基于非線性干擾觀測器的模糊自適應(yīng)滑?？刂?/h1>

2023-12-14 12:16:22馬振九夏春明趙彤彤曹港生康高峰

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關(guān)鍵詞：外骨骼觀測器滑模

馬振九,夏春明,2,趙彤彤,章 悅,曹港生,康高峰

(1.華東理工大學(xué)機械與動力工程學(xué)院,上海 200237; 2.上海工程技術(shù)大學(xué)機械與汽車工程學(xué)院,上海 201620;3.南通大學(xué)機械工程學(xué)院,江蘇 南通 226019)

0 引言

據(jù)《中國卒中報告2019》最新數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示,卒中已經(jīng)超越心血管疾病成為我國致死致殘的首要原因,并呈現(xiàn)年輕化的趨勢[1]。偏癱患者需要對患肢進(jìn)行康復(fù)訓(xùn)練。傳統(tǒng)的康復(fù)訓(xùn)練會耗費醫(yī)師大量時間和精力[2]?？祻?fù)外骨骼機器人作為結(jié)合了康復(fù)醫(yī)學(xué)、智能制造與人工智能等前沿科技的產(chǎn)物,為解決當(dāng)下存在的問題提供了新的思路,已成為研究熱點[3]。

在康復(fù)外骨骼機器人的相關(guān)研究中,控制是重要的研究內(nèi)容。控制效果的優(yōu)劣直接影響著康復(fù)訓(xùn)練的效果。穿戴式上肢康復(fù)外骨骼機器人各自由度之間高度耦合,具有很強的非線性,并受到建模誤差、傳感器信號誤差、內(nèi)外界干擾等多種因素的影響。這給精確跟蹤期望運動軌跡帶來了極大的挑戰(zhàn)[4]。針對這些問題,近年來國內(nèi)外的學(xué)者也提出了不同的解決方案。

初期患者肌肉殘余力量不足,需要外骨骼提供完全的助力。此時宜采用軌跡跟蹤的被動控制方法,由外骨骼帶動患側(cè)完成醫(yī)師規(guī)劃好路徑的康復(fù)動作。目前,被動控制策略主要針對比例積分微分(proportional integral differential,PID)控制[5]、滑模控制[6]和模糊控制[7]等方法進(jìn)行研究。Ahmed等[8]設(shè)計了名為SREx的七自由度上肢外骨骼機器人,采用PID控制器為不同受試者提供各種上肢鍛煉方法。該方法控制結(jié)構(gòu)簡單、參數(shù)固定,如果考慮系統(tǒng)非線性不確定性,控制效果會下降。Riani等[9]提出了1種終端滑?？刂撇呗?。該策略的跟蹤誤差可以在有限時間收斂至零,具有極強的魯棒性;此外,通過Lyapunov證明了其穩(wěn)定性和收斂性,但抖振問題仍然存在。Li等[10]設(shè)計了模糊控制算法,將摩擦項和干擾項合并之后進(jìn)行逼近,但外骨骼機器人系統(tǒng)復(fù)雜,所設(shè)計的模糊規(guī)則過多會導(dǎo)致計算量過大,不利于實際控制方法的實現(xiàn)。

基于上述研究,本文針對外骨骼機器人存在多種干擾、控制系統(tǒng)抗干擾性能差、傳統(tǒng)滑?？刂贫墩褫^大以及軌跡追蹤精確性低的問題,提出了1種基于干擾觀測器的模糊自適應(yīng)滑模控制方法。本文設(shè)計了模糊自適應(yīng)方法對機器人運動過程中的摩擦項進(jìn)行估計,并設(shè)計了非線性干擾觀測器補償外界慢時變干擾的力矩。在此基礎(chǔ)上,本文結(jié)合利用雙曲正切函數(shù)、特殊非線性fal函數(shù)設(shè)計的新型趨近律,設(shè)計了基于非線性干擾觀測器的模糊自適應(yīng)滑模控制器,對上肢康復(fù)外骨骼機器人系統(tǒng)實現(xiàn)了期望運動軌跡的準(zhǔn)確追蹤。仿真試驗結(jié)果驗證了本文方法的有效性。

1 康復(fù)機器人結(jié)構(gòu)及其動力學(xué)模型

根據(jù)人體結(jié)構(gòu)以及上肢運動的特點[11],本文設(shè)計了四自由度上肢康復(fù)外骨骼機器人。

四自由度上肢康復(fù)外骨骼機器人的4個關(guān)節(jié)對應(yīng)于肩關(guān)節(jié)屈曲/伸展(關(guān)節(jié)3)、 肩關(guān)節(jié)外展/內(nèi)收(關(guān)節(jié)1)、大臂內(nèi)旋/外旋(關(guān)節(jié)2)以及肘關(guān)節(jié)屈曲/伸展(關(guān)節(jié)4)。考慮到傳統(tǒng)上肢康復(fù)外骨骼機器人只能針對或左或右固定一側(cè)進(jìn)行康復(fù)訓(xùn)練,本文所設(shè)計的外骨骼結(jié)構(gòu)具有對稱性,可以通過拆卸和組裝轉(zhuǎn)換康復(fù)訓(xùn)練的方向,使1臺設(shè)備適配左右兩側(cè)手臂,以滿足不同患者的需求。四自由度上肢康復(fù)外骨骼機器人結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 四自由度上肢康復(fù)外骨骼機器人結(jié)構(gòu)

在完成運動學(xué)計算的基礎(chǔ)上,本文采用拉格朗日方法建立動力學(xué)模型,對外骨骼機器人進(jìn)行運動學(xué)計算。拉格朗日算子計算式為:

L=K-P

(1)

式中:K為外骨骼機器人系統(tǒng)的總動能;P為系統(tǒng)的總勢能。

關(guān)于總動能以及總勢能的計算可參考文獻(xiàn)[12],本文中不再贅述。

本文將拉格朗日算子代入拉格朗日動力學(xué)方程,則:

(2)

根據(jù)所求力矩可以得到四自由度上肢康復(fù)外骨骼機器人的理想動力學(xué)模型:

(3)

本文機器人關(guān)節(jié)均為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié),因此τ∈R4。

結(jié)合工程實際,由于關(guān)節(jié)副之間存在多種摩擦力矩,同時外骨骼受到來自外界的慢時變干擾力矩,本文在理想動力學(xué)模型中加入摩擦項以及慢時變干擾項。動力學(xué)模型如下。

(4)

所建立的外骨骼機器人模型為之后控制的試驗仿真奠定了理論基礎(chǔ)。機器人動力學(xué)模型具有以下性質(zhì)。

①性質(zhì)1M(q)矩陣有上下界:

(5)

式中:λmin、λmax分別為M(q)的最小特征值和最大特征值。

(6)

2 新型復(fù)合控制器設(shè)計

根據(jù)第1節(jié)計算獲得的外骨骼機器人動力學(xué)模型,本文提出結(jié)合模糊自適應(yīng)控制、非線性干擾觀測器以及滑?？刂频男滦蛷?fù)合控制方法,設(shè)計了基于非線性干擾觀測器的模糊自適應(yīng)滑模控制。該控制方法由干擾補償項和滑?？刂祈棙?gòu)成。干擾補償采用主動抗干擾的策略對系統(tǒng)存在的干擾進(jìn)行估計并加以抑制。與傳統(tǒng)的反饋控制相比,加入干擾補償?shù)目刂品椒軌蛴行б种茢_動。

本節(jié)對外骨骼的補償分為2個部分,分別為模糊自適應(yīng)補償和非線性干擾觀測器補償。由于外骨骼機器人受到多種干擾,傳統(tǒng)控制方法無法對預(yù)期運動軌跡進(jìn)行準(zhǔn)確跟蹤,從而無法保證外骨骼控制系統(tǒng)的魯棒性。因此,考慮到多種不確定因素,本文先通過模糊自適應(yīng)補償器對庫倫摩擦、粘性摩擦等摩擦部分進(jìn)行估計,再利用干擾觀測器對外部慢時變干擾進(jìn)行估計,并分別進(jìn)行力矩補償。此外,滑?？刂剖?種非線性控制方法,具有較強的抗參數(shù)攝動性,對于外骨骼建模精度要求不高,但存在抖振嚴(yán)重的問題。因此,本文通過設(shè)計新型趨近律以及滑?？刂破?減小抖振并提高控制器的響應(yīng)速度。

2.1 針對摩擦項的模糊自適應(yīng)補償

Chen[13]提出1種非線性干擾觀測器的設(shè)計方法。但該方法針對的慣性矩陣必須滿足特殊形式,因此有很大的局限性。Mohammadi[14]對該方法進(jìn)行改進(jìn),提出1種可以同時逼近摩擦干擾以及外界慢干擾的方法。本文外骨骼機器人有4個關(guān)節(jié),每個關(guān)節(jié)輸入量為3,每個輸入變量設(shè)計5條隸屬度函數(shù),共有512=244 140 625條規(guī)則。計算量過大不利于控制器的實際運用。為減少模糊規(guī)則總數(shù)、提高運算效率,本文分別對摩擦干擾部分和外界干擾部分進(jìn)行補償。此外,機器人系統(tǒng)中摩擦干擾不屬于慢時變干擾,通過非線性干擾觀測器逼近效果不佳[15],因此在設(shè)計非線性干擾觀測器前必須通過模糊補償來逼近摩擦項干擾,以減少模糊規(guī)則的數(shù)量、提高運算效率,并增強系統(tǒng)的抗干擾能力。

模糊系統(tǒng)具有萬能逼近特性,通常情況下定義其輸出形式如下。

Y=ξT(x)Θ

(7)

式中:x、Y分別為輸入與輸出;ξ(x)為回歸向量;Θ為參數(shù)向量。

回歸向量表示為ξ(x)=[ξl(x),…,ξm(x)]T。l、m分別為隸屬度函數(shù)數(shù)量以及模糊規(guī)則數(shù)目。ξl(x)又稱基函數(shù)。本文中,回歸向量表示為:

(8)

常見的隸屬度函數(shù)有高斯型、梯形以及三角形等。本文選取高斯型隸屬度函數(shù)。高斯形隸屬度函數(shù)曲線如圖2所示。

圖2 高斯型隸屬度函數(shù)曲線

本文定義qd為期望軌跡關(guān)節(jié)對應(yīng)角度,則軌跡跟蹤誤差為:

e=q-qd

(9)

本文定義滑模函數(shù)為:

(10)

式中:Λ=diag(Λ1,Λ2,Λ3,Λ4),且Λ為正定矩陣。

為求解輸出值,必須對模糊推理得到的模糊矢量進(jìn)行解模糊化。本文采用乘積推理機、單質(zhì)模糊器以及中心平均解模糊器,得到4個關(guān)節(jié)的摩擦補償值:

(11)

通過以上模糊自適應(yīng)補償器的設(shè)計,可以抵消摩擦項對于外骨骼機器人的干擾,從而提高系統(tǒng)的抗干擾性能。

2.2 針對慢時變干擾項的干擾觀測器

(12)

本文將干擾估計導(dǎo)數(shù)值寫成以下形式:

(13)

對式(12)求導(dǎo),得:

(14)

誤差方程為:

(15)

(16)

非線性函數(shù)向量p為:

(17)

式中:X為可逆矩陣,可通過線性矩陣不等式求解。

(18)

本文對式(17)求導(dǎo)后,結(jié)合式(16)、式(18)可得:

(19)

因此,本文設(shè)計以下非線性干擾觀測器。

(20)

由第1節(jié)可知,慣性矩陣M(q)為正定矩陣。為了判定非線性觀測器的穩(wěn)定性,取Lyapunov函數(shù)為:

V0=KTXTM(q)XK

(21)

對式(21)求導(dǎo),得:

(22)

線性不等式為:

(23)

式中:Γ為正定矩陣,Γ>0。

因此,式(22)可轉(zhuǎn)換為:

(24)

K(t)=K(t0)exp[-L(q)·t]

(25)

由式(25)可知,外骨骼機器人受到外界干擾時,非線性干擾觀測器是穩(wěn)定的,并可有效、快速收斂。

2.3 滑模控制器的設(shè)計

傳統(tǒng)的滑?？刂圃谝欢ǔ潭壬夏軌蜃粉櫰谕壽E,但其本質(zhì)上存在的動態(tài)非線性會使得控制量存在很強的抖振。這一問題增加了能量的消耗,且對于硬件系統(tǒng)的安全以及控制系統(tǒng)的控制精度都不利。因此,需要設(shè)計新的非線性滑模趨近律來改善傳統(tǒng)滑?？刂圃谑艿礁蓴_的情況下抖振嚴(yán)重的問題。

(26)

非線性函數(shù)為:

(27)

式中:0<α<1;δ為影響趨近速度的常數(shù),又稱為邊界層寬度。

本文提出的新型滑模趨近律為:

(28)

2.4 控制律設(shè)計及其穩(wěn)定性分析

結(jié)合計算力矩法、模糊自適應(yīng)補償器、非線性干擾觀測器以及新型滑模趨近律,本文設(shè)計的控制律為:

(29)

對滑模函數(shù)求導(dǎo):

(30)

因此,有:

(31)

設(shè)計系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)為:

(32)

(33)

Lyapunov函數(shù)導(dǎo)數(shù)值小于等于0,為半負(fù)定。根據(jù)穩(wěn)定性判據(jù)可知,如果輸入力矩為有界函數(shù),則控制器是穩(wěn)定的,系統(tǒng)誤差漸進(jìn)穩(wěn)定。通過對摩擦補償以及干擾觀測器對外界干擾的實時辨識估計,能夠減小滑模控制中切換增益矩陣的值,且設(shè)計的新型趨近律可以進(jìn)一步降低機器人快速運動中產(chǎn)生的抖振問題的影響,從而提高控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3 控制系統(tǒng)仿真試驗

3.1 控制仿真參數(shù)設(shè)定

為驗證所設(shè)計控制方法的有效性,本文在Matlab/Simulink環(huán)境下對存在摩擦項以及外界慢時變干擾的上肢康復(fù)外骨骼機器人系統(tǒng)進(jìn)行仿真。

根據(jù)人體上肢結(jié)構(gòu)以及尺寸,上肢康復(fù)外骨骼機器人結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 上肢康復(fù)外骨骼機器人結(jié)構(gòu)參數(shù)

根據(jù)前文所述:模糊自適應(yīng)補償器中,Λ=diag(10,10,10,10)、ρi=[0.000 1,0.000 5,0.002 3,0.000 4]′;非線性干擾觀測器中,可逆矩陣X=diag(0.538 2,0.592 1,0.618 3,0.632 6);滑?？刂破髦?α=0.25、δ=0.10、W=diag(6,6,6,6)、η=2、β=0.015、K=diag(500,500,500,500)。

4個關(guān)節(jié)的初始位置參數(shù)為q=[q1,q2,q3,q4]′=[0.5,0.2,0.4,-0.2]′。

本文設(shè)系統(tǒng)期望運動軌跡為qd1=0.3cos(t)、qd2=0.3sin(t)、qd3=0.3cos(t)、qd4=0.3sin(t)。其中,qd1、qd2、qd3、qd4分別為4個關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角度。

3.2 仿真結(jié)果及分析

為驗證本文所提控制方法的有效性,本文增添對照組?？刂破?通過傳統(tǒng)線性滑模控制方法對期望運動軌跡進(jìn)行跟蹤仿真,在控制器中不采用模糊自適應(yīng)控制器、非線性干擾觀測器對系統(tǒng)中的不確定項進(jìn)行估計。控制器2為在線性滑?？刂破髦屑尤肽：赃m應(yīng)補償器以及非線性干擾觀測器?？刂破?采用本文所設(shè)計的復(fù)合控制方法。

①位置追蹤分析。

為驗證本文控制方法的有效性以及優(yōu)越性,對比控制器1、控制器2、控制器3這3種控制方法,對其分別進(jìn)行軌跡追蹤仿真。

軌跡追蹤位置曲線仿真結(jié)果如圖 3所示。

圖3 軌跡追蹤位置曲線仿真結(jié)果

圖3中展示的3種控制方法都能夠在一定程度上完成軌跡追蹤的任務(wù)。由圖3可知,在控制器中加入模糊自適應(yīng)補償以及非線性干擾觀測器補償后,關(guān)節(jié)能夠準(zhǔn)確地跟蹤期望軌跡,誤差非常小,幾乎為0;而沒有加入補償?shù)姆椒ㄔ谲壽E跟蹤中存在一定的跟蹤誤差以及相位誤差。

為進(jìn)一步比較3種控制器的控制結(jié)果,本文繪制軌跡跟蹤誤差曲線。不同控制方法下的軌跡跟蹤誤差曲線如圖4所示。

圖4 不同控制方法下的軌跡跟蹤誤差曲線

由圖 4可知,基于非線性干擾觀測器的模糊自適應(yīng)滑?？刂品椒梢杂行У靥岣呖刂葡到y(tǒng)的魯棒性。當(dāng)外界存在多種摩擦以及慢時變干擾,相比于其他2種傳統(tǒng)控制方法,本文提出的控制方法可以使外骨骼機器人以較快速度從初始位置趨近期望軌跡,從而提高響應(yīng)速度。采用新型復(fù)合控制方法減小了干擾對于軌跡跟蹤的影響,大幅提高了軌跡追蹤的精度,并改善了傳統(tǒng)滑?？刂贫墩駠?yán)重的現(xiàn)象。這能夠滿足上肢康復(fù)外骨骼機器人的高精度軌跡追蹤的控制要求。

②摩擦項的模糊自適應(yīng)補償分析。

本文采用模糊自適應(yīng)補償?shù)姆椒?對系統(tǒng)受到的摩擦進(jìn)行估計,并將估計值反饋給控制系統(tǒng),以降低系統(tǒng)受到摩擦的干擾。4個關(guān)節(jié)的摩擦項補償曲線如圖5所示。

圖5 4個關(guān)節(jié)的摩擦項補償曲線

由圖5可知,模糊自適應(yīng)項逼近摩擦項設(shè)定值的速度較快,且逼近精度較高,極大程度地提高了控制系統(tǒng)的魯棒性。

③非線性干擾觀測器分析。

本文所設(shè)計的非線性干擾觀測器可以針對上肢康復(fù)外骨骼機器人慢時變擾動進(jìn)行逼近。4個關(guān)節(jié)的非線性干擾觀測器補償曲線如圖 6所示。

圖6 4個關(guān)節(jié)的非線性干擾觀測器補償曲線

由圖6可知,所設(shè)計的觀測器可以有效地對干擾進(jìn)行實時估計,并以較高的精度逼近系統(tǒng)干擾量。在機器人受到外界力矩干擾的情況下,控制系統(tǒng)將觀測器估計量作為補償值,反饋給控制器的觀測信號有效地克服了快速運動中的抖振問題,提高了系統(tǒng)控制精度,以及系統(tǒng)整體的抗干擾性。

為進(jìn)一步比較3種控制策略的結(jié)果,本文將控制結(jié)果數(shù)據(jù)化,統(tǒng)計上述3種方法能夠穩(wěn)定跟蹤曲線的時間(ts)以及穩(wěn)定之后的最大跟蹤誤差。不同控制策略數(shù)據(jù)統(tǒng)計結(jié)果如表2所示。

表 2 不同控制策略數(shù)據(jù)統(tǒng)計結(jié)果

綜上所述,采用傳統(tǒng)滑?？刂品椒?且在控制器中不加入模糊自適應(yīng)控制器以及非線性干擾觀測器時,收斂時間較長且跟蹤誤差較大;加入力矩補償?shù)?個部分之后,跟蹤誤差明顯下降,收斂時間也有所縮短;采用基于非線性干擾觀測器的模糊自適應(yīng)滑模控制后,精度提高了1個數(shù)量級甚至更高,同時進(jìn)一步縮短了收斂時間,從而大大提高了整個康復(fù)外骨骼機器人控制系統(tǒng)的魯棒性。

4 結(jié)論

針對外骨骼機器人系統(tǒng)的不確定性,本文提出了1種新型的復(fù)合控制方法。本文主要結(jié)論如下。首先,本文在理論的動力學(xué)建模中考慮到摩擦以及外界干擾項,設(shè)計了模糊自適應(yīng)補償器以及非線性干擾觀測器對以上2種外界干擾進(jìn)行補償,減小了模糊規(guī)則的數(shù)量,并提高了控制系統(tǒng)的追蹤精度。然后,本文結(jié)合非線性fal函數(shù)設(shè)計了新型趨近律,能夠保證系統(tǒng)的快速收斂,并改善了抖振現(xiàn)象,進(jìn)一步提高了系統(tǒng)的控制精度和抗干擾性。最后,本文使用Lyapunov穩(wěn)定性理論分析本文設(shè)計的控制方法的可行性,并進(jìn)行控制試驗仿真。試驗結(jié)果證明,本文控制方法在控制精度、收斂速度方面都有顯著的優(yōu)勢,具有較強的魯棒性。

綜上可知,本文控制方法應(yīng)用到康復(fù)外骨骼上能夠提供更精準(zhǔn)的康復(fù)訓(xùn)練,從而加快患者的康復(fù)進(jìn)程,具有一定的實際應(yīng)用價值。

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