基于自適應(yīng)短時(shí)Chirplet分解的高性能時(shí)頻分布重構(gòu)

楊 陽 程永強(qiáng) 吳 昊 楊 政 王宏強(qiáng)

（國(guó)防科技大學(xué)電子科學(xué)學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410073）

1 引言

非平穩(wěn)信號(hào)普遍存在于通信、雷達(dá)、生物醫(yī)學(xué)、機(jī)械故障診斷、地震信號(hào)分析等領(lǐng)域，實(shí)現(xiàn)非平穩(wěn)信號(hào)時(shí)變頻率特征的準(zhǔn)確表達(dá)和提取具有重要現(xiàn)實(shí)意義［1-5］。傅里葉變換可以準(zhǔn)確地揭示信號(hào)所包含的頻率成分，但是無法實(shí)現(xiàn)頻譜時(shí)變特征的表達(dá)。通過構(gòu)造時(shí)間和頻率的聯(lián)合函數(shù)，時(shí)頻分析（Time-Frequency Analysis，TFA）能將一維時(shí)域信號(hào)映射到二維時(shí)頻域，直觀地展現(xiàn)出信號(hào)瞬時(shí)頻率隨時(shí)間的變化特性，是信號(hào)時(shí)頻特征的重要研究工具。

短時(shí)傅里葉變換（Short-Time Fourier Transform，STFT）和魏格納分布（Wigner-Ville Distribution，WVD）是兩種最經(jīng)典的時(shí)頻分析方法，然而，由于不確定原理的限制，STFT的時(shí)間分辨率和頻率分辨率相互牽制，對(duì)信號(hào)時(shí)頻特性的表征精度欠佳，而WVD在處理非線性調(diào)頻信號(hào)和多分量信號(hào)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的交叉項(xiàng)干擾，難以實(shí)現(xiàn)復(fù)雜信號(hào)時(shí)頻特征的準(zhǔn)確表達(dá)，應(yīng)用場(chǎng)景十分有限。

為了獲取信號(hào)能量聚集性高、無交叉項(xiàng)干擾的高性能時(shí)頻分布，近年來，基于信號(hào)稀疏性的稀疏時(shí)頻分析（Sparse Time-Frequency Analysis，STFA）方法得到了廣泛關(guān)注［6-9］。以稀疏表示理論為核心，STFA 可通過“信號(hào)的稀疏分解”與“時(shí)頻分布重構(gòu)”兩個(gè)步驟實(shí)現(xiàn)，即首先運(yùn)用某種時(shí)頻原子構(gòu)成冗余字典對(duì)待分析信號(hào)進(jìn)行稀疏分解，而后利用WVD求解各原子的時(shí)頻分布并疊加所得結(jié)果，由此實(shí)現(xiàn)信號(hào)時(shí)頻分布的重構(gòu)。由稀疏表示理論可知，若所用時(shí)頻原子與待分解信號(hào)的特性相匹配，則能夠利用少數(shù)原子實(shí)現(xiàn)原信號(hào)時(shí)頻信息的精確提取，而利用WVD 對(duì)分解所得原子的時(shí)頻分布逐一進(jìn)行求解并疊加，則能夠在避免引入分量間互交叉項(xiàng)的同時(shí)獲得較高的能量聚集度。因此，相比于傳統(tǒng)TFA方法，STFA重構(gòu)出的時(shí)頻分布具有更高質(zhì)量。文獻(xiàn)［10］利用Gabor原子實(shí)現(xiàn)了自旋目標(biāo)雷達(dá)回波信號(hào)的時(shí)頻分析和旋轉(zhuǎn)周期估計(jì)；文獻(xiàn)［11］利用Chirplet 原子計(jì)算了正弦調(diào)頻信號(hào)的時(shí)頻分布，并在此基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)了信號(hào)調(diào)制參數(shù)的精確估計(jì)；文獻(xiàn)［12］和［13］在Chirplet原子中加入了彎曲因子，使得時(shí)頻原子理論上能夠表征具有任意調(diào)頻規(guī)律的非平穩(wěn)信號(hào)，進(jìn)一步拓展了STFA的適用范圍。

雖然STFA 在一定程度上提高了非平穩(wěn)信號(hào)時(shí)頻分布的質(zhì)量，但仍存在兩點(diǎn)不足。其一，實(shí)際應(yīng)用中出現(xiàn)的非平穩(wěn)信號(hào)特性各異，為了增強(qiáng)時(shí)頻原子對(duì)待分析信號(hào)的表征能力，往往需要賦予原子較多自由度，導(dǎo)致原子參數(shù)空間過大，STFA 的計(jì)算復(fù)雜度過高而難以實(shí)際應(yīng)用。其二，由于WVD 被用作信號(hào)稀疏分解結(jié)果與時(shí)頻分布之間的“轉(zhuǎn)換器”，最終所得時(shí)頻分布的性能實(shí)際上受限于WVD 對(duì)各原子的處理能力，若所用原子具有非線性的頻率調(diào)制規(guī)律，則WVD 也會(huì)引入自交叉項(xiàng)，疊加所得結(jié)果依然無法實(shí)現(xiàn)信號(hào)時(shí)頻特征的精準(zhǔn)表達(dá)。

為實(shí)現(xiàn)信號(hào)時(shí)頻特征的高性能表達(dá)，本文借鑒了自適應(yīng)短時(shí)時(shí)頻分析方法的思想，提出了基于自適應(yīng)短時(shí)Chirplet 分解（Adaptive Short-Time Chirplet Decomposition，ASTCD）的時(shí)頻分布重構(gòu)方法。在引入與信號(hào)時(shí)頻特性自適應(yīng)的窗函數(shù)的同時(shí)，設(shè)計(jì)了一種基于Chirplet 字典和稀疏表示的時(shí)頻分布重構(gòu)方式，實(shí)現(xiàn)了信號(hào)每一時(shí)刻瞬時(shí)頻譜的準(zhǔn)確求解和高性能時(shí)頻分布的重構(gòu)。相比于現(xiàn)有STFA 方法，所提方法具有更強(qiáng)的時(shí)頻特性表征能力和適用性，同時(shí)在計(jì)算效率上具有較大優(yōu)勢(shì)。

本文的具體組織結(jié)構(gòu)如下：第2 節(jié)在闡明信號(hào)稀疏分解實(shí)質(zhì)的基礎(chǔ)上，分析了傳統(tǒng)STFA 的不足之處并建立了基于ASTCD 的時(shí)頻分布重構(gòu)模型；第3 節(jié)進(jìn)行了仿真和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)，通過與其他七種時(shí)頻分析方法進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了所提方法的有效性；第4節(jié)對(duì)全文進(jìn)行了總結(jié)。

2 非平穩(wěn)信號(hào)的高性能時(shí)頻分布重構(gòu)模型

2.1 信號(hào)稀疏時(shí)頻分解的實(shí)質(zhì)

一般而言，現(xiàn)實(shí)世界中的信號(hào)均可以表示為一系列具有幅度調(diào)制和頻率調(diào)制的分量的疊加，其通用形式可表達(dá)為［14］

其中，K是信號(hào)分量數(shù)，，Ak(t)和φk(t)分別代表第k個(gè)分量的幅度以及相位。

Gabor 原子和Chirplet 原子是兩種經(jīng)典的時(shí)頻原子，在信號(hào)的稀疏分解中運(yùn)用廣泛。Gabor 原子可表示為

與頻率保持恒定的Gabor 原子不同，Chirplet 原子在相位部分增加了二次調(diào)制項(xiàng)，表達(dá)為

其中，γ=[s，u，ξ，c]，s、u、ξ的含義與Gabor原子中相同，c表示線性調(diào)頻率。離散情況下，Chirplet原子的參數(shù)集為γ=[ai，paiΔu，ka-iΔξ，la-2iΔc]，a=2，Δu=，Δξ=Δc=π，0＜i≤log2N，，0≤k＜2i+1，0≤l＜2i+1。

下面以Chirplet 原子為例說明信號(hào)稀疏分解的實(shí)質(zhì)。將信號(hào)的相位函數(shù)φk(t)在t0處做泰勒展開，則（1）可改寫為

忽略信號(hào)相位函數(shù)的三階及以上導(dǎo)數(shù)，可得

對(duì)比（3）和（5）可知，利用Chirplet 原子對(duì)信號(hào)做稀疏分解實(shí)際上等價(jià)于對(duì)待分析信號(hào)的各個(gè)分量進(jìn)行局部近似，即以時(shí)移因子為中心，在尺度因子控制的時(shí)間范圍內(nèi)，挑選出參數(shù)滿足ξ≈的線性調(diào)頻原子并以此逼近原信號(hào)。與此類似，基于Gabor 原子的稀疏分解等價(jià)于將原信號(hào)的各分量局部近似為單頻信號(hào)。

2.2 傳統(tǒng)稀疏類時(shí)頻分析方法的不足

從瞬時(shí)頻率的角度看，Gabor 原子和Chirplet 原子分別對(duì)應(yīng)了對(duì)原信號(hào)瞬時(shí)頻率的零階近似和一階近似。由泰勒展開的基本原理可知，低階近似只能在展開點(diǎn)附近很小的鄰域內(nèi)具有高精度，然而，基于Gabor 原子的STFA（Gabor-Atom-based STFA，Gabor-STFA）和基于Chirplet 原子的STFA（Chirplet-Atom-based STFA，Chirplet-STFA）在處理信號(hào)時(shí)，是對(duì)某一尺度因子范圍內(nèi)信號(hào)時(shí)頻特性的全局表征。由前文介紹的字典構(gòu)建方法可知，Gabor 字典與Chirplet 字典均只包含有限個(gè)尺度因子，且模式固定，無法根據(jù)信號(hào)特性自適應(yīng)調(diào)節(jié)，因此在分析正弦調(diào)頻（Sinusoidal Frequency Modulation，SFM）信號(hào)等非平穩(wěn)性較強(qiáng)的信號(hào)時(shí)會(huì)不可避免地造成信號(hào)時(shí)頻曲線的畸變和截?cái)?，典型結(jié)果如圖1 所示。

圖1 正弦調(diào)頻信號(hào)的傳統(tǒng)STFA結(jié)果Fig.1 Results of traditional STFA for sinusoidal frequency modulation signal

除了較弱的時(shí)頻特性表征能力之外，由（2）和（3）可知，Gabor字典和Chirplet字典分別具有三維和四維的參數(shù)空間，按其參數(shù)采樣方式，當(dāng)信號(hào)序列長(zhǎng)度為N時(shí)，Gabor 字典和Chirplet 字典的維度分別為?？梢?，字典維度將隨著參數(shù)數(shù)量的增加而迅速增長(zhǎng)，導(dǎo)致通過提升時(shí)頻原子的頻率調(diào)制階次增強(qiáng)其時(shí)頻特性表征能力的同時(shí)，會(huì)產(chǎn)生無法接受的計(jì)算量。此外，WVD在求解非線性時(shí)頻原子的時(shí)頻分布時(shí)同樣會(huì)產(chǎn)生自交叉項(xiàng)，從時(shí)頻分布重構(gòu)的角度限制了高階時(shí)頻原子在STFA中的運(yùn)用。

綜上所述，傳統(tǒng)STFA 的不足主要可以歸結(jié)為以下三個(gè)方面：

（1）低階時(shí)頻原子在固定尺度的時(shí)間范圍內(nèi)的近似引起時(shí)頻曲線畸變；

（2）基于WVD 的時(shí)頻分布重構(gòu)方式限制了高階時(shí)頻原子的使用；

（3）計(jì)算復(fù)雜度高。

2.3 自適應(yīng)短時(shí)Chirplet 分解與高性能時(shí)頻分布重構(gòu)

為克服上述三點(diǎn)不足，ASTCD 在沿用Chirplet字典的同時(shí)，引入了自適應(yīng)窗函數(shù)和新的時(shí)頻分布重構(gòu)流程。首先，利用自適應(yīng)窗函數(shù)為每一時(shí)刻生成對(duì)應(yīng)的最優(yōu)短時(shí)信號(hào)；其次，利用Chirplet 字典實(shí)現(xiàn)短時(shí)信號(hào)時(shí)頻特性的提取，但只保留窗函數(shù)中心時(shí)刻的瞬時(shí)頻譜作為準(zhǔn)確的結(jié)果，而將其余可能存在擬合誤差的部分全部舍棄；最后，通過整合所有時(shí)刻的瞬時(shí)頻譜實(shí)現(xiàn)信號(hào)高性能時(shí)頻分布的重構(gòu)。

相比于傳統(tǒng)STFA，本文所提方法具有三點(diǎn)優(yōu)勢(shì)。第一，自適應(yīng)窗能夠有效提升Chirplet 原子與短時(shí)信號(hào)的特性匹配程度，顯著改善因近似尺度不當(dāng)造成的時(shí)頻曲線的畸變和截?cái)?；第二，?duì)各時(shí)刻瞬時(shí)頻譜逐一進(jìn)行求解的方式，有利于在使用低階時(shí)頻原子的條件下提高瞬時(shí)頻譜的求解精度，有利于信號(hào)時(shí)頻特征的準(zhǔn)確、精細(xì)表達(dá)；第三，由于ASTCD 將傳統(tǒng)STFA 的全局稀疏表示問題拆分為了一系列局部稀疏表示問題，因而能夠降低Chirplet字典的維度，實(shí)現(xiàn)計(jì)算效率的提升。

一般而言，信號(hào)的平穩(wěn)性越強(qiáng)，其調(diào)頻規(guī)律越趨于簡(jiǎn)單，對(duì)其進(jìn)行線性調(diào)頻近似的精度也就越高。為此，可以利用寬度隨信號(hào)頻率變化速率自適應(yīng)改變的窗函數(shù)對(duì)原信號(hào)進(jìn)行劃分，為每一時(shí)刻生成擬平穩(wěn)性最強(qiáng)、最有利于后續(xù)近似處理的最優(yōu)短時(shí)信號(hào)。研究表明，高斯窗的時(shí)寬帶寬積達(dá)到了不確定原理的下界，因此常被用作信號(hào)局部化分析的斬波工具［15］。使得單分量信號(hào)具有最強(qiáng)擬平穩(wěn)性的最優(yōu)高斯窗標(biāo)準(zhǔn)差為［16］

其中，φ″(t)代表信號(hào)相位的二階導(dǎo)數(shù)，能夠表征信號(hào)瞬時(shí)頻率的變化速率。

由（6）可知，自適應(yīng)高斯窗的標(biāo)準(zhǔn)差與信號(hào)瞬時(shí)頻率的變化速率成反比，當(dāng)信號(hào)非平穩(wěn)性較強(qiáng)時(shí)，窗函數(shù)能夠?qū)?yīng)變窄，保持窗內(nèi)信號(hào)的近似平穩(wěn)。由于實(shí)際應(yīng)用中出現(xiàn)的非平穩(wěn)信號(hào)往往包含多個(gè)分量，為了使得各分量對(duì)應(yīng)的短時(shí)信號(hào)都能與Chirplet原子具有較高的匹配程度，本文以各分量最優(yōu)窗參數(shù)的平均值作為多分量信號(hào)自適應(yīng)高斯窗的最優(yōu)參數(shù)，即

需要指出的是，由于最優(yōu)窗參數(shù)的求解需要信號(hào)分量數(shù)K以及各分量相位的二階導(dǎo)數(shù)φ″k(t)作為先驗(yàn)，因此在進(jìn)行計(jì)算前需要通過一定預(yù)處理對(duì)所需信息進(jìn)行估計(jì)。最常用的方法是先對(duì)信號(hào)進(jìn)行一次STFT，從所得時(shí)頻圖像上判斷出信號(hào)的分量個(gè)數(shù)，隨后通過峰值檢測(cè)等方法大致提取出各分量的瞬時(shí)頻率，并以之為觀測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)信號(hào)瞬時(shí)調(diào)頻率的估計(jì)［16］。此外，考慮到可能出現(xiàn)的的估計(jì)值為0 或±∞的情況，在實(shí)際運(yùn)用中還需要對(duì)σ(t)的上界和下界進(jìn)行合理設(shè)置。

在ASTCD 的理論框架下，Chirplet 原子的尺度由自適應(yīng)窗函數(shù)的寬度決定，其中心在時(shí)間軸上的位置由窗函數(shù)逐點(diǎn)滑動(dòng)控制，故傳統(tǒng)Chirplet 字典的四維參數(shù)空間可以縮減為二維。具體地，以t0為中心的短時(shí)信號(hào)對(duì)應(yīng)的Chirplet字典可簡(jiǎn)化為

其中，Dt0表示該短時(shí)信號(hào)對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)化Chirplet字典，由M個(gè)Chirplet原子組成，u∈[0，6σ(t0)]，代表短時(shí)窗內(nèi)的時(shí)間變量。離散情況下，簡(jiǎn)化Chirplet字典參數(shù)集的離散形式為γm=[ξm，cm]=[ka-iΔξ，la-2iΔc]，，0≤k＜2i+1，0≤l＜2i+1，Lt0=6σ(t0) ·fs，fs代表信號(hào)的采樣頻率。

實(shí)際上，對(duì)簡(jiǎn)化Chirplet 字典的二維參數(shù)空間進(jìn)行細(xì)密地全采樣是沒有必要的。待分析的短時(shí)信號(hào)可以表示為二維Chirplet 參數(shù)空間中的一個(gè)點(diǎn)，為了減小字典中的候選原子數(shù)，可以以該短時(shí)信號(hào)對(duì)應(yīng)的Chirplet 參數(shù)為中心，使得字典原子的參數(shù)覆蓋該點(diǎn)附近一定范圍，從而節(jié)省將大量無關(guān)原子納入計(jì)算產(chǎn)生的計(jì)算代價(jià)。實(shí)際運(yùn)用中，短時(shí)信號(hào)各分量對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)化Chirplet 參數(shù)可以通過對(duì)傳統(tǒng)時(shí)頻分析方法所得圖像進(jìn)行分析而實(shí)現(xiàn)粗略估計(jì)，而后，原有的參數(shù)空間

就轉(zhuǎn)變?yōu)榱薑個(gè)子空間的并集，第k個(gè)子空間可表示為

在生成t0時(shí)刻對(duì)應(yīng)的最優(yōu)短時(shí)信號(hào)并建立相應(yīng)的簡(jiǎn)化Chirplet 字典后，短時(shí)信號(hào)可以稀疏表示為

綜上所述，基于ASTCD 的高性能時(shí)頻分布重構(gòu)流程如圖2所示。

圖2 基于ASTCD的高性能時(shí)頻分布重構(gòu)流程Fig.2 Flowchart of the high-performance time-frequency distribution reconstruction based on ASTCD

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本節(jié)通過仿真和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)對(duì)所提方法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。首先，利用所提方法和其他七種時(shí)頻分析方法在不同信噪比下對(duì)同一多分量非平穩(wěn)信號(hào)進(jìn)行處理，對(duì)不同方法的時(shí)頻特性表征能力進(jìn)行比較。七種對(duì)比方法既包括STFT、WVD、自適應(yīng)短時(shí)傅里葉變換（Adaptive Short-Time Fourier Transform，ASTFT）［16］、非線性壓縮時(shí)頻變換（Nonlinear Squeezing Time-Frequency Transform，NSTFT）［17］這四種非稀疏類時(shí)頻分析方法，又包括短時(shí)稀疏表示（Short-Time Sparse Representation，STSR）［18］、Gabor-STFA 以及Chirplet-STFA 這三種稀疏類時(shí)頻分析方法。其次，本文從理論和實(shí)驗(yàn)兩方面對(duì)比了八種方法的計(jì)算性能，驗(yàn)證了所提方法的計(jì)算效率優(yōu)勢(shì)。最后，結(jié)合實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)檢驗(yàn)了所提方法對(duì)真實(shí)非平穩(wěn)信號(hào)的處理能力。

3.1 仿真數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)

仿真信號(hào)由一個(gè)正弦調(diào)頻分量、一個(gè)線性調(diào)頻分量和一個(gè)單頻信號(hào)分量組成，其表達(dá)式為

信號(hào)采樣頻率設(shè)置為1000 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為1024 點(diǎn)，信號(hào)的理論時(shí)頻分布和八種時(shí)頻分析方法所得結(jié)果如圖3所示。為了更清晰地展示不同方法的性能差異，進(jìn)一步給出了九種時(shí)頻分布在0.512 s的縱切面。在實(shí)驗(yàn)中，STFT 使用64 點(diǎn)高斯窗，ASTCD 中的λξ和λc分別設(shè)置為，四種稀疏類時(shí)頻分析方法均采用正交匹配追蹤（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）算法進(jìn)行求解，當(dāng)殘差能量低于輸入信號(hào)能量的1%或字典原子與殘差的相關(guān)系數(shù)低于初始相關(guān)系數(shù)的1 %時(shí)，OMP 算法停止迭代。

圖3 不同方法計(jì)算得到的時(shí)頻分布Fig.3 Time-frequency distributions obtained by different methods

分析圖3 和圖4 所示結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，受限于不確定原理，STFT 所得時(shí)頻分布的譜線展寬十分嚴(yán)重，較低的能量聚集性無法支撐不同分量瞬時(shí)頻率的準(zhǔn)確分辨；由于仿真信號(hào)包含包括正弦調(diào)頻信號(hào)在內(nèi)的三個(gè)分量，WVD 會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的交叉項(xiàng)干擾，無法從所得結(jié)果中進(jìn)行有效的時(shí)頻特征提??；通過使用寬度隨信號(hào)時(shí)頻特性自適應(yīng)變化的窗函數(shù)，ASTFT 獲得了一定的性能提升，但依然無法突破不確定原理的約束；雖然NSTFT 所得時(shí)頻分布具有較高的能量聚集度，但由其切面可知，不同分量之間的幅度關(guān)系未能得到準(zhǔn)確的保留；STSR通過在短時(shí)窗內(nèi)利用傅里葉字典對(duì)信號(hào)進(jìn)行稀疏分解，獲得了遠(yuǎn)超STFT 的能量聚集性，但由于所用單頻原子與非平穩(wěn)信號(hào)之間的模型失配，在各譜線周圍還產(chǎn)生了較多旁瓣；雖然Gabor-STFA 對(duì)單頻信號(hào)分量具有較強(qiáng)的表征能力，但受限于有限個(gè)尺度內(nèi)Gabor 原子與非平穩(wěn)信號(hào)之間較低的特性匹配程度，線性調(diào)頻分量和正弦調(diào)頻分量的時(shí)頻分布均表現(xiàn)為一系列點(diǎn)塊的拼接，準(zhǔn)確度較低；通過對(duì)字典原子施加更為復(fù)雜的頻率調(diào)制，Chirplet-STFA 獲得了對(duì)線性調(diào)頻分量更強(qiáng)的處理能力，但依然無法實(shí)現(xiàn)正弦調(diào)頻分量的精確表征；得益于自適應(yīng)的局部化處理和特殊的時(shí)頻分布重構(gòu)流程，所提方法得到了與信號(hào)理論時(shí)頻分布十分接近的結(jié)果，信號(hào)的能量高度聚集于其瞬時(shí)頻率處，不同分量之間的幅值關(guān)系也得到了準(zhǔn)確表達(dá)。

圖4 不同方法所得時(shí)頻分布在0.512 s的縱切面Fig.4 Longitudinal sections of 0.512 s of the time-frequency distributions obtained by different methods

為分析各方法對(duì)噪聲的敏感性，本文在信噪比（Signal-to-Noise Ratio，SNR）為0 dB的條件下對(duì)（12）中的仿真信號(hào)進(jìn)行了分析，不同方法得到的時(shí)頻分布和0.512 s時(shí)的縱切面如圖5和圖6所示。

圖6 SNR=0 dB條件下不同方法所得時(shí)頻分布在0.512 s的縱切面Fig.6 Longitudinal sections of 0.512 s of the time-frequency distributions obtained by different methods at SNR=0 dB

對(duì)比噪聲環(huán)境下不同時(shí)頻分析方法的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，由于缺乏噪聲抑制能力，STFT、WVD、ASTFT 以及NSTFT 的性能下降較為嚴(yán)重，其中，NSTFT 瞬時(shí)頻譜的譜峰位置都已經(jīng)發(fā)生了改變，無法正確地揭示信號(hào)的時(shí)頻特性。同時(shí)，四種稀疏類時(shí)頻分析方法普遍具有更強(qiáng)的噪聲抑制性能，但STSR 中的譜峰依然受到旁瓣的干擾，Gabor-STFA和Chirplet-STFA 無法實(shí)現(xiàn)非線性調(diào)頻信號(hào)分量的準(zhǔn)確表征。得益于短時(shí)間內(nèi)信號(hào)與Chirplet 原子較高的特性匹配程度，ASTCD 在正確提取信號(hào)分量的同時(shí)實(shí)現(xiàn)了噪聲的有效抑制，在低SNR 條件下依然具有較好性能。

為避免在對(duì)比不同方法性能時(shí)帶入主觀因素，本文引入兩種評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)各種方法的性能進(jìn)行定量評(píng)估。第一種指標(biāo)是所得時(shí)頻分布與信號(hào)理論時(shí)頻分布之間的皮爾遜相關(guān)系數(shù)r，r定量表征了所得時(shí)頻分布與理論時(shí)頻分布之間的相似性，其值越大，代表相似程度越高，對(duì)應(yīng)方法的性能就越好，其計(jì)算表達(dá)式為［19］

其中，P和Pt分別表示實(shí)際求得的信號(hào)時(shí)頻分布與理論時(shí)頻分布，代表P去均值后的向量表示形式與之類似。(·)T和||·||2分別代表向量的轉(zhuǎn)置和2范數(shù)。

第二種指標(biāo)是所得時(shí)頻分布的三階瑞利熵S，S能夠從信息量的角度定量刻畫時(shí)頻分布的能量聚集性，其值越小，代表所得時(shí)頻分布的能量聚集性越高，計(jì)算表達(dá)式為［20］

不同方法所得時(shí)頻分布性能的定量評(píng)估如表1所示，分析其中數(shù)據(jù)可知，無論是無噪聲還是低SNR 條件下，ASTCD 得到的結(jié)果都具有與理論時(shí)頻分布最高的相關(guān)系數(shù)，表明所提方法實(shí)現(xiàn)了最為準(zhǔn)確的時(shí)頻特性表征。此外，盡管NSTFT、Gabor-STFA 和Chirplet-STFA 求得的時(shí)頻分布對(duì)應(yīng)了更低的熵值，但由圖3 和圖5 可知，這是由其結(jié)果中不連續(xù)的時(shí)頻結(jié)構(gòu)和不完整的時(shí)頻信息表達(dá)所帶來的，導(dǎo)致其在相關(guān)系數(shù)上遜色于所提方法。因此，綜合多方面對(duì)比和分析，本文認(rèn)為ASTCD 在八種方法中具有最強(qiáng)的時(shí)頻特征表達(dá)能力。

表1 不同時(shí)頻分布性能的定量評(píng)估Tab.1 Performance evaluation of different time-frequency distributions

3.2 計(jì)算復(fù)雜度

本小節(jié)以一個(gè)N點(diǎn)的數(shù)字信號(hào)為例，分析八種方法計(jì)算其維度為N×N的時(shí)頻分布的計(jì)算復(fù)雜度。

表2 總結(jié)了五種時(shí)頻分析方法的主要計(jì)算步驟，其中，KG和KC分別表示待分析信號(hào)經(jīng)過稀疏分解后對(duì)應(yīng)的Gabor原子和Chirplet原子的數(shù)量。

表2 不同時(shí)頻分析方法的主要步驟Tab.2 Main steps of different time-frequency analysis methods

由表2 可知，STFT、WVD、ASTFT 以及NSTFT 均以傅里葉變換為基礎(chǔ)，其中，STFT、WVD 以及ASTFT 均可由N次長(zhǎng)度為N的快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）實(shí)現(xiàn)，故三者的計(jì)算復(fù)雜度相同，為O(N2log2N)。由兩次STFT 實(shí)現(xiàn)的NSTFT 的計(jì)算量也為O(N2log2N)。OMP 算法的每次循環(huán)都需要計(jì)算信號(hào)與字典原子的內(nèi)積，故對(duì)于字典維度為N×I的稀疏表示問題，OMP 算法單次循環(huán)產(chǎn)生的計(jì)算量為O(NI)。以Lfixed表示STSR所用的固定窗函數(shù)長(zhǎng)度，則所用傅里葉字典維度為L(zhǎng)fixed×N，OMP 算法求解N次局部稀疏表示求解的計(jì)算代價(jià)為O(N2Lfixed)。對(duì)于Gabor-STFA 而言，字典建立、稀疏表示求解、計(jì)算KG個(gè)Gabor 原子的時(shí)頻分布的計(jì)算復(fù)雜度分別O(N2log2N)、O(KGN2log2N)、O(KGN2log2N)。實(shí)際情況下，一般有KG?N，故Gabor-STFA 的計(jì)算復(fù)雜度可表達(dá)為O(N2log2N)。類似地，Chirplet-STFA 的計(jì)算復(fù)雜度為O(N3)。對(duì)于ASTCD 而言，以表示自適應(yīng)窗函數(shù)的平均寬度，M為短時(shí)信號(hào)對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)化Chirplet字典的平均維度，則所提方法的計(jì)算復(fù)雜度可表達(dá)為。在本文參數(shù)條件下，M=K(2λξ+1)(2λc+1)=，故ASTCD的計(jì)算復(fù)雜度為。

表3在總結(jié)八種方法理論計(jì)算復(fù)雜度的基礎(chǔ)上給出了3.1節(jié)仿真實(shí)驗(yàn)中不同方法在無噪聲條件下的實(shí)際運(yùn)行時(shí)間。結(jié)合表中數(shù)據(jù)和前文分析可知，STFT、WVD、ASTFT 以及NSTFT 四種非稀疏類時(shí)頻分析方法在運(yùn)算速度上具有明顯優(yōu)勢(shì)，但其時(shí)頻特性表征能力和魯棒性均弱于稀疏類時(shí)頻分析方法。對(duì)于四種稀疏類時(shí)頻分析方法，Gabor-STFA 和Chirplet-STFA 受限于龐大的字典維度和復(fù)雜的時(shí)頻分布重構(gòu)方式而難以實(shí)現(xiàn)高效運(yùn)算，而通過將全局稀疏表示問題拆解為一系列局部?jī)?yōu)化問題，STSR和ASTCD 能夠有效減小字典維度，在計(jì)算效率上取得了較大進(jìn)步。得益于本文提出的Chirplet 字典設(shè)計(jì)方法，ASTCD 所用Chirplet 字典的維度可以在局部化處理的基礎(chǔ)上再次縮減，因而獲得了四種稀疏類方法中最高的計(jì)算效率。

表3 不同時(shí)頻分析方法的計(jì)算復(fù)雜度和實(shí)際運(yùn)行時(shí)間Tab.3 The computational complexities and execution time of different TFA methods

3.3 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)

理論分析和實(shí)驗(yàn)表明，微動(dòng)目標(biāo)的雷達(dá)回波具有多分量正弦調(diào)頻信號(hào)的形式，是一種典型的強(qiáng)非平穩(wěn)信號(hào)。因此，本小節(jié)利用實(shí)際雷達(dá)系統(tǒng)所采集的微動(dòng)目標(biāo)雷達(dá)回波對(duì)所提方法的實(shí)用效果進(jìn)行驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景如圖7 所示，回波數(shù)據(jù)錄取在微波暗室中進(jìn)行，所用雷達(dá)系統(tǒng)的載頻為220 GHz，脈沖重復(fù)頻率為1000 Hz，觀測(cè)時(shí)長(zhǎng)為8.2 s，觀測(cè)目標(biāo)為由二維精密轉(zhuǎn)臺(tái)驅(qū)動(dòng)的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)角反射器，旋轉(zhuǎn)半徑分別為24 cm和16 cm，轉(zhuǎn)速為11 r/min。

圖7 實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景Fig.7 Overview of the experimental scene

圖8 展示了STFT、WVD、ASTFT、NSTFT、STSR以及ASTCD 六種方法對(duì)回波信號(hào)的處理結(jié)果，圖9進(jìn)一步給出了六種時(shí)頻分布在3 s 時(shí)的縱切面。需要說明的是，由于實(shí)測(cè)信號(hào)序列較長(zhǎng)，Gabor 字典與Chirplet 字典的維度較高，導(dǎo)致Gabor-STFA 與Chirplet-STFA 兩種方法的計(jì)算代價(jià)過大，難以得到相關(guān)分析結(jié)果。

圖8 微動(dòng)目標(biāo)雷達(dá)回波的時(shí)頻分布Fig.8 Time-Frequency distributions of the radar echo of the micro-motion target

圖9 不同方法所得時(shí)頻分布在3 s的縱切面Fig.9 Longitudinal sections of 3 s of the time-frequency distributions obtained by different methods

對(duì)比圖8 和圖9 所示結(jié)果可知，相比于其他五種方法，ASTCD 在不引入任何交叉項(xiàng)的同時(shí)實(shí)現(xiàn)了信號(hào)時(shí)頻分布能量聚集性的有效提升，相比于STFT和WVD 能夠更為準(zhǔn)確地表征信號(hào)的時(shí)頻特征。盡管在強(qiáng)分量和弱分量同時(shí)存在的區(qū)間內(nèi)，弱分量的時(shí)頻特征未能得到顯著表達(dá)，但隨著稀疏求解算法的進(jìn)一步發(fā)展，該問題有望得到解決。由于本實(shí)驗(yàn)在微風(fēng)環(huán)境下進(jìn)行，因此目標(biāo)在進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的同時(shí)還受到了微小的振動(dòng)干擾，雖然這一振動(dòng)僅為毫米級(jí)，但由于雷達(dá)載頻較高，仍然造成了信號(hào)時(shí)頻分布曲線的微小形變。借由ASTCD 提供的高性能時(shí)頻分布，能夠更為精準(zhǔn)地估計(jì)振動(dòng)參數(shù)并進(jìn)行干擾補(bǔ)償，對(duì)高頻段雷達(dá)的微動(dòng)目標(biāo)特征提取和成像具有重要意義［21］。

4 結(jié)論

本文提出了基于ASTCD 的高性能時(shí)頻分布重構(gòu)方法，該方法融合了自適應(yīng)短時(shí)時(shí)頻分析和Chirplet分解的優(yōu)勢(shì)，通過自適應(yīng)窗保證了短時(shí)信號(hào)在Chirplet 字典上的稀疏性，提出了Chirplet 字典的簡(jiǎn)化方法以提高運(yùn)算效率，并運(yùn)用新的時(shí)頻信息解譯方法實(shí)現(xiàn)了信號(hào)每一時(shí)刻瞬時(shí)頻譜的準(zhǔn)確求解和高性能時(shí)頻分布的重構(gòu)。仿真實(shí)驗(yàn)表明，所提方法能夠獲得信號(hào)無交叉項(xiàng)的高性能時(shí)頻分布，同時(shí)具有較高運(yùn)算效率。此外，本文還利用實(shí)際雷達(dá)系統(tǒng)開展了實(shí)驗(yàn)測(cè)量，通過對(duì)微動(dòng)目標(biāo)的雷達(dá)回波進(jìn)行處理，進(jìn)一步驗(yàn)證了所提方法對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)時(shí)頻特征的精準(zhǔn)表征能力和應(yīng)用潛力。