正態(tài)分布定數(shù)和定時(shí)截尾數(shù)據(jù)可靠性評估方法

傅惠民， 郭建超， 付越帥， 李子昂

（北京航空航天大學(xué) 小樣本技術(shù)研究中心， 北京 100191）

0 引言

隨著產(chǎn)品質(zhì)量和可靠性越來越高， 產(chǎn)品壽命越來越長，導(dǎo)致壽命試驗(yàn)所需時(shí)間長、費(fèi)用高，工程上難以承受。因此， 定數(shù)和定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)?zāi)壳耙殉蔀楣こ躺弦活惓Ｓ玫膲勖囼?yàn)[1]。定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)是試驗(yàn)達(dá)到事先規(guī)定的失效數(shù)時(shí)停止試驗(yàn)，此時(shí)試驗(yàn)停止時(shí)間是隨機(jī)變量；定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)則是試驗(yàn)達(dá)到事先規(guī)定的時(shí)間停止試驗(yàn)，此時(shí)得到的失效數(shù)為隨機(jī)變量。 定數(shù)和定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)都不是傳統(tǒng)的完全壽命數(shù)據(jù)， 在統(tǒng)計(jì)分析上比較復(fù)雜。

由于指數(shù)分布具有簡單的數(shù)學(xué)形式和性質(zhì)， 其推導(dǎo)和計(jì)算都相對容易，所以人們對于產(chǎn)品壽命遵循指數(shù)分布情況， 已經(jīng)建立了能夠根據(jù)定數(shù)和定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行可靠性評估的方法， 并廣泛應(yīng)用于工程實(shí)踐中[2]。但是， 對于工程上常見的產(chǎn)品對數(shù)壽命遵循正態(tài)分布的情況， 還難以根據(jù)定數(shù)和定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行可靠性評估。 鑒于工程上許多情況產(chǎn)品對數(shù)壽命標(biāo)準(zhǔn)差均為已知[3]，因此本文在文獻(xiàn)[4-5]給出的不完全壽命數(shù)據(jù)可靠性評估方法的基礎(chǔ)上， 進(jìn)一步建立了一種正態(tài)分布定數(shù)和定時(shí)截尾數(shù)據(jù)可靠性評估方法， 能夠根據(jù)定數(shù)或定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)給出產(chǎn)品高置信水平、 高可靠度的可靠壽命單側(cè)置信限或可靠度單側(cè)置信下限， 從而使工程上許多原先無法處理的定數(shù)或定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)得以統(tǒng)計(jì)分析，實(shí)現(xiàn)小樣本可靠性評估。

1 正態(tài)分布定數(shù)截尾數(shù)據(jù)可靠性評估

定數(shù)截尾試驗(yàn)是工程上一類常見的重要試驗(yàn)， 它要求試驗(yàn)達(dá)到事先規(guī)定的失效數(shù)時(shí)停止試驗(yàn)。 下面給出產(chǎn)品對數(shù)壽命遵循正態(tài)分布情況下的定數(shù)截尾數(shù)據(jù)可靠性評估方法。

1.1 定數(shù)截尾數(shù)據(jù)可靠壽命評估方法

設(shè)某產(chǎn)品對數(shù)壽命X=lgN 遵循標(biāo)準(zhǔn)差為σ0（已知）的正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為

可靠度函數(shù)為

式中： μ 為對數(shù)壽命均值；Φ（·）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

現(xiàn)進(jìn)行了一組n 個(gè)該產(chǎn)品的定數(shù)截尾試驗(yàn)， 前r 個(gè)為失效數(shù)據(jù)xi=lgNi，i=1，2，…，r，后n-r 個(gè)為未失效數(shù)據(jù)，且xi=xr=lgNr，i=r+1，r+2，…，n。則可以證明，該產(chǎn)品置信度為γ、可靠度為R 的對數(shù)可靠壽命xR單側(cè)置信下限xRL，γ可由下式給出

其置信度為γ、可靠度為R 的可靠壽命NR單側(cè)置信下限NRL，γ則為

式中：M 根據(jù)數(shù)值計(jì)算精度要求進(jìn)行取值（如104，105，106等），并且應(yīng)使Mγ 為整數(shù)。然后，調(diào)整式（8）中的γ 至某一值γ**，使得式（5）中γ*等于γ，此時(shí)γ**即為所求值。

對于工程上需要計(jì)算置信度為γ、 可靠度為R 的可靠壽命NR單側(cè)置信上限NRU，γ的情況，則將上面公式中的γ 用1-γ 代替即可。

現(xiàn)證明如下： 首先， 根據(jù)前r 個(gè)失效數(shù)據(jù)xi，i=1，2，…，r， 可以按照完全數(shù)據(jù)處理方法求得該產(chǎn)品置信度為γ、可靠度為R 的對數(shù)可靠壽命xR單側(cè)置信下限為

滿足

然后， 利用其余n-r 個(gè)未失效數(shù)據(jù)xi=lgNr，i=r+1，r+2，…，n，對的置信度進(jìn)行Bayes 更新。 即將前r 個(gè)失效數(shù)據(jù)求得的式（10）作為先驗(yàn)分布，并將后n-r 個(gè)未失效數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù)，通過Bayes 公式求得后驗(yàn)分布。 由于先驗(yàn)分布直接根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)求得， 所以確保了后驗(yàn)分布的客觀真實(shí)。 更新后的置信度γ*可以表示為

式中：g（xR）為xR的置信分布[5]。

因此，可將式（12）和式（13）變換為

而式（16）和式（17）可以通過下面兩式進(jìn)行數(shù)值計(jì)算：

代入式（11），可以得到

式中：

最后，調(diào)整式（23）中的置信度γ 至γ**，使得式（20）中的γ*=γ，此時(shí)即可求得該產(chǎn)品置信度為γ、可靠度為R 的對數(shù)可靠壽命單側(cè)置信下限為

將上述證明過程中的置信度換成置信水平， 仍然成立。 證畢！

1.2 定數(shù)截尾數(shù)據(jù)可靠度評估方法

由置信限曲線的等同性可知， 該產(chǎn)品在給定時(shí)間x=lgN 處置信度為γ 的可靠度單側(cè)置信下限RL，γ為

2 正態(tài)分布定時(shí)截尾試驗(yàn)可靠性評估

同樣， 定時(shí)截尾試驗(yàn)也是工程上一類常見的重要試驗(yàn)，它要求試驗(yàn)達(dá)到事先規(guī)定的試驗(yàn)時(shí)間停止試驗(yàn)。下面給出產(chǎn)品對數(shù)壽命遵循正態(tài)分布情況下的定時(shí)截尾數(shù)據(jù)可靠性評估方法。

2.1 定時(shí)截尾數(shù)據(jù)可靠壽命評估方法

設(shè)某產(chǎn)品對數(shù)壽命X=lgN 遵循標(biāo)準(zhǔn)差為σ0（已知）的正態(tài)分布，如式（1）所示。 現(xiàn)進(jìn)行了一組n 個(gè)該產(chǎn)品的定時(shí)截尾試驗(yàn)，前r 個(gè)為失效數(shù)據(jù)xi=lgNi，i=1，2，…，r，后n-r個(gè)為未失效數(shù)據(jù)，且xi=x0=lgN0，i=r+1，r+2，…，n，其中N0為試驗(yàn)截尾時(shí)間。 針對定時(shí)截尾試驗(yàn)情況，可將一個(gè)未失效數(shù)據(jù)xr+1=x0看作失效數(shù)據(jù)，進(jìn)而將其轉(zhuǎn)化為定數(shù)截尾試驗(yàn)情況進(jìn)行處理， 得到的結(jié)果將偏于保守。 即在式（3）中用r+1 代替r，就可以根據(jù)定時(shí)截尾試驗(yàn)數(shù)據(jù)求得置信水平為γ、可靠度為R 的對數(shù)可靠壽命xR單側(cè)置信下限為

其置信水平為γ、 可靠度為R 的可靠壽命NR單側(cè)置信下限NRL，γ仍由式（4）計(jì)算。

對于工程上要計(jì)算置信水平為γ， 可靠度為R 的可靠壽命NR單側(cè)置信上限NRU，γ的情況，只需將式（6）中的xr換成x0，式（8）中的γ 換成1-γ 即可。

特別地，當(dāng)定時(shí)截尾壽命數(shù)據(jù)均為未失效數(shù)據(jù)時(shí)，該產(chǎn)品置信水平為γ、 可靠度為R 的對數(shù)可靠壽命單側(cè)置信下限為

2.2 定時(shí)截尾數(shù)據(jù)可靠度評估方法

由置信限曲線的等同性可知，該產(chǎn)品在給定時(shí)間x=lgN處置信水平為γ 的可靠度單側(cè)置信下限RL，γ由下式給出

3 仿真驗(yàn)證

本文方法除了嚴(yán)格的理論推導(dǎo)外， 還進(jìn)行了大量的Monte Carlo 模擬仿真驗(yàn)證，其結(jié)果表明：正態(tài)分布定數(shù)截尾數(shù)據(jù)可靠性評估方法嚴(yán)格滿足置信度要求； 而正態(tài)分布定時(shí)截尾數(shù)據(jù)可靠性評估方法則通常高于置信度，偏于安全，滿足置信水平要求。下面給出仿真方法和幾組仿真結(jié)果。

仿真驗(yàn)證方法： 設(shè)某產(chǎn)品的對數(shù)壽命遵循正態(tài)分布N（μ，σ02），首先通過Monte Carlo 方法從其對數(shù)壽命母體中進(jìn)行隨機(jī)抽樣， 分別產(chǎn)生該產(chǎn)品定數(shù)或定時(shí)截尾壽命數(shù)據(jù)。 然后根據(jù)本文方法求得其置信水平為γ、可靠度為R 的對數(shù)可靠壽命單側(cè)置信下限xRL，γ，并使之與對數(shù)可靠壽命真值xR＝μ-uRσ0進(jìn)行比較。重復(fù)仿真m 次，統(tǒng)計(jì)xRL，γ小于等于xR的頻率作為仿真置信度γ′，比較仿真置信度γ′與設(shè)定的置信度γ，即可驗(yàn)證本文方法的正確性。

定數(shù)截尾仿真驗(yàn)證：在每次仿真試驗(yàn)中，產(chǎn)生一組定數(shù)截尾壽命數(shù)據(jù)，重復(fù)仿真次數(shù)m=50000 次，表1 列出了不同條件下可靠度R=0.999 的定數(shù)截尾仿真驗(yàn)證結(jié)果。可以看到，仿真置信度γ′均非常接近于設(shè)定的置信度γ。倘若增加重復(fù)仿真次數(shù)m， 則仿真置信度γ′將與設(shè)定的置信度γ 完全相等。 表明本文提出的正態(tài)分布定數(shù)截尾數(shù)據(jù)可靠壽命單側(cè)置信下限評估方法滿足置信度要求。

表1 定數(shù)截尾仿真驗(yàn)證結(jié)果

定時(shí)截尾仿真驗(yàn)證：在每次仿真試驗(yàn)中，產(chǎn)生一組定時(shí)截尾壽命數(shù)據(jù)，重復(fù)仿真次數(shù)m=50000 次，表2 列出了不同條件下可靠度R=0.999 的定時(shí)截尾仿真驗(yàn)證結(jié)果。 可以看到，仿真置信度γ′均高于設(shè)定置信度γ，表明本文提出的正態(tài)分布定時(shí)截尾數(shù)據(jù)可靠壽命單側(cè)置信下限評估方法滿足置信水平要求，略偏于保守。 此外，可以發(fā)現(xiàn)隨著截尾時(shí)間的增加， 仿真置信度越加接近于設(shè)定置信度。倘若無限延長截尾時(shí)間，該方法將會(huì)退化為完全數(shù)據(jù)處理方法。

表2 定時(shí)截尾仿真驗(yàn)證結(jié)果

4 算例

已知某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)渦輪葉片對數(shù)壽命遵循標(biāo)準(zhǔn)差為σ0=0.15 的正態(tài)分布?，F(xiàn)從一批該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取5 個(gè)進(jìn)行振動(dòng)疲勞試驗(yàn)， 規(guī)定循環(huán)次數(shù)達(dá)到2×107時(shí)停止試驗(yàn)，試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表3 所示。下面采用本文方法對該產(chǎn)品的可靠性進(jìn)行評估。

表3 某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)渦輪葉片定時(shí)截尾試驗(yàn)數(shù)據(jù)

首先，根據(jù)本文2.1 節(jié)方法，將一個(gè)未失效數(shù)據(jù)N2視為失效。 由式（9），利用失效數(shù)據(jù)Ni（i=1,2）計(jì)算該產(chǎn)品置信水平γ=0.95、 可靠度R=0.9987 的可靠壽命單側(cè)置信下限為

最后，調(diào)整式（23）中的置信水平γ=0.95 至γ**=0.36，使得γ*=γ。 根據(jù)式（26）和式（4）可計(jì)算該產(chǎn)品置信水平γ=0.95，可靠度R=0.9987 的可靠壽命單側(cè)置信下限NRL，γ為

5 結(jié)論

提出一種正態(tài)分布定數(shù)截尾數(shù)據(jù)可靠性評估方法，能夠根據(jù)定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)評估產(chǎn)品高置信度、高可靠度的可靠壽命單側(cè)置信限， 以及給定時(shí)刻下高置信度的可靠度單側(cè)置信下限， 解決了長期以來正態(tài)分布定數(shù)截尾數(shù)據(jù)難以進(jìn)行可靠性評估的問題。

針對工程上常見的正態(tài)分布定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)，進(jìn)一步建立一種正態(tài)分布定時(shí)截尾數(shù)據(jù)可靠性評估方法，使工程上許多原先無法處理的定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)得以統(tǒng)計(jì)分析，實(shí)現(xiàn)小樣本可靠性評估。

嚴(yán)格的理論推導(dǎo)和大量的Monte Carlo 模擬仿真，證明了本文方法的正確性。