數(shù)學(xué)模型在現(xiàn)代農(nóng)業(yè)中的應(yīng)用研究

黃 冉

(成都農(nóng)業(yè)科技職業(yè)學(xué)院 四川,成都 610000)

1 數(shù)學(xué)模型相關(guān)介紹

數(shù)學(xué)模型是建立在實際問題的基礎(chǔ)上,通過抽象和簡化處理的一種模型結(jié)構(gòu),構(gòu)成數(shù)學(xué)模型的元素有數(shù)學(xué)符號、函數(shù)、流程、公式和圖形等。國內(nèi)外相關(guān)研究對數(shù)學(xué)模型技術(shù)在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的應(yīng)用結(jié)構(gòu)和應(yīng)用策略,以及數(shù)學(xué)模型技術(shù)在農(nóng)業(yè)分析中的應(yīng)用進行了探討。運用數(shù)學(xué)模型,同時借鑒農(nóng)業(yè)原理及技術(shù)手段,討論了數(shù)學(xué)建模在現(xiàn)代農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中研究的重要意義。

我國的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)發(fā)展已從傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)過渡轉(zhuǎn)型為現(xiàn)代農(nóng)業(yè)。糧食安全、氣候預(yù)測、作物生長、土壤治理、病蟲害防治、農(nóng)產(chǎn)品銷售等都是現(xiàn)代農(nóng)業(yè)發(fā)展中亟待解決的問題,數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用恰好解決了這些問題。將數(shù)學(xué)建模方法和編程技術(shù)用于農(nóng)業(yè)中的氣候、土壤、施肥、植物等主要因素的分析,研究農(nóng)業(yè)問題的定量規(guī)律的過程中形成了農(nóng)業(yè)模型的概念。農(nóng)業(yè)模型是農(nóng)業(yè)科研與業(yè)務(wù)、以及生產(chǎn)決策的有力工具。農(nóng)業(yè)數(shù)學(xué)模型包括生產(chǎn)優(yōu)化模型、土壤水肥模型、氣象模型、病蟲害預(yù)測模型、作物生長模型等不同方面,模型具有不可替代的“解釋、預(yù)測和控制”重要功能,它有助于人們認(rèn)識和理解事物的發(fā)展規(guī)律與量化關(guān)系,進行判斷預(yù)測,促進農(nóng)業(yè)的可持續(xù)發(fā)展。

2 現(xiàn)代農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中常用的數(shù)學(xué)模型研究分析

2.1 線性規(guī)劃模型

在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中,由于資源的有限性,如何合理配置有限資源,實現(xiàn)農(nóng)業(yè)高產(chǎn)高效是一個重要問題。很多農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的問題,如生產(chǎn)結(jié)構(gòu)的調(diào)整、飼料配方、作物的布局等,都能利用線性規(guī)劃的方法解決,解決農(nóng)業(yè)生產(chǎn)問題的關(guān)鍵是建立線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型,運用數(shù)學(xué)方法求解出問題的最優(yōu)解。特別是在計算機能處理成千上萬個約束條件和決策變量的線性規(guī)劃問題之后,線性規(guī)劃的適用領(lǐng)域更為廣泛了,已成為現(xiàn)代農(nóng)業(yè)管理中經(jīng)常采用的基本方法之一。

線性規(guī)劃是進行農(nóng)業(yè)生產(chǎn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化的一種常見的定量分析方法,通過組合生產(chǎn)函數(shù)和一些條件因素,用數(shù)學(xué)方法建立約束條件,并建立生產(chǎn)成本或銷售利潤的目標(biāo)函數(shù),使得農(nóng)業(yè)生產(chǎn)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求目標(biāo)函數(shù)在一定約束條件下的極值的數(shù)學(xué)方法。

任一農(nóng)業(yè)生產(chǎn)線性規(guī)劃模型都由目標(biāo)函數(shù)和約束條件組成,目標(biāo)函數(shù)及約束條件均為線性函數(shù),故被稱為線性規(guī)劃問題。線性規(guī)劃問題是在一組線性約束條件的限制下,求一線性目標(biāo)函數(shù)最大或最小的問題,可表示為

(1)

(2)

上式中,Xj是生產(chǎn)活動的數(shù)量,也叫線性規(guī)劃問題的決策變量,bi是限制生產(chǎn)要素的數(shù)量,aij是生產(chǎn)要素的投入產(chǎn)出系數(shù)或單位消耗系數(shù),即生產(chǎn)每單位的Xj要消耗多少bi,Cj是目標(biāo)函數(shù)系數(shù)。

公式(1)和公式(2)是農(nóng)業(yè)生產(chǎn)線性問題的標(biāo)準(zhǔn)型,公式(1)中,Z是目標(biāo)函數(shù),它表示所得利潤或者生產(chǎn)成本,線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)可以是最大值,也可以是最小值,要解決的目標(biāo)問題是使得利潤函數(shù)取最大值(max),或者生產(chǎn)成本函數(shù)取得最小值(min),目標(biāo)函數(shù)由對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)Cj與生產(chǎn)活動的數(shù)量的Xj乘積總和。(2)式為決策變量所受的約束條件,也是問題的約束條件。約束條件為不等式,約束條件的不等號可以是小于號,也可以是大于號,對不等號“≤(≥)”的約束條件,則在“≤(≥)”的左端加上(或減去)一個非負變量(稱為松弛變量)使其變?yōu)榈仁健?/p>

滿足約束條件公式(2)的解x=[x1,x2,…,xn]稱為線性規(guī)劃問題的可行解,使目標(biāo)函數(shù)式(1)達到最大值或最小值的解叫最優(yōu)解。所有可行解構(gòu)成的集合稱為問題的可行域。

在解決實際問題時,把問題歸結(jié)成一個線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型是很重要的一步,往往也是很困難的一步,模型建立得是否恰當(dāng),直接影響到求解。而選適當(dāng)?shù)臎Q策變量Xj,是建立有效模型的關(guān)鍵之一。

2.2 線性回歸分析模型

線性回歸分析法是一種常見的統(tǒng)計分析方法,在農(nóng)業(yè)方面有廣泛的應(yīng)用。線性回歸分析法是通過對農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的一些環(huán)境因素和這些環(huán)境因素與產(chǎn)量間的關(guān)系來分析實際農(nóng)業(yè)生產(chǎn)趨勢,對生產(chǎn)的這些要素進行優(yōu)化,進而發(fā)揮行之有效的作用,達到預(yù)測未來的發(fā)展趨勢和農(nóng)作物產(chǎn)量的目的,進而指導(dǎo)農(nóng)業(yè)生產(chǎn),保持農(nóng)業(yè)發(fā)展的穩(wěn)定性和長期性。

我國水稻種植歷史悠久源長,是水稻種植大國,有秈稻和粳稻兩種類型。由于氣候和環(huán)境的持續(xù)影響,許多農(nóng)作物面臨了病害問題,主要有紋枯病和稻瘟病等病害。隨著數(shù)學(xué)模型在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)發(fā)展中的廣泛應(yīng)用,專業(yè)人士針對水稻種植的病害的問題,構(gòu)建了水稻主要病害預(yù)測的多元線性回歸模型和農(nóng)藥施肥效果分析的多元線性回歸模型。這對于做好病害的預(yù)測和防治工作有重要意義,不僅能有效地提高水稻產(chǎn)量和質(zhì)量,實現(xiàn)種植的高產(chǎn)高效;同時農(nóng)藥的合理使用也能保障糧食生產(chǎn)的安全。

2.2.1 作物施肥效果分析模型

利用線性回歸分析的方法可以研究農(nóng)藥的施肥量和農(nóng)作物產(chǎn)量之間的關(guān)系,由某地某種農(nóng)作物的生長情況,分析所施肥的肥料因素對作物生長的作用,有利于農(nóng)作物增產(chǎn),以此預(yù)測收益收成。

若某個地區(qū)的某種作物生長需要氮、磷、鉀等幾種營養(yǎng)素,當(dāng)其中一種營養(yǎng)素的施肥量發(fā)生變化,而其他幾種營養(yǎng)素的施肥量保持在某個水平不變時,要分析施肥量與作物產(chǎn)量之間的關(guān)系,最后對分析結(jié)果需如何改進作出評估。

研究隨機變量之間的關(guān)系可以采用回歸分析方法。作物生長過程中,僅研究單一變化的施肥量與作物產(chǎn)量的關(guān)系,可以采用一元線性回歸模型進行分析。一元線性回歸模型的一般形式為η(x)=β0+β1x,并設(shè)觀察值為y:

y=β0+β1x+ε

(3)

上式中,β0,β1是未知的待定常數(shù),稱為回歸系數(shù)。x是回歸變量,ε是隨機因素對響應(yīng)變量y所產(chǎn)生的影響,即隨機誤差,它們都是隨機變量。總是假設(shè)數(shù)學(xué)期望E(ε)=0,方差D(ε)=σ2,也就是ε～N(0,σ2),隨機變量ε服從正態(tài)分布,隨機變量y服從正態(tài)分布N(β0+β1x,σ2),求解出方程的解,確定施肥量與作物產(chǎn)量的關(guān)系,再用最小二乘法對分析結(jié)果的改進作出評估。

2.2.2 水稻病害預(yù)測模型

針對水稻生長過程中常見的紋枯病和稻瘟病,可建立多元線性回歸模型[4]進行預(yù)測。模型與四個因子有關(guān),分別是病害始見期早晚(RD),病害等級(RQ),病害發(fā)展期的溫度指數(shù)(RT1),以及病害發(fā)展期降水指數(shù)(RRI)。每個因子都有以下相關(guān)的經(jīng)驗式計算,通過數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化處理后,再建立預(yù)測模型。

病害始見期早晚(RD):病害始見期發(fā)生越早,對水稻產(chǎn)生的危害越大,故RD由下式計算:

RD=25-2.5×DNI12

(4)

上式中,是某年某種病害初見期的距平值(d),當(dāng)若DNI12>8(d),則令RD=5(d)。

病害等級由下式計算:

RQ=15+7.2×TRQ

(5)

上式中,TRQ在稻瘟病中是病害分布等級(D)和病斑等級(E)的和,在紋枯病中,TRD是雨量等級(W)和病穴加速率的等級(R)的和。稻瘟病的病斑等級(E)有四種,分別是褐點型、慢性型、白點型、急性型。稻瘟病害分布等級通過每畝稻田的發(fā)病中心數(shù)(S)定義:S<5時,D=1;5≤S<10時,D=2;S≥10時,D=3。若用戶缺少病害資料,取D=2。紋枯病病穴增加速率等級(R)是:一旬內(nèi)R的增加量(U)小于5%時,R=1;增量U[5%10%]時,R=2;增量大于10%時,R=3。雨量等級(W):由預(yù)測前20d的雨量和常年同期雨量比較來下定義,如果比常年少了超過25%,則定義W=1;如果比常年多了超過25%,則W=3;如果前者與后者的比值在兩個范圍之間,則W=2。

病害發(fā)展期的溫度指數(shù)(RT1):溫度指數(shù)(RT1)是病害發(fā)展期的平均氣溫(RT)的函數(shù),用以下公式計算:

(6)

病害發(fā)展期的降水指數(shù)(RR1):(RR1)由下式計算:

RR1=34×RR/NR

(7)

式中,RR是當(dāng)年的病害發(fā)展期降水量,NR為常年的病害發(fā)展期降水量。

最后,預(yù)測水稻病害發(fā)生的等級。將RD、RQ、RT1、RR1四個因子的各年數(shù)據(jù)資料代入水稻主要病害預(yù)測的多元線性回歸模型,用最小二乘法求出模型回歸系數(shù)。將某地水稻生長的前期氣候數(shù)據(jù)與病害數(shù)據(jù)代入建立的數(shù)學(xué)模型中,計算出回歸模型的函數(shù)值,用函數(shù)值除以10,就可求出病害發(fā)生的等級預(yù)測值。

2.3 群體光合生產(chǎn)模型

植物的群體光合量采用Monsi積分公式和Beer公式計算:

上式中,PHDi為第i天的群體光合量,NF是氮肥訂正因子,TF為溫度訂正因子,α為群體反射率,Qi為第i天太陽輻射的強度,0.47為太陽輻射轉(zhuǎn)化成光合有效輻射系數(shù),LAIi為葉面積指數(shù),Di為日長時間,A、B為光合作用的參數(shù),隨著植物品種和生育期而變化,E是群體消光系數(shù),Qi由式子Qi=TQi/Di計算,此處,TQi是第i天太陽的輻射總量。

計算群體光合速率是由同化室內(nèi)CO2的濃度下降值來求CO2濃度變化速率R,再將此速率與同化室的體積相乘,最后與同化室的覆蓋面積相除,就能求得植物的群體光合速率。由以下公式計算[5]:

(9)

上式中,A是同化室所覆蓋土地面積(m2) ,V是同化室的容積(L),P是大氣壓,t是同化室內(nèi)氣溫(C)?，F(xiàn)在群體光合速率的單位常用umol·CO2·m-2·s-1表示。

2.4土壤供氮(N)量模型

土壤氮(N)素的供應(yīng)能力是土壤對作物提供氮(N)的數(shù)量,相同土壤對不同的作物供氮量與這一作物的生長期長短有關(guān),也與生長過程中的降雨、氣溫、灌溉等因素有關(guān)。土壤對當(dāng)季作物的供氮量是用于估算氮肥適宜施用量的主要參數(shù),可采用以下模型對土壤供氮量的預(yù)測進行研究分析。作業(yè)區(qū)第j個區(qū)的土壤供氮量(NSj)由下式計算:

(10)

其中,TNSj是第j個區(qū)的土壤全N的測定值,Q10是土壤的有機N礦化溫度系數(shù),Q10=1.5;A是作業(yè)區(qū)面積,T是全生育期氣溫的平均值,0.08是土壤N礦化所占全N的比例,2.25×106是單位公頃面積的土層干重,EN是土壤N供的效率,它與土壤的酸堿度值pH和有機質(zhì)含量OMS有關(guān)。

EN=0.5-0.2FOMS-0.1FpH

(11)

上式中,FOMS和FpH分別是OMS與PH對土壤供氮量(NSj)的影響函數(shù),可表示為:

(12)

(13)

3 農(nóng)業(yè)模型的應(yīng)用

農(nóng)業(yè)模型不僅能用于有效解決農(nóng)業(yè)發(fā)展中的難題,還可以應(yīng)用于教學(xué)、研究、管理及評估等方面。成功的農(nóng)業(yè)模型具備好的預(yù)測性與機理性,同時對于多個生態(tài)地區(qū)和不同層次用戶有較強的通用性與靈活性,這對于提高農(nóng)業(yè)產(chǎn)量與經(jīng)營銷售的效率、促進農(nóng)業(yè)的高質(zhì)高效發(fā)展具有重大意義。