自建紋影成像技術(shù)測(cè)量超聲波波長(zhǎng)

瞿嘉宇， 李沐旭， 黃河清， 辛 程， 劉升光

（1.大連理工大學(xué)基礎(chǔ)物理國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，遼寧大連 116024；2.青島理工大學(xué)理學(xué)院，山東青島 266520）

0 引 言

超聲波是一種頻率大于20 kHz，可在氣態(tài)、液態(tài)和固態(tài)物質(zhì)中傳播，并含有聲壓、聲阻抗、聲功率和聲波波長(zhǎng)等聲學(xué)量的機(jī)械波。聲學(xué)量的定量測(cè)量是超聲無(wú)損檢測(cè)、超聲定位、超聲懸浮和超聲成像等科研實(shí)驗(yàn)和工業(yè)技術(shù)的基礎(chǔ)。并且，聲學(xué)量的定量測(cè)量在科學(xué)研究、醫(yī)療健康和工程制作等方面也有普遍應(yīng)用。其中，聲波波長(zhǎng)作為重要的聲學(xué)量之一，在火箭材料塑化程度檢測(cè)、溶液濃度測(cè)量和太赫茲技術(shù)應(yīng)用等領(lǐng)域具有重要意義［1-3］。目前為止，已有多種常用的定量測(cè)量超聲波波長(zhǎng)的方法，鄔佳璐等［3］敘述了基于邁克爾遜干涉原理測(cè)量太赫茲輻射波長(zhǎng)的實(shí)驗(yàn)方法，但是邁克爾遜干涉法的光路搭建復(fù)雜且實(shí)驗(yàn)儀器精度要求高，同時(shí)平臺(tái)位移量的不穩(wěn)定性所引入的誤差會(huì)導(dǎo)致需要對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行多次修正。彭國(guó)華等［4］研究了通過(guò)單縫衍射來(lái)測(cè)量超聲波波長(zhǎng)，測(cè)量結(jié)果雖然可通過(guò)讀取接收裝置轉(zhuǎn)動(dòng)角度進(jìn)一步計(jì)算得出，但波形峰值極小值點(diǎn)選取的主觀性和單縫衍射圖像的模糊程度都會(huì)對(duì)超聲波波長(zhǎng)的測(cè)量結(jié)果造成較大誤差。

紋影成像技術(shù)作為一種非接觸式、高精度的流場(chǎng)觀測(cè)方法，可以有效彌補(bǔ)上述超聲波波長(zhǎng)測(cè)量方法的缺點(diǎn)。目前，紋影成像技術(shù)已被廣泛應(yīng)用于氣體的噴流速度、微型航空發(fā)動(dòng)機(jī)尾噴溫度場(chǎng)、對(duì)流換熱系數(shù)和爆炸沖擊波圖像的研究。張津碩等［5］利用紋影圖像研究了氣體噴流的動(dòng)態(tài)演化規(guī)律，于之靖等［6］采用紋影法觀測(cè)實(shí)驗(yàn)室微型渦噴發(fā)動(dòng)機(jī)尾噴區(qū)域溫度場(chǎng)分布，彭力等［7］提出基于密度梯度和溫度梯度的可視化紋影圖像來(lái)測(cè)量水平圓管自然對(duì)流換熱系數(shù)，鄭星等［8］基于反射式紋影成像原理獲取爆炸沖擊波的速度信息?？梢?jiàn)，紋影成像技術(shù)在流場(chǎng)可視化觀察和物理量測(cè)量方面具有諸多優(yōu)勢(shì)，能在非接觸條件下獲取流場(chǎng)空間分布的紋影圖像，并相較于其他觀測(cè)方法具有更精密的觀測(cè)結(jié)果，可以更好地展現(xiàn)被測(cè)流場(chǎng)空間分布隨時(shí)間演化的諸多細(xì)節(jié)。

本文提出通過(guò)聲懸浮裝置產(chǎn)生穩(wěn)定的駐波聲場(chǎng)，并結(jié)合COMSOL有限元軟件數(shù)值計(jì)算出駐波圖像分布均勻、波腹數(shù)量多、便于超聲波波長(zhǎng)的測(cè)量的聲波頻率，并探究該頻率下聲場(chǎng)對(duì)于裝置所處的空氣域的影響，進(jìn)而利用自建紋影成像系統(tǒng)獲取該頻率下的實(shí)驗(yàn)駐波圖像，對(duì)超聲波波長(zhǎng)進(jìn)行定量測(cè)量研究，分析實(shí)驗(yàn)駐波圖像和計(jì)算駐波圖像差異以及測(cè)量誤差的產(chǎn)生因素。

1 實(shí)驗(yàn)原理及裝置

1.1 自建紋影成像實(shí)驗(yàn)裝置

圖1 所示為基于紋影成像技術(shù)的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，紋影成像技術(shù)的基本原理為光在經(jīng)過(guò)折射率不均勻的介質(zhì)時(shí)會(huì)發(fā)生偏折，偏折部分的圖像亮度將會(huì)下降，形成陰影［9］。

圖1 基于紋影成像技術(shù)的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

圖2 所示為自建紋影成像光路系統(tǒng)示意圖，點(diǎn)光源發(fā)出的光束經(jīng)準(zhǔn)直凹面鏡反射后會(huì)聚成像斑，在相機(jī)中形成紋影圖像。準(zhǔn)直凹面鏡前方的區(qū)域?yàn)榇郎y(cè)的非均勻流場(chǎng)。由于流場(chǎng)中折射率具有不均勻性，當(dāng)光線經(jīng)過(guò)非均勻流場(chǎng)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生偏折。而光線的偏折將進(jìn)一步導(dǎo)致紋影圖像的變化，從而產(chǎn)生具有明暗相間特點(diǎn)的紋影圖像［10］。

圖2 自建紋影成像光路系統(tǒng)示意圖

1.2 聲懸浮裝置

聲懸浮的基本原理是借助2 列同幅同頻、反向傳播的超聲波疊加形成駐波，形成聲輻射壓力，進(jìn)而改變空氣中氣體粒子的空間分布。當(dāng)聲輻射壓力與重力平衡時(shí)，可實(shí)現(xiàn)懸浮。

假設(shè)駐波聲場(chǎng)初始入射波為正弦形式，則有：

則疊加后所產(chǎn)生的駐波聲場(chǎng)為，

聲懸浮裝置通常采用一定數(shù)量的超聲波聲源，這些聲源產(chǎn)生的超聲波能夠在空間中特定位置疊加形成強(qiáng)度一定的駐波，在物體表面產(chǎn)生與聲波傳播方向相同的壓力，即聲輻射壓力［11］。聲輻射壓力具有簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中回復(fù)力的物理特性，當(dāng)物體偏離平衡位置時(shí)，會(huì)產(chǎn)生回到平衡位置的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)?？臻g中物體表面所受的聲輻射壓力可用微分形式表示：

式中：F為聲輻射壓力；p為聲壓；ρa(bǔ)為聲場(chǎng)中介質(zhì)密度；u為超聲波在介質(zhì)中的聲速；v為聲場(chǎng)中介質(zhì)粒子的運(yùn)動(dòng)速率?？梢缘贸?，聲輻射壓力和介質(zhì)密度成正相關(guān)關(guān)系。

本實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的聲懸浮裝置為雙凹球面。圖3 所示為利用COMSOL軟件建立的聲懸浮裝置模型圖，聲懸浮聚焦點(diǎn)為中心位置，壓電陶瓷探頭分別放置在上下2 個(gè)凹球面上，并呈環(huán)狀對(duì)稱分布［12］。

圖3 雙凹球面的聲懸浮裝置建模示意圖

根據(jù)相控聚焦原理［13］，建立聲源間的相對(duì)相位關(guān)系，使得裝置產(chǎn)生固定的聲懸浮聚焦點(diǎn)。其表達(dá)式為

式中：t為任意兩聲源信號(hào)相對(duì)時(shí)延大?。沪為兩聲源信號(hào)到聲懸浮聚焦點(diǎn)的距離差；u為空氣域中聲速。若t超過(guò)了超聲波的最小周期T，由于聲源信號(hào)提前t與延遲T-t的控制效果一致，可約定t使其始終在超聲波的最小周期T之內(nèi)，故有：

式中，n為自然數(shù)。通過(guò)控制每個(gè)聲源信號(hào)的時(shí)延t，可以實(shí)現(xiàn)聲源信號(hào)傳播到聲懸浮聚焦點(diǎn)時(shí)處于同一相位，從而聲場(chǎng)可在聲懸浮聚焦點(diǎn)附近實(shí)現(xiàn)疊加。

1.3 聲場(chǎng)數(shù)值模擬

由COMSOL有限元軟件數(shù)值計(jì)算模擬聲懸浮裝置在不同頻率下產(chǎn)生的聲場(chǎng)，得出聲場(chǎng)的理論駐波圖像，從而對(duì)聲場(chǎng)的特性進(jìn)行分析。基于實(shí)驗(yàn)所用的聲懸浮裝置具有關(guān)于裝置主軸對(duì)稱的特點(diǎn)，可將三維聲懸浮裝置簡(jiǎn)化為二維包含主軸的截面進(jìn)行處理，以達(dá)到簡(jiǎn)化模型計(jì)算的目的。

由裝置截面所建立的二維模型如圖4 所示，模型主體由2 個(gè)半徑100 mm、扇形角為70°的凹球面組成，其中各個(gè)獨(dú)立的壓電陶瓷探頭以x-y坐標(biāo)軸原點(diǎn)中心對(duì)稱分布。

圖4 二維模型圖

在數(shù)值計(jì)算模擬中，選用壓力聲學(xué)模塊頻域接口和流體流動(dòng)顆粒追蹤接口進(jìn)行模擬。在接口中，設(shè)置平面波輻射邊界條件來(lái)模擬聲懸浮裝置的開放邊界，設(shè)置網(wǎng)格單元大小為極細(xì)化得到精密的聲場(chǎng)聲學(xué)量理論圖像和空氣域中粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圖像，添加聲泳輻射力、重力和曳力模擬粒子在聲場(chǎng)中的受力情況，并選擇空氣作為聲波的傳播介質(zhì)。

對(duì)于超聲波聲源，利用壓力聲學(xué)模塊頻域接口對(duì)壓電陶瓷探頭附件的壓力進(jìn)行建模，從而求解聲場(chǎng)的Helmholtz方程并進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。由頻域接口方程，可得壓電陶瓷探頭的總域源

式中：?為哈密頓算子，pt為聲場(chǎng)總聲壓；ρa(bǔ)為傳播介質(zhì)的密度；qr為偶極域源極矩為超聲波的等效波矢，ω ＝2πf為聲波的角頻率，f為聲波頻率；u為聲速；kz為空間直角坐標(biāo)系z(mì)軸方向的波矢。由于壓電陶瓷探頭的域源可視為單極域源，因此偶極域源項(xiàng)qr為0；并且二維模型位于x-y平面，z軸方向的波矢kz也為0。可將式（6）化簡(jiǎn)為

對(duì)于空間坐標(biāo)系中任意一個(gè)壓電陶瓷探頭的域源Qm可用Dirac函數(shù)［14］表示為

式中：rm為任意一個(gè)壓電陶瓷探頭在空間坐標(biāo)系中的位置，r為空間中任意一點(diǎn)的位置坐標(biāo)，σm為任意一個(gè)壓電陶瓷探頭域源流出的聲場(chǎng)強(qiáng)度。利用Green 函數(shù)G（r）求解Helmholtz方程可得：

而模型凹球面在空間中任意一點(diǎn)產(chǎn)生的總聲壓等于各壓電陶瓷探頭域源Qm輻射聲壓之和，即：

通過(guò)ρa(bǔ)G和∑Qm的卷積可解出在空間內(nèi)任意一點(diǎn)產(chǎn)生的總聲壓

由此，可選擇單極點(diǎn)源模擬理想情況下的壓電陶瓷探頭域源的輻射聲壓產(chǎn)生情況。

根據(jù)裝置所處的實(shí)驗(yàn)環(huán)境溫度，設(shè)置聲速u＝343 m／s，選取位于上凹球面裝置主軸處的單極點(diǎn)源作為基準(zhǔn)信號(hào)，通過(guò)設(shè)定各單極點(diǎn)源間的相對(duì)相位關(guān)系，以使裝置聲懸浮聚焦點(diǎn)位于x-y坐標(biāo)軸原點(diǎn)處，并在空氣域中加入固體粒子用以模擬聲場(chǎng)中氣體粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡變化規(guī)律。最后，通過(guò)改變聲波頻率來(lái)研究不同頻率下裝置中聲場(chǎng)的物理特征。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

使用COMSOL有限元軟件數(shù)值計(jì)算模擬聲懸浮裝置在不同聲波頻率下產(chǎn)生的聲場(chǎng)，得到聲場(chǎng)的總聲壓圖像，即計(jì)算駐波圖像，部分圖像如圖5 所示。

圖5 不同頻率下有限元計(jì)算駐波圖（表面總聲壓：Pa）

通過(guò)有限元數(shù)值計(jì)算模擬分析不同聲波頻率下聲場(chǎng)內(nèi)聲壓分布，由圖5 可知，當(dāng)f＜40 kHz 時(shí)，聲場(chǎng)內(nèi)理論駐波圖像在裝置主軸附近區(qū)域的波腹數(shù)量較少，不利于后續(xù)對(duì)紋影圖像中測(cè)量位置的選取，會(huì)導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)量點(diǎn)數(shù)量減少，增大波長(zhǎng)測(cè)量結(jié)果的誤差；當(dāng)f＞40 kHz時(shí)，聲場(chǎng)內(nèi)駐波分布更加密集，聲懸浮聚焦點(diǎn)附件的聲壓強(qiáng)度更高，但其余區(qū)域聲壓強(qiáng)度較弱，并且波腹的有效測(cè)量區(qū)域?qū)挾雀鼮榫o窄，邊界范圍的漲落產(chǎn)生的影響更大，不利于裝置駐波紋影圖像的觀察和測(cè)量；而f＝40 kHz 時(shí)，駐波圖像分布均勻、波腹數(shù)量多，并且波腹的有效測(cè)量區(qū)域?qū)挾容^寬，便于超聲波波長(zhǎng)的測(cè)量。因此，選擇f＝40 kHz 時(shí)的紋影圖像進(jìn)行觀測(cè)。

圖6 所示為f＝40 kHz 時(shí)，聲場(chǎng)中粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡隨時(shí)間τ 演化的圖像。從圖6 可見(jiàn)，τ ＝0 時(shí)，粒子均勻分布；當(dāng)聲源開始工作后，粒子受聲泳輻射力、重力和曳力的作用開始運(yùn)動(dòng)；比較τ ＝0.1 和0.3 s時(shí)聲場(chǎng)中粒子分布區(qū)域，可以發(fā)現(xiàn)粒子分布范圍明顯向聲場(chǎng)中波腹位置收攏；在τ ＝1.5 s 時(shí)，粒子分布和駐波圖像基本一直，已處于動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)。

圖6 40 kHz頻率下粒子運(yùn)動(dòng)軌跡

借助固體粒子對(duì)聲場(chǎng)中氣體粒子的模擬，探究聲場(chǎng)對(duì)于裝置所處的空氣域的影響。由于空氣中u遠(yuǎn)大于v［15］，則超聲波聲源產(chǎn)生駐波聲場(chǎng)所需時(shí)間遠(yuǎn)小于氣體粒子處于動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)所需時(shí)間，可認(rèn)為當(dāng)氣體粒子均勻分布情況未改變時(shí)，駐波聲場(chǎng)已經(jīng)形成并穩(wěn)定。本文研究表明，氣體粒子在聲泳輻射力、重力和曳力的共同作用下，不再在全空氣域內(nèi)均勻分布，而是逐漸向聲場(chǎng)中波腹位置移動(dòng)，并且聲場(chǎng)中聲壓值高的區(qū)域粒子分布更為密集；在聲源輻射聲壓產(chǎn)生1 s后，粒子基本在駐波波腹區(qū)域處于動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)，從而使空氣域中介質(zhì)按照聲場(chǎng)駐波模式非均勻分布。這種非均勻介質(zhì)分布模式使得經(jīng)過(guò)0.6 mm光闌處理的LED光源的光線通過(guò)空氣域后，受空氣域內(nèi)折射率梯度的影響，能產(chǎn)生可視化聲場(chǎng)駐波的紋影圖像。

圖7 所示為利用自建紋影成像系統(tǒng)獲得的f＝40 kHz的實(shí)驗(yàn)駐波圖像和數(shù)值計(jì)算出的計(jì)算駐波圖像。相比計(jì)算駐波圖像，可以發(fā)現(xiàn)在裝置主軸附近區(qū)域圖像紋影強(qiáng)烈、細(xì)節(jié)明顯，而邊緣區(qū)域則紋影較弱。在計(jì)算駐波圖像中輻射聲壓高的區(qū)域，紋影明顯且波腹紋影有效寬度和計(jì)算寬度接近；在輻射聲壓低的區(qū)域，紋影偏弱甚至沒(méi)有。導(dǎo)致這一關(guān)系結(jié)果的主要因素為空氣域中介質(zhì)按照聲場(chǎng)駐波模式非均勻分布。氣體粒子由于受聲泳輻射力、重力和曳力共同作用，在空氣域中的分布情況和聲場(chǎng)的輻射聲壓成正相關(guān)關(guān)系，并且空氣域中局部的有效折射率和該局域內(nèi)的氣體粒子數(shù)密度也為正相關(guān)關(guān)系，又由于光線傳播總著向折射率梯度為正的方向彎折，因此紋影產(chǎn)生區(qū)域和聲場(chǎng)的計(jì)算聲壓數(shù)值相對(duì)應(yīng)。

圖7 40 kHz頻率下駐波圖像

圖8 所示為經(jīng)Photoshop 軟件處理并經(jīng)“標(biāo)尺”的實(shí)驗(yàn)駐波圖像。首先在實(shí)驗(yàn)駐波圖像中選取9 個(gè)測(cè)量點(diǎn)（見(jiàn)圖中x1～x9），再借助軟件標(biāo)定測(cè)量點(diǎn)的間距長(zhǎng)度，通過(guò)最小二乘法獲得擬合曲線，其中擬合曲線斜率k為紋影圖像中波長(zhǎng)長(zhǎng)度的1／2，最后根據(jù)聲懸浮裝置上下凹球面間距H和圖片中上下凹球面間距L的比例關(guān)系，即

圖8 不同位置下實(shí)驗(yàn)測(cè)得駐波經(jīng)軟件處理后的圖像

可測(cè)得超聲波波長(zhǎng)λ。圖9 所示為不同測(cè)量位置對(duì)應(yīng)的超聲波波長(zhǎng)測(cè)量結(jié)果。當(dāng)測(cè)量位置為波腹上邊界時(shí)，波長(zhǎng)λa＝0.844 7 cm；當(dāng)測(cè)量位置為波腹下邊界時(shí)，波長(zhǎng)λb＝0.849 9 cm。同在u＝343 m／s 和f＝40 kHz 環(huán)境下的數(shù)值計(jì)算值λ′＝0.857 5 cm 相比，波腹上邊界的誤差ξa＝；波腹下邊界的誤差ξb＝。測(cè)量結(jié)果之所以會(huì)產(chǎn)生漲落，是因?yàn)闅怏w粒子在聲場(chǎng)聲壓極大值處的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)會(huì)對(duì)測(cè)量邊界位置帶來(lái)浮動(dòng)，使得有效測(cè)量范圍發(fā)生變化，從而導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)駐波圖像中級(jí)數(shù)相同的波腹同主軸的交點(diǎn)到懸浮聚焦點(diǎn)的距離并不相同。

圖9 不同測(cè)量位置的波節(jié)數(shù)與超聲波波長(zhǎng)關(guān)系曲線

3 結(jié) 語(yǔ)

本文設(shè)計(jì)并搭建了一套基于紋影成像技術(shù)的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，由紋影成像系統(tǒng)和可產(chǎn)生穩(wěn)定駐波的聲懸浮裝置構(gòu)成。通過(guò)COMSOL 軟件的數(shù)值計(jì)算模擬與實(shí)驗(yàn)測(cè)量，結(jié)果表明：波腹上邊界的誤差＝1.492 7%；波腹下邊界的誤差＝0.886 3%，測(cè)量結(jié)果誤差較小。該研究成果可對(duì)超聲波可視化成像，為聲學(xué)量測(cè)量提供圖像觀測(cè)，對(duì)超聲波的應(yīng)用有著重要的參考價(jià)值。