數(shù)學(xué)教學(xué)中從幾何空間創(chuàng)新理解向量數(shù)量積

胡 乙

(江蘇經(jīng)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,江蘇 南京 211168)

在數(shù)學(xué)中,向量數(shù)量積(內(nèi)積或點(diǎn)積)指:兩個向量a和b的模與它們夾角余弦的乘積[1].向量夾角與數(shù)量積教學(xué)一直是向量教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn).在教學(xué)實(shí)踐中,如何引導(dǎo)學(xué)生完整準(zhǔn)確地理解以上概念,中外學(xué)界對此一直未達(dá)成共識.

目前國內(nèi)教材普遍運(yùn)用物理學(xué)中恒力F做功的公式說明向量數(shù)量積概念,而從數(shù)學(xué)幾何出發(fā)講授向量數(shù)量積,其研究尚處于萌芽狀態(tài).程仕然認(rèn)為從物理學(xué)恒力F做功公式推導(dǎo)向量數(shù)量積公式有以下不足:一是學(xué)生尚不完全熟悉物理做功公式,二是物理學(xué)公式與數(shù)學(xué)公式描述的符號及說法上有不同,可能造成學(xué)生新的困擾[2].據(jù)此,教師如果轉(zhuǎn)換思路,從求解向量夾角入手推導(dǎo)向量數(shù)量積公式,則可能彌補(bǔ)以上不足.陳文雅、江一鳴主張:將向量視為線段,從線段投影出發(fā),運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,將向量數(shù)量積視為向量間投影[3].可見,若從幾何空間出發(fā)設(shè)計向量相關(guān)教學(xué),則師生教學(xué)可能更為輕松.

國外學(xué)界傾向于從幾何空間出發(fā),首先從笛卡爾坐標(biāo)定義向量數(shù)量積,再運(yùn)用向量封閉回路法構(gòu)造直角三角形證明向量數(shù)量積公式.如卡爾·P.西蒙等提出應(yīng)在幾何空間中運(yùn)用封閉回路構(gòu)造直角三角形,并運(yùn)用勾股定理推導(dǎo)向量數(shù)量積公式[4].此觀點(diǎn)已經(jīng)涉及向量數(shù)量積的數(shù)學(xué)本質(zhì),但不完整.完整的向量數(shù)量積教學(xué)應(yīng)包含兩方面,即從向量坐標(biāo)法與向量封閉回路法出發(fā),全面講授向量數(shù)量積概念.

此外,通過調(diào)整相關(guān)概念教學(xué)順序,可能會提高教學(xué)效率.按觀察問題、解決問題的邏輯順序,學(xué)生應(yīng)首先認(rèn)識向量夾角,在計算向量夾角大小的過程中,教師可引導(dǎo)學(xué)生歸納出求解向量夾角余弦值的算法,對算法做適當(dāng)變換后,再引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)向量數(shù)量積概念.以上教學(xué)設(shè)計不僅有利于學(xué)生深入理解向量數(shù)量積的數(shù)學(xué)本質(zhì),而且可培養(yǎng)學(xué)生在解決實(shí)際問題中進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的能力.

據(jù)此,研究擬從數(shù)學(xué)幾何出發(fā),首先引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)笛卡爾平面中的向量夾角,并從向量坐標(biāo)法與向量封閉回路法兩種角度引導(dǎo)學(xué)生求解向量夾角余弦值,在此過程中,啟發(fā)學(xué)生歸納出求解向量夾角余弦值的公式,對公式做適當(dāng)變換后,教師可正式提出向量數(shù)量積概念.同時,因?yàn)橄蛄渴菧贤◣缀闻c代數(shù)的橋梁,為使學(xué)生深入理解以上概念,研究將從向量坐標(biāo)與封閉回路兩個角度,引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用向量數(shù)量積公式,創(chuàng)新證明歐氏幾何直角三角形相關(guān)定理,使學(xué)生從多角度深入認(rèn)識向量的概念與作用,并學(xué)會在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等不同學(xué)科中,主動運(yùn)用以上知識分析相關(guān)數(shù)學(xué)模型,以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,實(shí)現(xiàn)教學(xué)初衷.

1 向量夾角與向量數(shù)量積

與傳統(tǒng)教學(xué)不同,教師可在笛卡爾平面建立向量夾角,請學(xué)生運(yùn)用三角函數(shù)計算該夾角的余弦值,在此過程中,引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)向量數(shù)量積公式.待學(xué)生熟練掌握后,教師可從向量封閉回路角度再次引導(dǎo)學(xué)生理解向量夾角與向量數(shù)量積.

1.1 從向量坐標(biāo)法理解向量夾角與向量數(shù)量積

圖1 從向量數(shù)對(坐標(biāo))出發(fā)理解向量夾角與向量數(shù)量積

cos∠AOB=cos(∠AOX-∠BOX)

=cos∠AOXcos∠BOX+sin∠AOXsin∠BOX

從幾何空間出發(fā)求解向量夾角時,當(dāng)學(xué)生將兩向量起點(diǎn)均平移至原點(diǎn)后,則可通過兩向量終點(diǎn)坐標(biāo)求解向量夾角余弦值,從以上計算過程中定義向量數(shù)量積,則學(xué)生可能更為容易接受,且更能體會到向量的數(shù)學(xué)本質(zhì).

1.2 從封閉回路理解向量夾角與向量數(shù)量積

圖2 從封閉回路法出發(fā)理解向量夾角與向量數(shù)量積

又根據(jù)勾股定理,

聯(lián)立以上三式,展開得:

整理得:

據(jù)此,教師可總結(jié)向量夾角cosθ的重要性質(zhì):當(dāng)θ為銳角時,cosθ>0;為鈍角時,cosθ<0;為直角時,cosθ=0;為零度時,cosθ=1.綜上,一般情況下,-1≤cosθ≤1.特別的,當(dāng)需要證明直線或者線段間夾角為直角時,除了運(yùn)用綜合證明方法外,學(xué)生可嘗試運(yùn)用向量數(shù)量積求證.此外,在歐氏幾何教學(xué)中,教師可引導(dǎo)學(xué)生嘗試運(yùn)用向量求解相關(guān)試題.例如:如果不在同一平面的兩線段向量數(shù)量積為零,則學(xué)生可證明其相互垂直等.學(xué)生運(yùn)用向量求解幾何問題,在一定程度上可避免背誦繁瑣的定理,同時在解題時可不加或少加輔助線,如此則有利于減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān),激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

2 向量數(shù)量積與歐氏直角三角形相關(guān)定理的證明

張景中主張運(yùn)用向量數(shù)量積求解或者求證度量幾何中垂直、角度值、異面線段長度比值等難題[5].依據(jù)試題條件,教師可引導(dǎo)學(xué)生從向量坐標(biāo)法與向量封閉回路法求解相關(guān)幾何試題.以直角三角形相關(guān)定理證明為例,相較于綜合證明方法,向量數(shù)量積方法則更加簡潔高效.

1.3 向量數(shù)量積與勾股定理

圖3 笛卡爾平面中直角三角形的高與中線

a2=-b,b<0,

故AB2+AC2=BC2.

從向量封閉回路法出發(fā),省略繁瑣的坐標(biāo),學(xué)生運(yùn)用向量數(shù)量積公式可直接得到勾股定理.

AB2+AC2=BC2.

同理,學(xué)生可從向量坐標(biāo)法證明勾股定理逆定理:

如圖3,A點(diǎn)坐標(biāo)(0,a),B點(diǎn)坐標(biāo)(b,0),C點(diǎn)坐標(biāo)(1,0),a>0,b<0,設(shè)AB2+AC2=BC2,求證∠BAC為直角.

則b2+a2+a2+1=1+b2-2b,

得a2=-b,a>0,b<0,

故∠BAC為直角.

與向量坐標(biāo)法不同,學(xué)生運(yùn)用向量封閉回路證明勾股定理、余弦定理等則更為簡潔自然,且?guī)缀醪挥锰砑虞o助線或構(gòu)造圖形,教師可運(yùn)用三角形封閉回路性質(zhì),再次展示如何證明余弦定理與勾股定理逆定理.

因?yàn)榻Y(jié)論涉及平方,故對等式兩邊平方,并運(yùn)用數(shù)量積公式可推理得到等式 :

教師僅僅運(yùn)用向量封閉回路、全程未添加輔助線即完成證明.據(jù)此,教師可嘗試引導(dǎo)學(xué)生用向量知識重新證明幾何、代數(shù)中相關(guān)定理,為學(xué)生學(xué)習(xí)提供新思路,并在此過程中加深學(xué)生對向量的理解.

1.4 向量數(shù)量積與直角三角形射影定理

用向量證明直角三角形射影定理將更為簡潔,如圖3,直角ΔBAC中,AO⊥BC,請學(xué)生證明:AB2=BO·BC,AC2=CO·CB,AO2=BO·OC.

運(yùn)用原有坐標(biāo),學(xué)生可構(gòu)造如下向量:

以圖3為例,學(xué)生可運(yùn)用向量封閉回路法再次證明直角三角形射影定理.證明的關(guān)鍵是,學(xué)生能將已知向量分解為合適的封閉向量,并能運(yùn)用數(shù)量積為零的條件消除無關(guān)向量.

2 總結(jié)

從數(shù)學(xué)幾何出發(fā),教師可首先指導(dǎo)學(xué)生計算向量間夾角數(shù)值,在此過程中,引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)向量數(shù)量積公式.教師應(yīng)從向量坐標(biāo)法與向量封閉回路法兩種角度完整講授向量夾角與向量數(shù)量積.運(yùn)用向量數(shù)量積,學(xué)生可創(chuàng)新證明歐式幾何中相關(guān)定理.限于篇幅,本研究并未詳細(xì)闡述向量數(shù)量積在立體幾何、解析幾何、不等式等教學(xué)內(nèi)容中的應(yīng)用.未來教學(xué)中,教師可嘗試運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)幾何法講授向量數(shù)量積及相關(guān)向量知識.