煩瑣冗長(zhǎng)。這兩種方法在工程實(shí)際計(jì)算中受到很大的限制。

在實(shí)際工程應(yīng)用中,求解平面彎曲梁撓度和轉(zhuǎn)角問(wèn)題可以看作是微分方程邊值問(wèn)題。目前求解常微分方程的邊值問(wèn)題的方法主要有有限元法和有限差分法[5],這兩種方法的計(jì)算精度取決于對(duì)求解區(qū)域劃分單元的大小。而配點(diǎn)法求解此問(wèn)題不需要?jiǎng)澐謫卧?不需要積分,公式也簡(jiǎn)單,容易編程。配點(diǎn)法主要有擬譜法和微分求積法兩種。擬譜法[6]將未知函數(shù)展開(kāi)為譜函數(shù)的線性組合,這種方法的理論研究還在進(jìn)一步的發(fā)展,在工程技術(shù)人員中應(yīng)用不廣泛。微分求積法[7-8]是將未知函數(shù)在區(qū)間上所有離散點(diǎn)的函數(shù)值的加權(quán)和來(lái)逼近該函數(shù)在某一離散點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)或積分,其權(quán)系數(shù)的確定通常根據(jù)Lagrange多項(xiàng)式在網(wǎng)格點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值給出。因此,離散點(diǎn)不能取得太多,否則Lagrange多項(xiàng)式表示的曲線隨多項(xiàng)式次數(shù)的升高而出現(xiàn)Runge現(xiàn)象,從而產(chǎn)生計(jì)算的不穩(wěn)定性[9-11]。而重心Lagrange插值[12]很好地避免了這些缺點(diǎn)。

采用重心插值配點(diǎn)法就是用重心Lagrange插值多項(xiàng)式求出某一函數(shù)在各個(gè)離散點(diǎn)的微分矩陣,從而可以通過(guò)矩陣的運(yùn)算來(lái)求出常微分方程的解。而材料力學(xué)中梁彎曲問(wèn)題的求解最終也歸結(jié)為在一定的邊界條件和初始條件下的(偏)微分方程(組)的求解,所以,可以把重心插值配點(diǎn)法作為用于材料力學(xué)問(wèn)題的求解的一種數(shù)值方法。本文把重心插值配點(diǎn)法用于平面彎曲梁的撓度問(wèn)題的分析中,計(jì)算結(jié)果精度較高,效果滿意。

1 微分矩陣

(1)

對(duì)g(x)求n階導(dǎo)數(shù),得式(2):

(2)

函數(shù)g(x)在節(jié)點(diǎn)x1,x2,…,xN處的n階導(dǎo)數(shù)表示為式(3):

(3)

式(3)可寫(xiě)成矩陣形式(見(jiàn)式(4)):

g(n)=D(n)g

(4)

對(duì)式(2)求導(dǎo)直接得到一階微分矩陣,通過(guò)下面遞推公式得到高階微分矩陣(見(jiàn)式(5)—式(7)):

(5)

令:

(6)

w(n)=DNg

(7)

于是,對(duì)微分方程的求解就變成對(duì)線性方程組的求解,就線性方程組(7)可以得到未知函數(shù)的離散值。

2 復(fù)雜載荷梁彎曲問(wèn)題

2.1 梁控制方程

細(xì)長(zhǎng)梁(見(jiàn)圖1),承受集度為q(x)的荷載,發(fā)生彈性彎曲,控制方程為:

EIw(4)=q(x)

(8)

其中,E為截面彈性模量;I為截面慣性矩;w為梁的撓度;q(x)為梁的荷載集度。

梁的撓度,記為w=w(x),轉(zhuǎn)角即為梁橫截面對(duì)其原來(lái)位置轉(zhuǎn)過(guò)的角度,記為θ=w′(x)。

圖1所示簡(jiǎn)支梁的邊界條件如式(9)所示:

w(0)=0,w(L)=0,w″(0)=0,w″(L)=0

(9)

因此,圖1任意載荷下的梁的彎曲變形問(wèn)題,就是在邊界條件式(9)下,求解微分方程式(8)邊值問(wèn)題。

2.2 梁彎曲控制方程的重心插值配點(diǎn)法公式

在梁上取N個(gè)節(jié)點(diǎn),則w(4)可用微分矩陣對(duì)N個(gè)節(jié)點(diǎn)值w求導(dǎo)表示,寫(xiě)成矩陣形式見(jiàn)式(10):

(10)

D4w=f

(11)

由式(11)即可求得梁的節(jié)點(diǎn)位移列陣。微分矩陣以及梁節(jié)點(diǎn)位移的計(jì)算,本文都編制Matlab程序來(lái)實(shí)現(xiàn)。

3 數(shù)值算例

算例1:圖2所示簡(jiǎn)支梁AB,梁長(zhǎng)50 cm,高2 cm,寬1 cm,彈性模量為10 GPa,q0=100 N/m,得到梁軸線各節(jié)點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角,與解析解比較如表1所示(選取13個(gè)節(jié)點(diǎn)計(jì)算)。

表1 算例1梁各節(jié)點(diǎn)撓度、轉(zhuǎn)角的解析解與本文解比較

由表1,圖3,圖4可知,承受正弦荷載作用的簡(jiǎn)支梁,劃取13個(gè)節(jié)點(diǎn),用重心插值配點(diǎn)法計(jì)算出的撓度和轉(zhuǎn)角結(jié)果與文獻(xiàn)[4]精確解完全吻合,撓度和轉(zhuǎn)角最大相對(duì)誤差為10-9,充分說(shuō)明了重心插值配點(diǎn)法計(jì)算復(fù)雜載荷受彎梁撓度和轉(zhuǎn)角的可行性和精確性。

算例2:一懸臂梁承受荷載如圖5所示,其他參數(shù)同算例1,得到梁軸線的各節(jié)點(diǎn)撓度、轉(zhuǎn)角,與解析解比較如表2所示(選取12個(gè)節(jié)點(diǎn)計(jì)算)。

表2 算例2梁各節(jié)點(diǎn)撓度、轉(zhuǎn)角的解析解與本文解比較

由表2,圖6,圖7可知,承受余弦荷載作用的懸臂梁,劃取12個(gè)節(jié)點(diǎn),用重心插值配點(diǎn)法計(jì)算出的撓度和轉(zhuǎn)角結(jié)果與文獻(xiàn)[4]精確解完全吻合,撓度和轉(zhuǎn)角最大相對(duì)誤差為10-9～10-8,充分說(shuō)明了重心插值配點(diǎn)法計(jì)算復(fù)雜載荷受彎梁撓度和轉(zhuǎn)角的可行性和精確性。

算例3:一懸臂梁承受荷載如圖8所示,其他參數(shù)同算例1,得到梁軸線的各節(jié)點(diǎn)撓度、轉(zhuǎn)角與解析解比較如表3所示(選取7 個(gè)節(jié)點(diǎn)計(jì)算)。

表3 算例3梁各節(jié)點(diǎn)撓度、轉(zhuǎn)角的解析解與本文解比較

由表3,圖9,圖10可知,承受拋物線荷載作用的簡(jiǎn)支梁,劃取7個(gè)節(jié)點(diǎn),用重心插值配點(diǎn)法計(jì)算出的撓度和轉(zhuǎn)角結(jié)果與文獻(xiàn)[4]精確解完全吻合,撓度和轉(zhuǎn)角最大相對(duì)誤差為×10-14,充分說(shuō)明了重心插值配點(diǎn)法計(jì)算復(fù)雜載荷受彎梁撓度和轉(zhuǎn)角的可行性和精確性。

4 結(jié)論

1)本文方法利用微分矩陣來(lái)求解,可得到非常精確的撓度和轉(zhuǎn)角,非常適用于求解承受復(fù)雜載荷的細(xì)長(zhǎng)梁,更便于求解承受非線性分布荷載彎曲梁。從算例中可以看出,數(shù)值解與精確解完美吻合,驗(yàn)證了重心插值配點(diǎn)法在梁的彎曲變形計(jì)算中的可行性和精確性[14]。該方法不僅有較高的精度,還具有極好的數(shù)值穩(wěn)定性。2)該方法可用于材料力學(xué)彎曲變形課堂教學(xué),可讓學(xué)生借助Matlab語(yǔ)言編程計(jì)算獲得數(shù)值解,并與精確解進(jìn)行對(duì)比,可讓學(xué)生體會(huì)到求解問(wèn)題的多樣性,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和熱情。3)這種方法便于處理邊界支承條件,可以用疊加法也可以用替代法,編制程序時(shí)非常容易實(shí)現(xiàn)邊界條件的施加。且數(shù)學(xué)原理簡(jiǎn)單,容易編制程序,因此在結(jié)構(gòu)分析中,有良好的應(yīng)用前景。