一類擾動脈沖時滯神經網絡系統(tǒng)的指數(shù)反同步

陳潤龍，關開中

（五邑大學 數(shù)學與計算科學學院，廣東 江門 529020）

在過去的幾十年中，人們提出并研究了包括滯后同步[1]、相位同步[2]和指數(shù)同步[3]在內的各種同步問題.然而，在現(xiàn)實生活中，還存在另一類現(xiàn)象，即反同步[4].它指的是驅動系統(tǒng)與響應系統(tǒng)具有幅度相同但方向相反的狀態(tài)向量，因此當反同步現(xiàn)象發(fā)生時，兩系統(tǒng)的信號之和趨近于零.反同步因在通信系統(tǒng)和激光應用等領域中發(fā)揮著重要作用而引起了研究者的關注[4-6].

時滯常存在于信號處理和網絡傳輸?shù)裙こ讨衃7-8].在信號處理系統(tǒng)、計算機網絡等的優(yōu)化控制中，系統(tǒng)的狀態(tài)由于瞬時擾動而在某些時刻發(fā)生突變，即產生脈沖效應[5,9].從所產生效果看，脈沖可分為擾動脈沖和控制脈沖兩類[10-11].如果一個系統(tǒng)本身是穩(wěn)定的，在一定的脈沖作用下仍然能保持穩(wěn)定，則此類問題稱為脈沖擾動問題，相對應的脈沖稱為擾動脈沖[11].一個不穩(wěn)定或穩(wěn)定的系統(tǒng)，在一定的脈沖作用下可變?yōu)橐恢路€(wěn)定、一致漸近穩(wěn)定甚至指數(shù)隱定，則稱此類問題為脈沖控制問題，相對應的脈沖為控制脈沖[11].特別值得一提的是，在很多實際系統(tǒng)中，脈沖和時滯是同時存在的.近年來，對同時具有時滯和脈沖系統(tǒng)的同步研究取得了較豐富的成果[7-8]，對具有時滯或脈沖系統(tǒng)的反同步研究也取得了一定的進展[6]，但對于同時具有脈沖和時滯系統(tǒng)的反同步研究則比較少.文獻[5]研究了在脈沖作用下時滯混沌神經網絡的全局指數(shù)反同步問題，建立了驅動-響應時滯神經網絡系統(tǒng)指數(shù)反同步的充分條件，但文中所考慮的脈沖是控制脈沖.受文獻[5，7-8]的啟發(fā)，本文通過構造Lyapunov 泛函，將研究在擾動脈沖下具有常時滯的神經網絡的全局指數(shù)反同步問題.

1 模型與預備知識

考慮以下具有常時滯的神經網絡系統(tǒng)[8]：

為研究反同步問題，把系統(tǒng)（1）作為驅動系統(tǒng)，并構造如下具有脈沖的響應系統(tǒng)：

注1根據(jù)條件1，可以得到以下結論：

這表明，系統(tǒng)（3）在初始條件e（s）=?（s）=0時，存在零解e（t）=0.

注2根據(jù)式（4），容易得到：

定義2[5]若系統(tǒng)（3）的零解是全局指數(shù)穩(wěn)定的，則稱驅動系統(tǒng)（1）和響應系統(tǒng)（2）是全局指數(shù)反同步的.

2 主要結果

定理1假設條件1 成立.若存在正定矩陣P，常數(shù)α＞0,λ＞0和βk≥1（k∈N），使得

成立，則驅動系統(tǒng)（1）和響應系統(tǒng)（2）是全局指數(shù)反同步的.

證明對于方程（3），構造Lyapunov 泛函：

根據(jù)式（5）以及不等式：2xTy≤ηxTx+η-1yTy，其中η＞0,x,y∈Rn，有：

由式（9～12）得到：

根據(jù)式（8）和（13），有：

對任意的t∈（tk-1,tk]，對式（14）從tk-1到t積分得到：

當t=tk,k∈N，根據(jù)式（6）以及不等式：λmin（P-1Q）xTPx≤xTQx≤λmax（P-1Q）xTPx，其中P為n階正定矩陣，Q為n階對稱矩陣，x∈Rn，有：

根據(jù)數(shù)學歸納法，不難證明：

其中β0=1.由式（7）和（17）可得：

另一方面，根據(jù)所構造的Vi（t）（i=1,2），容易看出：

因此，由式（18～20）可以得到：

根據(jù)定義1，系統(tǒng)（3）的零解是全局指數(shù)穩(wěn)定的，其指數(shù)收斂階為這樣，由定義2 可知，驅動系統(tǒng)（1）和響應系統(tǒng)（2）是全局指數(shù)反同步的.定理證畢.

注3從不等式（6）可以看出，定理1 是從脈沖擾動的角度提出的.這為我們提供了在一定擾動脈沖擾動下，系統(tǒng)仍能保持指數(shù)反同步的條件.特別地，當去掉驅動系統(tǒng)（2）中的脈沖，即Ik=0時，仿照定理1 的證明方法可以建立推論1.

推論1若存在一個常數(shù)λ＞0使式（8）成立，那么驅動系統(tǒng)（1）和響應系統(tǒng)（2）在無脈沖情況下（即Ik=0）是全局指數(shù)反同步的.

3 數(shù)值算例

例考慮以下具有常時滯的驅動-響應神經網絡系統(tǒng)：

驅動系統(tǒng)（21）和響應系統(tǒng)（22）之間的誤差系統(tǒng)為：

這表明不等式（8）成立.

若在式（22）中沒有脈沖作用，即Ik=0，根據(jù)推論1可以知道驅動系統(tǒng)（21）和響應系統(tǒng)（22）是反同步的，其狀態(tài)如圖1所示.

圖1 系統(tǒng)（21）和系統(tǒng)（22）在無脈沖情況下的狀態(tài)軌跡

設計一個脈沖方案（tk,Ik）k∈N來保持系統(tǒng)的反同步.選取脈沖矩陣Ik=diag {0.13,0.13}，βk=1.28，tk=0.5,k∈N 可以驗證：

因此，滿足定理1的所有條件.這表明系統(tǒng)（23）是全局指數(shù)穩(wěn)定，即驅動系統(tǒng)（21）和響應系統(tǒng)（22）是全局指數(shù)反同步的.反同步誤差e1（t）,e2（t）的數(shù)值模擬如圖2所示.

圖2 誤差系統(tǒng)（23）在 Ik=diag {0.13,0.13}的狀態(tài)軌跡