核逆的穩(wěn)定擾動(dòng)與表示

戴 潔, 朱蘭萍, 黃強(qiáng)聯(lián)

(揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 揚(yáng)州 225002)

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[5]設(shè)X為Hilbert空間, 算子T∈B(X)．若算子S∈B(X)滿足方程:

1)TST=T; 2)STS=S; 3) (TS)*=TS; 4) (ST)*=ST,

其中T*表示T的共軛算子, 則稱S為T的Moore-Penrose逆, 記作T?．

定義2[13]設(shè)X為Hilbert空間, 算子T∈B(X)．若算子S∈B(X)滿足方程:

1)TST=T; 2)STS=S; 3)TS=ST,

則稱S為T的群逆, 記作T#．

定義3[14]設(shè)X為Hilbert空間, 算子T∈B(X)．若算子S∈B(X)使得

1)TST=T; 2)STS=S; 3) (TS)*=TS; 4)ST2=T; 5)TS2=S

定義4[9]設(shè)X,Y為Banach空間, 算子T∈B(X,Y)．

引理5[11]設(shè)X,Y為Banach空間, 算子T∈B(X,Y)．

1) 若T存在廣義逆T+∈B(Y,X), 則T存在正則分解T=JS．

2) 若T存在正則分解T=JS, 則T存在廣義逆T+=S+J+:Y→X, 且J+J=SS+=IP, 其中J+為浸沒且為J的左逆,S+為浸入且為S的右逆．進(jìn)一步,TT+=JJ+,T+T=S+S, 且G(T)=G(J)G(S)．

2 主要結(jié)果

首先運(yùn)用內(nèi)逆給出算子核逆的存在特征．

定理8設(shè)X為Hilbert空間,T∈B(X), 則下列命題等價(jià):

1)T是核可逆的;

2)T存在內(nèi)逆, 且對(duì)任一內(nèi)逆T-,I+T-T-T可逆;

3)T存在內(nèi)逆T-,I+T-T-T可逆;

4)T存在內(nèi)逆, 且對(duì)任一內(nèi)逆T-,I+T-TT-可逆;

5)T存在內(nèi)逆T-,I+T-TT-可逆．

2)?3)．顯然．

3)?1)．先證[I-TT--(TT-)*]-1=I-TT-(TT-)?-(TT-)?TT-．一方面,[I-TT--(TT-)*][I-TT-(TT-)?-(TT-)?TT-]=I-(TT-)?TT-+(TT-)*(TT-)?TT-=I-[I-(TT-)*](TT-)?TT-=I．另一方面,[I-TT-(TT-)?-(TT-)?TT-][I-TT--(TT-)*]=I-TT-(TT-)?+TT-(TT-)?(TT-)*=I-TT-(TT-)?[I-(TT-)*]=I, 從而TT-[I-TT--(TT-)*]-1=TT-[I-TT-(TT-)?-(TT-)?TT-]=TT--TT-(TT-)?-TT-=-TT-(TT-)?．注意到(I+T-TT-)T=T(I+T-T-T)=T2, 則T=T2(I+T-T-T)-1．令S=-T(I+T-T-T)-1T-TT-[I-TT--(TT-)*]-1,下證S為T的核逆．

事實(shí)上,TST=-T2(I+T-T-T)-1T-TT-[I-TT--(TT-)*]-1T=-TT-[I-TT--(TT-)*]-1T=-TT-[I-TT-(TT-)?-(TT-)?TT-]T=TT-(TT-)?TT-T=T,STS=-T(I+T-T-T)-1T-TT-[I-TT--(TT-)*]-1T[-T(I+T-T-T)-1T-TT-[I-TT--(TT-)*]-1]=T(I+T-T-T)-1T-TT-(TT-)?TT-(TT-)?=T(I+T-T-T)-1T-TT-·(TT-)?=-T(I+T-T-T)-1T-TT-[I-TT--(TT-)*]-1=S, (TS)*=[-T2(I+T-T-T)-1T-TT-[I-TT--(TT-)*]-1]*=[T2(I+T-T-T)-1T-TT-(TT-)?]*=[TT-(TT-)?]*=TT-(TT-)?=-T2(I+T-T-T)-1T-TT-[I-TT--(TT-)*]-1=TS．注意到(I+T-T-T)-1=I-(I-T-)(I+T-TT-)-1T, 一方面, (I+T-T-T)[I-(I-T-)(I+T-TT-)-1T]=I+T-T-T-(I+T-T-T)(I-T-)(I+T-TT-)-1T=I+T-T-T-(I+T-T-T-T--TT-+T-TT-)(I+T-TT-)-1T=I+T-T-T-[(I+T-TT-)-T-(I+T-TT-)](I+T-TT-)-1T=I+T-T-T-T+T-T=I．另一方面,[I-(I-T-)(I+T-TT-)-1T](I+T-T-T)=I-(I-T-)(I+T-TT-)-1T+[I-(I-T-)(I+T-TT-)-1T]·(T-T-T)=I-(I-T-)(I+T-TT-)-1T+T-T-T-(I-T-)(I+T-TT-)-1(T2-T)=I-(I-T-)(I+T-TT-)-1T+T-T-T-(I-T-)(I+T-TT-)-1[(I+T-TT-)T-T]=I-(I-T-)(I+T-TT-)-1T+T-T-T-T+T-T+(I-T-)(I+T-TT-)-1T=I．類似可證(I+T-TT-)-1=I-T(I+T-T-T)-1(I-T-), 故I+T-T-T可逆, 得I+T-TT-可逆．因此,ST2=-T(I+T-T-T)-1T-TT-[I-TT--(TT-)*]-1T2=T(I+T-T-T)-1T-TT-(TT-)?TT-T2=T(I+T-T-T)-1T-TT-T2=T(I+T-T-T)-1T-T2=T[I-(I-T-)(I+T-TT-)-1T]T-T2=T2-(T-TT-)(I+T-TT-)-1T2=(I+T-TT-)-1T2=(I+T-TT-)-1(I+T-TT-)T=T,TS2=-T2(I+T-T-T)-1T-TT-[I-TT--(TT-)*]-1S=-TT-[I-TT--(TT-)*]-1S=-TT-(TT-)?T(I+T-T-T)-1T-TT-[I-TT--(TT-)*]-1=-TT-T(I+T-T-T)-1·T-TT-[I-TT--(TT-)*]-1=-T(I+T-T-T)-1T-TT-[I-TT--(TT-)*]-1=S．故T是核可逆的, 且S為T的核逆．

下面利用正則分解和任一廣義逆給出算子核可逆的等價(jià)條件及其表達(dá)式．

定理10設(shè)X為Hilbert空間,T∈B(X)存在正則分解T=JS, 下列命題等價(jià):

1)T是核可逆的;

2)I+T-TT+可逆, ?T+∈G(T);

3)I+T-T+T可逆, ?T+∈G(T);

4)I+JS-S+S可逆,?S+∈G(S);

5)I+JS-JJ+可逆,?J+∈G(J)．

3)?4)．由引理5知,T+T=S+S, 故I+JS-S+S可逆．

4)?5)．一方面, (I+JS-JJ+)[I-JS(I+JS-S+S)-1(I-S+J+)]=I+JS-JJ+-(I+JS-JJ+)JS(I+JS-S+S)-1(I-S+J+)=I+JS-JJ+-JS(I+JS-S+S)(I+JS-S+S)-1·(I-S+J+)=I+JS-JJ+-JS(I-S+J+)=I．另一方面,[I-JS(I+JS-S+S)-1(I-S+J+)]·(I+JS-JJ+)=I+JS-JJ+-JS(I+JS-S+S)-1(I-S+J+)(I+JS-JJ+)=I+JS-JJ+-JS(I+JS-S+S)-1(I+JS-S+S)(I-S+J+)=I+JS-JJ+-JS+JSS+J+=I．故I+JS-JJ+可逆,且(I+JS-JJ+)-1=I-JS(I+JS-S+S)-1(I-S+J+)．

注11類似于定理8, 若將定理10中條件2)～5)的?T+,S+,J+改為?T+,S+,J+, 則可證明相應(yīng)的算子可逆．

下面討論穩(wěn)定擾動(dòng)后算子核逆的存在條件, 同時(shí)給出其表達(dá)式．

下面的定理給出了算子核逆情形下穩(wěn)定擾動(dòng)的等價(jià)條件．

最后討論保核擾動(dòng)下核逆的表示．