方格紙中發(fā)現(xiàn)勾股定理

趙維坤 整理

據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，公元前11世紀(jì)，我們的祖輩就在生產(chǎn)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)了“勾三股四弦五”的結(jié)論，這種結(jié)論用數(shù)學(xué)語言可以表述為：如果取勾的長度為3個(gè)單位，股的長度為4個(gè)單位，連結(jié)勾股兩端的這條“弦”的長度恰好為5個(gè)單位，那么勾、股兩條邊一定相互垂直。這就是我們常說的“商高定理”（其實(shí)是勾股定理的逆定理）。

古人利用這個(gè)結(jié)論制造出了標(biāo)準(zhǔn)的測量工具——“矩”。有了“矩”，我們就能進(jìn)行準(zhǔn)確的測量。

今天，我們利用方格紙來重新發(fā)現(xiàn)勾股定理。

我們記下列圖形中每個(gè)小方格的邊長都為1。

首先，我們在方格紙中畫出2條直角邊長分別為1、2的直角三角形（如圖1）。通過計(jì)算圖中3個(gè)正方形的面積，我們能發(fā)現(xiàn)，直角三角形（陰影部分）的兩直角邊a、b和斜邊c之間的關(guān)系：c2=2ab+1及a2+b2=c2。

繼續(xù)畫直角三角形（圖2—圖4），這兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？

要說明這兩個(gè)結(jié)論正確與否，我們還要進(jìn)行一般化證明。

把上圖中的小方格背景撤去，并且隱去a、b的具體數(shù)值，在一般的直角三角形ABC中，已知∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c，a2+b2=c2是否同樣成立？（可以利用剛才計(jì)算斜邊上正方形面積的方法證明這一命題的正確性。）

（作者單位：江蘇省鹽城市毓龍路實(shí)驗(yàn)學(xué)校）