自適應(yīng)蒙特卡洛法評定全站儀測距不確定度

仇躍鑫，朱進，王瑛輝*

（1.浙江省計量科學(xué)研究院， 浙江 杭州 310018；2.浙江省數(shù)字精密測量技術(shù)研究重點實驗室，浙江 杭州 310018）

0 引言

全站儀被廣泛應(yīng)用于精密測量、機械制造和大地測量領(lǐng)域，本質(zhì)是由一個經(jīng)緯儀和一個電子測距儀共同組成，這二者的精度直接決定了全站儀的精度。全站儀的角度測量系統(tǒng)通常在實驗室內(nèi)校準(zhǔn)［1］，測距則需要在野外基線場進行校準(zhǔn)，由于野外環(huán)境不可控和氣象條件波動劇烈［2］，因此通過評定測量不確定度來判斷測量結(jié)果的可靠程度具有重要意義。

Lauryna ?iaudinyte 使用平面角校準(zhǔn)方法對全站儀的豎直角度測量系統(tǒng)進行不確定度評定［3］，并使用測量不確定度表示指南（Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement，GUM）對全站儀豎直角度校準(zhǔn)的三角法進行了不確定度評定［4］。José L.García-Balboa 使用GUM 對全站儀對中的不確定度進行了評定［5］。范春艷針對GUM 評定測量不確定度時存在的問題，使用蒙特卡洛法（Monte Carlo Method，MCM）對全站儀空間測量不確定度進行評定，著重分析樣本數(shù)量對仿真效率和準(zhǔn)確性的影響［6］。劉勝林使用GUM 對全站儀（測距儀）測尺頻率和周期誤差振幅的測量不確定度進行評定［7-8］。江洪波使用GUM 對全站儀測距綜合標(biāo)準(zhǔn)差的測量不確定度評定和使用全站儀進行短基線測量的精度評定［9-10］。時振偉對全站儀加、乘常數(shù)檢定精度的影響因素及對策進行了分析［11］。

上述研究內(nèi)容主要針對全站儀的豎直角測量系統(tǒng)進行測量不確定度評定或者針對測距不確定度來源中的部分誤差源進行不確定度評定，沒有針對全站儀測距不確定度進行綜合分析。

相比于使用GUM 評定測量不確定度，MCM 更適用于解決模型非線性和輸入量強相關(guān)的問題［12-15］，隨著樣本數(shù)量的增加，MCM 的輸出量也會更加精確，但相應(yīng)地也需要更多的計算時間，自適應(yīng)蒙特卡洛法（Adaptive Monte Carlo Method，AMCM）是在MCM 的基礎(chǔ)上通過輸出量達到統(tǒng)計意義上的穩(wěn)定來平衡輸出量的準(zhǔn)確度和樣本計算時間的矛盾［16-18］。

綜上所述，本文根據(jù)全站儀測距原理，分析全站儀測距過程中的不確定度來源，建立不確定度評定模型，基于AMCM 進行測距不確定度評定，并與GUM 評定的測量不確定度進行比較，相互驗證了二者的可靠程度。

1 不確定度評定模型

全站儀在測量基線邊的標(biāo)準(zhǔn)長度Di0時，測量結(jié)果D的計算公式為［19］

式中：Di0為基線溯源值，Di為經(jīng)過頻率、氣象、傾斜等修正后的觀測值，Kc為儀器和棱鏡的組合常數(shù)，R為儀器乘常數(shù)。

對全站儀測距進行測量不確定度分析，其主要誤差源包括：標(biāo)準(zhǔn)基線的測量誤差、基線漂移、全站儀安裝誤差、棱鏡安裝誤差、環(huán)境參數(shù)變化誤差、全站儀量化誤差、頻率漂移、測距傾斜修正誤差和隨機測量誤差。從而得到基于自適應(yīng)蒙特卡洛法的全站儀測距不確定度評定模型為

式中：ΔD0為基線參考值引入的標(biāo)準(zhǔn)長度ΔDi0變化量；ets為全站儀安裝誤差引入的測距變化量；ep為棱鏡安裝誤差引入的測距變化量；ΔDenv為環(huán)境參數(shù)變化引入的測距變化量；σK為儀器和棱鏡的組合常數(shù)測量隨機誤差引入的Kc變化量，ΔDe為量化誤差引入的測距變化量，ΔDf為頻率漂移引入的測距變化量，ΔDtc為傾斜修正引入的測距變化量，σ為隨機測量誤差引入的Di變化量。

1）基線參考值引入的測量不確定度分量

基線參考值引入的測量不確定度主要來源于基線邊標(biāo)準(zhǔn)長度的測量不確定度和基線間的距離漂移?；€邊標(biāo)準(zhǔn)長度的擴展測量不確定度為1 mm/km（k= 2），故基線邊標(biāo)準(zhǔn)長度的測量不確定度引入的測距變化量ΔDref服從正態(tài)分布N（0，0.5 mm/km）。基線間距離漂移引入的測距變化量ΔDdrf通過基線穩(wěn)定性指標(biāo)表征，基線穩(wěn)定性指標(biāo)優(yōu)于1.4 mm/km（k= 2），故ΔDdrf服從正態(tài)分布N（0，0.7 mm/km）。故由基線參考值引入的標(biāo)準(zhǔn)長度變化量ΔD0計算公式為

2）安裝誤差引入的測量不確定度分量

全站儀安裝誤差包括：定位桿偏心、基座偏心和儀器整平誤差［20］。全站儀定位桿安裝時配合間隙導(dǎo)致的偏心優(yōu)于0.01 mm，認(rèn)為全站儀定位桿偏心引入的測距變化量ets1在0.005 mm 的區(qū)間半寬內(nèi)服從正態(tài)分布N（0，0.005 mm）。全站儀基座對中時配合間隙導(dǎo)致的偏心優(yōu)于0.14 mm，認(rèn)為全站儀基座偏心引入的測距變化量ets2在0.07 mm 的區(qū)間半寬內(nèi)服從正態(tài)分布N（0，0.07 mm）。全站儀豎軸未完全垂直于水平面時產(chǎn)生的儀器整平誤差優(yōu)于0.01 mm，認(rèn)為儀器整平誤差引入的測距變化量ets3在0.005 mm的區(qū)間半寬內(nèi)服從正態(tài)分布N（0，0.005 mm）。故全站儀安裝誤差引入的測距變化量ets計算公式為

棱鏡安裝誤差包括：定位桿偏心和儀器整平誤差。棱鏡定位桿的偏心優(yōu)于0.01 mm，認(rèn)為定位桿偏心引入的測距變化量ep1在0.005 mm 的區(qū)間半寬內(nèi)服從正態(tài)分布N（0，0.005 mm）。棱鏡的整平誤差優(yōu)于0.03 mm，認(rèn)為儀器整平誤差引入的測距變化量ep2在0.015 mm 的區(qū)間半寬內(nèi)服從正態(tài)分布N（0，0.015 mm）。故棱鏡安裝誤差引入的測距變化量ep為

3）環(huán)境參數(shù)引入的測量不確定度分量

環(huán)境參數(shù)變化引入的測量不確定度表現(xiàn)為溫度、濕度和氣壓的變化導(dǎo)致空氣折射率發(fā)生變化，使光波在大氣中的傳播速度發(fā)生變化，從而影響全站儀測距結(jié)果。由氣象修正公式可知溫度每變化±1 ℃，大氣改正數(shù)變化±1 mm/km；氣壓每變化±3.3 hPa，大氣改正數(shù)變化±1 mm/km；濕度每變化±60% RH，大氣改正數(shù)變化±0.5 mm/km。儀器和棱鏡的組合常數(shù)在實驗室內(nèi)進行測量，兩次測量期間的環(huán)境溫度的變化值小于0.2 ℃，且最長測量距離為18 m，因此環(huán)境參數(shù)變化引入的測量不確定度極小，忽略不計。

在乘常數(shù)標(biāo)定和實際測量過程中環(huán)境溫度變化不超過±1 ℃，氣壓變化不超過±1 hPa，濕度變化不超過±10% RH，故由溫度變化引入的測距變化量ΔDt優(yōu)于±1 mm/km，并在1 mm/km 的區(qū)間半寬內(nèi)服從均勻分布；由濕度變化引入的測距變化量ΔDh優(yōu)于±0.08 mm/km，并在0.08 mm/km 的區(qū)間半寬內(nèi)服從均勻分布；由氣壓變化引入的測距變化量ΔDp優(yōu)于±0.3 mm/km，并在0.3 mm/km的區(qū)間半寬服從均勻分布。故由環(huán)境參數(shù)變化引入的測距變化量ΔDenv為

4）儀器參數(shù)引入的測量不確定度

全站儀參數(shù)變化引入的測量誤差包括量化誤差和頻率漂移的影響。TC2003 型全站儀的分辨力為0.1 mm，認(rèn)為量化誤差引入的測距變化量ΔDe在0.05 mm的區(qū)間半寬內(nèi)服從均勻分布。儀器標(biāo)稱頻率為50 MHz，在開機30 min 后的測距精測頻率變化量不超過±5 Hz，由頻率漂移引入的測距變化量ΔDf不大于±0.1 mm/km，認(rèn)為ΔDf在0.1 mm/km的區(qū)間半寬內(nèi)服從均勻分布。

距離測量值傾斜修正引入的測量誤差包括標(biāo)準(zhǔn)長度基線場各觀測墩之間的高度誤差和儀器安裝的高度誤差影響。各觀測墩之間的高度誤差不超過2 cm，測量使用的合作目標(biāo)是徠卡專用精密棱鏡組，棱鏡中心高與儀器高之差可以忽略不計。按測量的最短距離為48 m 來計算，由其引入的傾斜修正誤差ΔDtc不超過±0.09 mm/km，并服從均勻分布。

5）儀器隨機測量誤差引入的測量不確定度

測量過程中的儀器隨機測量誤差引入的測量誤差中的乘常數(shù)隨機測量誤差通過全站儀觀測值的重復(fù)性指標(biāo)給出，通過實驗評定得到全站儀的測量重復(fù)性σ優(yōu)于0.16 mm。認(rèn)為σ服從正態(tài)分布N（0，0.16 mm）。

儀器和棱鏡的組合常數(shù)在室內(nèi)短基線上單獨進行校準(zhǔn)，并用于補償全站儀測量基線邊標(biāo)準(zhǔn)長度時的觀測值，因此儀器和棱鏡的組合常數(shù)的隨機測量誤差σK通過該常數(shù)測量過程中的測量重復(fù)性指標(biāo)給出，測量重復(fù)性優(yōu)于0.25 mm，故認(rèn)為σK服從正態(tài)分布N（0，0.25 mm）。

綜上所述，將各項誤差源匯總?cè)绫?所示。

表1 誤差源匯總表Tab.1 Summary of error sources

2 測量不確定度評定

2.1 自適應(yīng)蒙特卡洛法

AMCM 對輸入量按相應(yīng)的概率密度函數(shù)進行離散抽樣，通過測量不確定度評定模型傳遞輸入量分布和計算得到輸出量，進一步獲得輸出量的最佳估計值、標(biāo)準(zhǔn)不確定度度和包含區(qū)間。使用AMCM 評定全站儀測距測量不確定度的試驗過程如圖1所示。

圖1 AMCM評定測量不確定度程序流程圖Fig.1 Flowchart of measurement uncertainty evaluation by AMCM

1）初始化：包括設(shè)置單組試驗樣本數(shù)量M、數(shù)值容差δ和試驗次數(shù)h= 1。M通過式（7）進行設(shè)置

式中：J為大于或等于100 /（1-p）的最小整數(shù)，當(dāng)p取99.9%時，J= 105，即單組試驗樣本數(shù)量M= 105。

數(shù)值容差δ與全站儀標(biāo)準(zhǔn)測量不確定度的有效位數(shù)相關(guān)，將全站儀的標(biāo)準(zhǔn)測量不確定度表示為c× 10l，即可通過式（8）得到δ。

2）樣本抽取：根據(jù)各輸入量的概率分布情況抽取M個樣本數(shù)據(jù)。

3）蒙特卡洛試驗：抽取的樣本根據(jù)不確定度評定模型進行計算，并輸出當(dāng)前試驗組數(shù)據(jù)。

4）第h組試驗結(jié)果計算：包括輸出量估計值、標(biāo)準(zhǔn)測量不確定度和概率p的包含區(qū)間的左右端點。

5）h組試驗結(jié)果計算：包括輸出量估計值、標(biāo)準(zhǔn)測量不確定度和概率p的包含區(qū)間的左右端點的平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差。

6）穩(wěn)定性判斷：判斷輸出量估計值、標(biāo)準(zhǔn)測量不確定度和概率p的包含區(qū)間的左右端點的平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差是否小于數(shù)值容差δ，若不成立則繼續(xù)進行h+ 1組試驗。

7）結(jié)果輸出：使用h×M個模型輸出值計算得到輸出量估計值、標(biāo)準(zhǔn)測量不確定度和概率p的包含區(qū)間。

由于MCM 所需樣本數(shù)量M的大小與輸出量的概率密度函數(shù)和包含概率相關(guān)，M= 106通常會為輸出量提供95%的包含區(qū)間，但由于MCM 缺少對結(jié)果的驗證，無法保證樣本數(shù)量是否足夠，所以一般需要大量樣本數(shù)據(jù)進行模擬保證輸出量準(zhǔn)確，樣本數(shù)據(jù)計算時間隨著樣本數(shù)量的增加而增加。而AMCM 在輸出結(jié)果前增加了穩(wěn)定性判斷這一步驟，可以實時調(diào)整樣本數(shù)量，采用更少的樣本數(shù)據(jù)即可得到準(zhǔn)確可靠的輸出量，因此使用AMCM可以解決輸出量的準(zhǔn)確度和樣本計算時間的矛盾。

2.2 測量不確定度評定結(jié)果

基于不確定度評定模型，得到基線邊長度分別為72、216、432、624、1 176 m 時，全站儀觀測值的不確定度評定結(jié)果如表2所示。

表2 不確定度評定結(jié)果Tab.2 Uncertainty evaluation results

表2中，ΔD0為基線邊長度；E為不同測距長度下全站儀觀測值的最佳估計值；U為不同測距長度下全站儀觀測值的擴展不確定度，包含因子k= 2；［c1，c2］為95%置信概率的包含區(qū)間的左右端點。

該過程中試驗次數(shù)h= 3，即樣本數(shù)量M= 3 ×105時，結(jié)果已經(jīng)趨于統(tǒng)計穩(wěn)定，相比蒙特卡洛法的樣本數(shù)量M至少需要106個減少了70%的樣本數(shù)量，且二者的不確定度評定結(jié)果相同，基線邊長度分別為72、216、432、624、1 176 m 時測量結(jié)果分布分別如圖2 ～ 6所示。

圖2 72 m測量結(jié)果分布Fig.2 Distribution of 72 m measurement results

圖3 216 m測量結(jié)果分布Fig.3 Distribution of 216 m measurement results

圖5 624 m測量結(jié)果分布Fig.5 Distribution of 624 m measurement results

圖6 1 176 m測量結(jié)果分布Fig.6 Distribution of 1 176 m measurement results

3 評定結(jié)果驗證

3.1 GUM評定結(jié)果

全國測距儀校準(zhǔn)能力計量比對試驗在中國計量科學(xué)研究院昌平基地標(biāo)準(zhǔn)基線上進行，采用“固定地點”比對方式，比對的基線邊長度分別為72、216、432、624、1 176 m。測量結(jié)果如表3 所示，使用GUM 評定全站儀測距的擴展測量不確定度為0.5 mm + 1.87 mm/km ×D（k= 2）。

表3 測量結(jié)果Tab.3 Measurement results

表3 中，D為全站儀經(jīng)過頻率、氣象、傾斜和乘常數(shù)修正后的觀測結(jié)果；dev為全站儀觀測結(jié)果與參考值比較的等效結(jié)果，每段基線共測量10次，每次測量同步記錄主導(dǎo)實驗室提供的實時環(huán)境參數(shù)數(shù)據(jù)，經(jīng)環(huán)境參數(shù)補償后，取平均值作為每段基線邊長度的觀測結(jié)果；UGUM為通過GUM 評定的各基線邊標(biāo)準(zhǔn)長度的擴展測量不確定度。

3.2 結(jié)果對比

由2.2 節(jié)AMCM 測量不確定度評定結(jié)果和3.1節(jié)GUM 評定結(jié)果可以看出：在測距距離較短時，二者的測量不確定度接近，如測距距離為72 m 時，二者的測量不確定度相同；在測距距離較長時，AMCM 的測量不確定度評定結(jié)果小于GUM，如測距距離為216 m時，AMCM的測量不確定度比GUM小0.2 mm，距離為1 176 m 時，AMCM 的測量不確定度比GUM 小0.4 mm，AMCM 和GUM 兩種不確定度評定方法評定的擴展不確定度對比如圖7 所示。其中偏差為0 的黑線為基線邊長度的參考值，從圖7中可以看出，兩種不確定度評定方法的測量結(jié)果均在合理預(yù)期之內(nèi)。

圖7 GUM和AMCM評定不確定度結(jié)果對比Fig.7 Comparison of uncertainty evaluation results between GUM and AMCM

造成AMCM在測距距離較長時的擴展不確定度小于GUM 的原因是：GUM 假設(shè)各誤差源之間互不相關(guān)，而儀器隨機測量誤差引入的測量不確定度分量中包含了基線參考值、環(huán)境參數(shù)和儀器參數(shù)引入的部分測量不確定度分量，且隨著測距距離的增加，該部分引入的不確定度分量也隨之增加，導(dǎo)致GUM評定的擴展不確定度可能被保守估計。

4 結(jié)論

全站儀測距不確定度模型具有誤差來源復(fù)雜和非線性的特點，本文基于AMCM 評定全站儀測距不確定度不僅有效應(yīng)對了上述問題，避免了求解靈敏系數(shù)的繁瑣過程，且使用AMCM 具有如下優(yōu)點：

1）借助大量數(shù)據(jù)樣本的優(yōu)勢，相比于GUM 對各誤差源引入的不確定度分量評估更為全面，在95%置信概率下，得到的擴展不確定度包含區(qū)間更窄。

2）借助自適應(yīng)優(yōu)化仿真次數(shù)的優(yōu)勢，相比于MCM，在不影響不確定度的評定結(jié)果的前提下，需要的樣本數(shù)量更少，可以提高計算效率，節(jié)省運算時間。