開孔功能梯度板的自由振動

彭丹華,隨歲寒,楊三序

(商丘工學院 機械工程學院,河南 商丘 476000)

機械工程中常用的鋼材具備良好的強度和剛度以及機械加工性能,缺陷在于導熱系數(shù)和膨脹系數(shù)過大,因而不適合在溫度變化較大以及極端溫度環(huán)境中工作.陶瓷具備良好的熱性能,但機械性能不佳.為充分發(fā)揮鋼和陶瓷的優(yōu)勢,可將兩種材料復合,按照設(shè)計需求將兩種材料的體積分數(shù)連續(xù)改變,即實現(xiàn)從陶瓷到鋼的軟過渡.功能梯度材料自20世紀80年代問世以來,受到眾多學者的關(guān)注,尤其是功能梯度板[1-14].板的彎曲和屈曲性能與板的靜態(tài)工作極限載荷密切相關(guān),Kim和Noda[1]采用格林函數(shù)法分析了功能梯度板的撓度和瞬態(tài)溫度載荷的關(guān)系.Vafakhah和Neya[3]利用位移勢函數(shù),提出了功能梯度厚板彎曲的精確解.Lanhe[4]討論了板寬比、相對厚度、梯度指數(shù)和橫向剪切對屈曲溫差的影響.另一方面,自由振動作為最基本的動力學問題,對其研究具有重要工程價值.功能梯度板的振動問題受到諸多因素影響,主要包括材料的壓電屬性[5]、地基因素[6,7]、納米結(jié)構(gòu)非局部效應[8]、軸向直線運動[9]、材料非線性[10]、結(jié)構(gòu)裂紋[11]、材料的復合方向[12]、旋轉(zhuǎn)運動[13]、邊界局部支承[14].典型地,如Ebrahimi和Rastgo[5]研究了一種基于經(jīng)典薄板理論的功能梯度加壓電層合圓板的自由振動問題.Wang和Zu[10]分析了由鎳和不銹鋼復合而成的功能梯度板的非線性動力學行為.韓振南[14]等研究了功能梯度方形板4個邊界上分別局部支承條件下的自由振動特性.

據(jù)作者所知,目前還沒有學者考慮板開孔這一條件,在工程應用中常常需要對板作開孔處理以便安裝.同時,為了提高開孔附近的過大撓度,一般要在開孔采用彈簧支承.本文研究由陶瓷和鋼復合而成的功能梯度開孔板的動力學行為,在方形開孔的4個角點上采用彈性支承,該支承僅限制板的橫向撓度,不約束板的轉(zhuǎn)角.應用虛功原理建立系統(tǒng)動力學有限元方程,板四邊固支,通過與ANSYS解的對比來驗證本文所建模型,隨后探討了材料梯度指數(shù)和彈性支承剛度對前兩階固有頻率的影響.

1 控制方程

如圖1所示,功能梯度板長和寬分別為a和b,厚度為h,板中心處有一長寬分別為c和d的方孔.孔的4個角點有4個剛度為k的彈簧支承,支承方向沿板面法向.板的上下表面分別為陶瓷和鋼,兩種材料體積分數(shù)按照冪指數(shù)形式分布.板的彈性模量E和密度ρ分別為

(1)

其中λ(λ≥ 0)表示梯度指數(shù),下標中的c和s分別表示陶瓷和鋼.

采用4節(jié)點四邊形單元,每個節(jié)點包含橫向撓度w以及x和y兩個方向的轉(zhuǎn)角,單元的廣義坐標為

(2)

采用廣義坐標可將單元的橫向位移可表達為[15]

w=Nj5i0abt0b

(3)

這里N代表形函數(shù).

根據(jù)Kirchhoff薄板理論,功能梯度板的位移場為

(4)

其中w表示板中面上的橫向位移.從而,慣性力虛功為

(5)

功能梯度板的幾何方程為

(6)

根據(jù)式(3)可以將幾何方程整理成矩陣形式

ε=[B]j5i0abt0b

(7)

功能梯度板的物理方程為

(8)

其中μ為泊松比,通常取值為0.3.

可以將式(8)簡化為

σ=[D]ε

(9)

根據(jù)式(7)與式(9),功能梯度板的虛應變能表達式可以寫成

(10)

將式(5)和式(10)代入如下虛功原理表達式

δU=δW

(11)

從而可以得到開孔功能梯度板的有限元方程

(12)

其中

開孔處的彈性支承具有儲能作用,其勢能屬于結(jié)構(gòu)整體勢能.彈性勢能變分可表達為

δUs=j5i0abt0bTdiag(ann)j5i0abt0b

(13)

其中ann為支承剛度矩陣對角線上唯一的非零值,下標代表第n行第n列,且aii=k.從而開孔板在彈性支承條件下的整體剛度矩陣為

D=K+diag(ann)

(14)

將(12)式的Κ替換為D,得到受彈簧支承條件下功能梯度板自由振動的有限元方程

(15)

2 數(shù)值算例

式(12)結(jié)合四邊固支邊界條件可以解得前兩階固有頻率,為進行數(shù)值分析,功能梯度板的材料性能參數(shù)與幾何參數(shù)為:鋼彈性模量Es=210 GPa;陶瓷的彈性模量Ec=390 GPa;鋼的密度ρs=7850 kg/m3;陶瓷的密度ρs=3960 kg/m3;板長a=1 m;板寬b=1 m;板厚h=0.02 m;孔長c=0.2 m;孔寬d=0.2 m;孔距e=0.4 m;孔距f=0.4 m.

由于ANSYS軟件不支持功能梯度材料建模,因此忽略彈性支承且在純質(zhì)材料條件下可解得前兩階固有頻率以及對應的模態(tài),如圖2給出了鋼板前兩階固有頻率及其模態(tài),圖3給出了陶瓷板的前兩階固有頻率及其模態(tài).模態(tài)圖中采用顏色來區(qū)別開孔板上各點的相對幅值大小,其中紅色代表最大幅值,藍色代表最小幅值.在自由振動中,通常彈性模量越大則振動頻率越高,相應的模態(tài)幅值則越小.由于本文研究的是功能梯度板的小撓度自由振動,因此不討論彈性模量變化時模態(tài)的幅值大小.需要指出的是,模態(tài)圖中FREQ是指固有頻率,其量綱為Hz.應用ANYS將開孔板劃分為9600個SHELL181單元,該單元為四邊形單元,包含8個節(jié)點,每個節(jié)點6個自由度.本文采用圖1(b)所示的單元劃分,即將開孔板劃分為384個單元,每個單元4個節(jié)點,每個節(jié)點3個自由度.表1對比了本文解與ANSYS解,可以發(fā)現(xiàn),陶瓷板和鋼板有一致的規(guī)律,即第一階頻率誤差3.01%,第二階頻率誤差2.22%,第一階頻率受開孔影響較大.由于本文采用單元數(shù)量較少,因此計算效率高,所得結(jié)果仍能滿足工程計算需求.

表1 固支前兩階固有頻率對比

圖2 純鋼板前兩階振動模態(tài)

圖3 純陶瓷板前兩階振動模態(tài)

彈性支承條件下,功能梯度開孔板的自由振動受到材料屬性和彈性剛度的影響.材料屬性的變化體現(xiàn)為梯度指數(shù)的變化,梯度指數(shù)從零增大到無窮大表示板從陶瓷板過渡到鋼板,因而各階頻率逐漸減小.但頻率對梯度指數(shù)的導數(shù)逐漸減小,即曲線斜率的絕對值隨梯度指數(shù)的增大而減小,如圖4(a)所示,這里彈性支承剛度設(shè)定為20 N·m-1.無開孔四邊支承板的第一階自由振動模態(tài)在板中心處幅值達到最大.板開孔后使得板的彎曲剛度增大,但不影響板第一階模態(tài)的整體趨勢.算例中功能梯度板在幾何中心處開孔,因而開孔處的彈性支承會對板的第一階振動產(chǎn)生更大影響.由圖4(b)可以看出,支承剛度從零增大到40 N·m-1時,第一階頻率增幅較大約為84%,第二階頻率增幅約為16%.隨著剛度的增大,支承剛度收斂于剛性支承,因而隨著剛度的增大,前兩階頻率的增幅逐漸減小.

圖4 固支板(a)前兩階頻率與梯度指數(shù)的關(guān)系 (b)前兩階頻率與支承剛度的關(guān)系

3 結(jié) 論

研究揭示了開孔功能梯度板在彈性支承條件下的自由振動特性.四邊固支條件下將本文方法所得結(jié)果與ANSYS結(jié)果對比證實了本文方法的準確性,隨后重點分析了梯度指數(shù)和支承剛度對前兩階固有頻率的影響.結(jié)果顯示,隨著梯度指數(shù)的增大,各階頻率不斷降低,且頻率對梯度指數(shù)的斜率絕對值逐漸減小.開孔位置對低階模態(tài)影響較大,因而開孔處的彈簧支承剛度變化時,第一階頻率的變化量遠大于第二階頻率.