轉(zhuǎn)化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的巧妙運用

☉張文晶

一直以來，培養(yǎng)學(xué)生快速、準(zhǔn)確解決數(shù)學(xué)問題的能力是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點與難點。常規(guī)解題教學(xué)中，即使教師花費大量精力為學(xué)生講解習(xí)題技巧，仍有部分學(xué)生存在解題效率低、解題正確率低的問題。究其原因，在于小學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思維不活躍。為此，教師有必要將轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用到小學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)當(dāng)中，通過講解轉(zhuǎn)化方法，指導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化應(yīng)用提升思維靈活性，從而促進學(xué)生解題能力的提升。

一、化繁冗為簡單，提高學(xué)生解題效率

題目形式復(fù)雜、題目條件復(fù)雜、題目數(shù)量之間關(guān)系復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題常常給小學(xué)生造成較多困擾，導(dǎo)致其解題自信心受挫，久而久之，就出現(xiàn)了解題拖延、解題敷衍的學(xué)習(xí)問題，解題效率大大降低。對于這一問題，教師可以在解題教學(xué)中滲透轉(zhuǎn)化思想，通過習(xí)題化簡降低問題難度，加快學(xué)生解題步伐［1］。為此，教師可以將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單的小問題，指導(dǎo)學(xué)生在解決小問題的過程中總結(jié)問題解決方法，并將該方法用于復(fù)雜習(xí)題的解題過程中，從而提高學(xué)生的解題效率。

以人教版二年級數(shù)學(xué)下冊《混合運算》一課的教學(xué)為例，有復(fù)雜習(xí)題如下：請計算出“1＋3 ＋5 ＋7 ＋9 ＋11 ＋13 ＋15 ＋17 ＋19 ＋21 ＋23”的結(jié)果。這一問題的加數(shù)十分多，若按照常規(guī)算法，學(xué)生的計算量非常大，且容易在計算過程中出現(xiàn)失誤，導(dǎo)致最終結(jié)果錯誤。對此，教師可以為學(xué)生滲透轉(zhuǎn)化思想，將原問題轉(zhuǎn)化為簡單問題：分析這一問題，能夠明確該問題求的是1 ～23 中相鄰單數(shù)的和，原問題給出的條件過于繁冗，那么我們是否可以將原問題轉(zhuǎn)化為求1 ～11 以內(nèi)相鄰單數(shù)的和，先找出計算規(guī)律，再用計算規(guī)律解答原問題呢？這樣，學(xué)生將解題注意力轉(zhuǎn)向求“1 ＋3 ＋5 ＋7 ＋9 ＋11”這一簡單問題，從中總結(jié)出問題解法：“1 ＋3 ＋5 ＋7 ＋9 ＋11”中，第一個數(shù)和倒數(shù)第一個數(shù)、第二個數(shù)和倒數(shù)第二個數(shù)、第三個數(shù)與倒數(shù)第三個數(shù)的和都是12，可以先計算出其中一對數(shù)的和，再乘以3，即可計算出該問題的答案為36。推此及彼，使學(xué)生先計算出原式中1 ＋23 的和，再數(shù)原式中有多少對相加等于24 的數(shù)，再完成“24×6”的乘法運算，即可得到原式計算答案144。

在面對題目條件復(fù)雜、運算步驟過多的數(shù)學(xué)問題時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用轉(zhuǎn)化思想將復(fù)雜題目轉(zhuǎn)化為簡單題目，使其在解答簡單題目時發(fā)現(xiàn)運算方法，從而提高其復(fù)雜問題解決效率。

二、化抽象為具象，培養(yǎng)數(shù)學(xué)分析能力

小學(xué)生以具象思維為思維發(fā)展特征，更容易理解直觀的數(shù)學(xué)問題。然而，小學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中不僅存在簡單、直觀的問題，還存在更多抽象化的數(shù)學(xué)問題。要使學(xué)生具備解決抽象化習(xí)題的能力，就需要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)分析思維，傳授學(xué)生將抽象問題化為具象化問題的方法，從而加深學(xué)生對相關(guān)問題的理解，使學(xué)生在正確分析、正確判斷的過程中快速解決數(shù)學(xué)問題［2］。

以人教版三年級數(shù)學(xué)上冊《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識》一課的解題教學(xué)為例，圍繞此課內(nèi)容進行解題教學(xué)時，由于分?jǐn)?shù)這一概念較為抽象，三年級學(xué)生之前并沒有接觸過此類問題，容易在解題時出現(xiàn)問題，如不能正確理解問題、不能正確解答問題等。例如，很多學(xué)生在計算“3/12＋5/12”這一問題時遇到困難，出現(xiàn)直接在“＝”后謄寫加數(shù)，或在“＝”后寫出錯誤答案（如8/24 等）。對于這一問題，教師可引導(dǎo)學(xué)生用轉(zhuǎn)化思想來解決。例如，展示一張完整的白紙，使用剪刀將白紙平均分成十二份，確保每一份大小一樣，先從中取3 份剪完后的小白紙貼在黑板上，之后再從中取出5 份剪完后的小白紙貼在黑板上，讓學(xué)生計算黑板上現(xiàn)在的紙張數(shù)量。這時，原本抽象的分?jǐn)?shù)加法被轉(zhuǎn)化為具象問題，學(xué)生輕松得到轉(zhuǎn)化后問題的答案，即8 份。接著，教師再讓學(xué)生將原白紙看做單位“1”，將每一份小白紙看做“1/12”，這樣再引導(dǎo)學(xué)生重新思考題目，即可使其理解原問題的算理及算法，正確計算出問題答案“3/12 ＋5/12 ＝8/12 ＝2/3”。

在遇到學(xué)生理解困難的抽象習(xí)題時，教師可以根據(jù)小學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展特征將抽象的問題轉(zhuǎn)化為可直接觀察的具象化問題，使學(xué)生在化抽象為具象的過程中真正理解算理算法，從而形成良好的抽象問題解題能力。

三、化未知為已知，培養(yǎng)數(shù)學(xué)遷移能力

大部分小學(xué)生在面對形式新穎、考點獨特的未知問題時存在解題困難，如解題思路混亂、解題切入點不確定等。解決未知習(xí)題的關(guān)鍵在于建立已知知識點與未知問題的關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生根據(jù)具體關(guān)聯(lián)進行遷移思考，從而得到問題答案。為此，教師可以將轉(zhuǎn)化思想用于習(xí)題解答教學(xué)當(dāng)中，通過提出回顧性問題、引導(dǎo)性問題指導(dǎo)學(xué)生將未知難題化為已知的類型題，使學(xué)生在轉(zhuǎn)化的過程中總結(jié)出解題方法，從而形成良好的解題遷移能力。

以人教版三年級數(shù)學(xué)下冊《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》的解題教學(xué)為例，很多學(xué)生不能得心應(yīng)手地解幾十幾乘幾十幾的問題。究其原因，在于學(xué)生對“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的算理、算法的掌握不夠扎實，還存在一定的疑惑。解題教學(xué)時，教師可以為學(xué)生滲透轉(zhuǎn)化思想，引導(dǎo)學(xué)生將幾十幾乘幾十幾的問題轉(zhuǎn)化為幾十幾乘幾的問題，將新問題轉(zhuǎn)化成學(xué)生已經(jīng)掌握解法的舊問題，從而激發(fā)學(xué)生的遷移意識，使其主動探索幾十幾乘幾的豎式乘法與幾十幾乘幾十幾的豎式乘法的區(qū)別。例如，在學(xué)生計算“58×42”時，教師可先讓學(xué)生計算“58×40”與“58×2”，通過化簡困難習(xí)題為學(xué)生積蓄解題力量。之后，教師再讓學(xué)生聯(lián)系之前所學(xué)過的算理、算法解答原問題，使其輕松求解出原問題答案“58×42＝2436”。在此基礎(chǔ)上，教師還可為學(xué)生出示拓展問題：計算“147×23”的結(jié)果。由此拓展習(xí)題進一步強化學(xué)生的轉(zhuǎn)化意識，使其將新問題轉(zhuǎn)化為“147×20＝2940”“147×3 ＝441”等已知計算問題，并求出計算結(jié)果“147×23 ＝3381”。

學(xué)生在遇到未知數(shù)學(xué)問題不知如何解決時，教師可以讓學(xué)生利用轉(zhuǎn)化思想將未知問題轉(zhuǎn)化成已知的數(shù)學(xué)問題，通過巧妙轉(zhuǎn)化達(dá)到化簡求值的目標(biāo)，使學(xué)生在此過程中形成遷移求解問題的數(shù)學(xué)思維能力。

四、化特殊為一般，培養(yǎng)邏輯思考能力

與常規(guī)習(xí)題不同，特殊習(xí)題的呈現(xiàn)方式較為獨特，如果學(xué)生不具備良好的邏輯思考能力，很容易陷入特殊習(xí)題的解題陷阱當(dāng)中，導(dǎo)致答題失敗。在學(xué)生解決此類習(xí)題時，教師可以為學(xué)生介紹轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)涵，并展示轉(zhuǎn)化思想化特殊為一般的案例，使學(xué)生掌握轉(zhuǎn)化方法［3］。之后，教師再指導(dǎo)學(xué)生用轉(zhuǎn)化思想將特殊問題轉(zhuǎn)化成一般問題，使學(xué)生用一般問題的解題方法解答該問題，從而提升學(xué)生的答題準(zhǔn)確率。

以人教版四年級數(shù)學(xué)下冊《運算律》一課的解題教學(xué)為例，有特殊問題如下：請用簡便算法計算出“99×64”的答案。這一問題的題目形式與乘法分配律公式“a×（b ＋c）＝a×c ＋b×c”、乘法結(jié)合律公式“a×b×c ＝a×（b×c）”等公式都不相符，直接代入公式并不能解決該問題。在學(xué)生陷入解題困境時，教師可以為學(xué)生介紹應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解答簡便運算問題的思路：原題要求的是“99×64”的計算結(jié)果，我們可以從“轉(zhuǎn)化”的角度思考如何將原問題的形式轉(zhuǎn)化成乘法分配律公式或乘法結(jié)合律公式的形式。觀察原題目特征，發(fā)現(xiàn)99 與100 十分接近，可以將99 轉(zhuǎn)化為“100－1”，那么原問題被轉(zhuǎn)化為“（100－1）×64”，再按照乘法分配律的一般解題步驟簡便運算，得到“（100－ 1）×64 ＝6400 － 64 ＝6336”的計算結(jié)果。由此，使學(xué)生掌握化特殊為一般的轉(zhuǎn)化解題技巧，使其學(xué)會通過邏輯思考解決有難度的數(shù)學(xué)問題。

學(xué)生解特殊形式數(shù)學(xué)問題時，教師可在教學(xué)過程中為其滲透轉(zhuǎn)化思想，在引導(dǎo)學(xué)生將特殊問題轉(zhuǎn)化為一般形式問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)分析、邏輯思考的能力，使學(xué)生學(xué)會分析問題并形成簡單的解題思路，從而提升其解題效率。

五、化代數(shù)為幾何，提升數(shù)形結(jié)合能力

數(shù)形轉(zhuǎn)化策略是一種非常重要的解題策略，將該策略用于小學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，可以幫助學(xué)生走出解題迷障，使學(xué)生又快又好地解答數(shù)學(xué)問題。代數(shù)解題教學(xué)中，如果學(xué)生遇到了解題困難，教師可為學(xué)生講解“以數(shù)化形”“以形助數(shù)”思想方法，在轉(zhuǎn)換學(xué)生解題視野的同時為其提供新穎的解題思路，能夠使其在數(shù)化形的過程中快速解答數(shù)學(xué)問題。

以人教版五年級數(shù)學(xué)上冊《數(shù)學(xué)廣角——植樹問題》一課的解題教學(xué)為例，有例題如下：王主任計劃在學(xué)校20 米長的甬路旁每隔4 米種植一棵白樺樹，如果從甬路起點至甬路終點兩頭都種樹，應(yīng)栽種多少棵樹？如果甬路起點種樹終點不種樹，應(yīng)栽多少棵樹？如果兩頭都不種樹，應(yīng)栽多少棵樹？由于栽樹的情況不同，“20÷4 ＝5”這一代數(shù)式并不能解決所有問題。為使學(xué)生真正掌握該問題的解決原理及方法，教師可根據(jù)題目的不同要求繪制出不同的示意圖，通過將數(shù)字題目轉(zhuǎn)化成直觀易懂的幾何圖形幫助學(xué)生理解“植樹問題”。這樣，學(xué)生在觀察圖形時可以總結(jié)出兩頭種樹的代數(shù)計算式“20÷4 ＋1 ＝6（棵）”；一頭種樹一頭不種樹的代數(shù)式“20÷4 ＝5（棵）”；兩頭都不種樹的代數(shù)計算式““20÷4 －1 ＝4（棵）”。通過數(shù)形轉(zhuǎn)化，學(xué)生基本掌握了“植樹問題”的解法，解題能力得到提升。

在面對復(fù)雜的代數(shù)問題時，可以應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想將問題形式轉(zhuǎn)化為幾何形式習(xí)題，通過簡化問題、直觀化問題幫助學(xué)生理解，使其在提升數(shù)形結(jié)合能力的同時形成靈活的解題思維。

六、化實際為模型，培養(yǎng)建模應(yīng)用能力

應(yīng)用問題在小學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中所占比例較大［4］。但是，由于應(yīng)用問題中題目信息較多，存在一定的干擾項，一些學(xué)生在解決實際問題時可能出現(xiàn)代錯數(shù)值、列錯算式等問題。要使學(xué)生形成快速、正確解決實際問題的解題能力，需要教師培養(yǎng)學(xué)生的模型思想，使其具備借助數(shù)學(xué)模型正確解決問題的能力。對此，教師可以在解題教學(xué)中滲透轉(zhuǎn)化思想，引導(dǎo)學(xué)生化實際問題為數(shù)學(xué)模型，從而達(dá)到化簡問題的教學(xué)目標(biāo)，使學(xué)生高效解決數(shù)學(xué)問題。

以人教版六年級數(shù)學(xué)下冊《圓柱與圓錐》一課的解題教學(xué)為例，有應(yīng)用題如下：小明過生日時爸爸送了他一個百寶箱，百寶箱上部是圓柱的一半，下部是一個棱長為50cm、40cm、20cm的長方體，這個百寶箱最多能盛多少東西？要高效解決這一問題，需要學(xué)生將題目中關(guān)鍵信息提煉出來，如：“上部是圓柱”與“下部是長方體”。明確具體信息后，教師再指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想將實際的“百寶箱”轉(zhuǎn)化為由長方體、圓柱構(gòu)成物體的幾何模型，即長方體長為50cm、寬為40cm、高為20cm；半圓柱體高為50cm，半徑為20cm。讓其運用長方體體積求解公式、圓柱體體積求解公式計算出原問題答案：V ＝V圓柱＋V長方體＝62800 ＋40000 ＝102800cm3。

解決信息較為復(fù)雜的應(yīng)用題時，教師可以指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，使其在建設(shè)模型、套用公式的過程中快速解答問題，并形成良好的數(shù)學(xué)建模能力。

綜上所述，將轉(zhuǎn)化思想用于小學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)當(dāng)中，對于提升學(xué)生的解題思維能力有著關(guān)鍵意義。教師應(yīng)認(rèn)識到轉(zhuǎn)化思想的解題教學(xué)價值，積極將該思想融入復(fù)雜習(xí)題、抽象習(xí)題、應(yīng)用習(xí)題等習(xí)題教學(xué)當(dāng)中，通過常態(tài)化的訓(xùn)練促進學(xué)生對轉(zhuǎn)化思想的理解。此過程中，教師還要注意巧妙設(shè)計練習(xí)環(huán)節(jié)，詮釋思想應(yīng)用方法，使學(xué)生真正掌握用轉(zhuǎn)化思想解決復(fù)雜問題的數(shù)學(xué)能力。