求解雙資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)定價問題的差分方法

齊祥悅

(東北大學(xué) 理學(xué)院,遼寧 沈陽 110004)

在過去的幾十年里,期權(quán)成為了最受歡迎的金融衍生品之一.自從Fischer Black和Myron Scholes在1973年提出Black-Scholes期權(quán)定價模型之后,期權(quán)定價理論取得了巨大的發(fā)展.[7,12]

期權(quán)理論最重要的問題就是期權(quán)定價問題,二叉樹方法由于其簡單易行最早受到了人們的歡迎,但是這種方法有收斂速度慢,計算量大等缺點[6,8].近些年來,基于偏微分方程數(shù)值解理論的方法受到了國內(nèi)外專家學(xué)者的關(guān)注[5,10,13].例如Pradip Roul& Prasad Goura (2020)利用高階緊致有限差分格式求解歐式看漲期權(quán)定價問題[9];張鐵(2002)利用有限元法求解美式期權(quán)定價問題[1];甘小艇和殷俊峰(2015)利用二次有限體積法對美式期權(quán)進行了求解[2]等.

隨著經(jīng)濟的不斷發(fā)展,單資產(chǎn)期權(quán)已經(jīng)不足以滿足市場的需求,多資產(chǎn)期權(quán)逐漸發(fā)展了起來.本文主要對雙資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)進行研究,對于看漲期權(quán)可以進行相同的處理.

1 雙資產(chǎn)歐式期權(quán)定價模型

考慮雙資產(chǎn)期權(quán)定價問題,設(shè)S1和S2是風(fēng)險資產(chǎn)的價格,在這里不妨假設(shè)它們?yōu)楣善?設(shè)U是基于兩個風(fēng)險資產(chǎn)的期權(quán)價格,它是關(guān)于S1,S2和時間t的函數(shù)[3,11].假設(shè)在市場不存在套利機會的情況下,利用Δ對沖原理,得到雙資產(chǎn)歐式期權(quán)定價問題的Black-Scholes方程

(1)

其中,r為無風(fēng)險利率,d1和d2分別為股票S1和S2的紅利率,σ1和σ2分別為股票S1和S2的波動率,ρ為S1和S2的相關(guān)系數(shù),T為期權(quán)執(zhí)行日期.

考慮極大看跌期權(quán),它在期權(quán)到期時的收益為:

U(S1,S2,T)=min{(K1-S1)+,(K2-S2)+} (S1,S2)∈(0,∞)×(0,∞)

(2)

方程(1)(2)構(gòu)成了極大看跌期權(quán)定價模型.方程(1)(2)為變系數(shù)偏微分方程的終值問題,為了將變系數(shù)偏微分方程化為常系數(shù)偏微分方程,并將終值問題化為初值問題,引入如下變換:

τ=T-tx=lnS1y=lnS2

利用此變換,方程(1)(2)變?yōu)?

(3)

(4)

由于看跌期權(quán)價格為敲定價格與資產(chǎn)實時價格之差,因此得到如下邊界條件:

U(x,y,τ)=min{(K1-ex)+,(K2-ey)+}τ=(0,T] (x,y)∈?Ω

(5)

至此,我們就將雙資產(chǎn)歐式極大看跌期權(quán)定價模型(1)～(2)變成了具有初邊值條件的常系數(shù)偏微分方程(4)(5).

2 模型問題的差分逼近

現(xiàn)在建立模型問題(4)(5)的差分近似.首先對時間區(qū)域[0,T]離散:取時間步長Δτ=T/N,用Un表示τn時刻的期權(quán)價格,其中τn=nΔτ,n=0,1,…,N.

(6)

對于初值條件有

(7)

相應(yīng)的邊值條件為

Un(x,y)=min{(K1-ex)+,(K2-ey)+}n=1,2,…,N

(8)

方程(6)可以表示為:

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

相應(yīng)的初值條件有

邊界條件有

將差分格式(11)～(15)代入(9)得

(16)

其中

(17)

為差分算子.

設(shè)u為問題(4)(5)的精準解,那么有

(18)

(19)

其中

3 差分方程的穩(wěn)定性和收斂性分析

(20)

證明 根據(jù)條件有

定理2差分方程(20)的解在L∝模意義下是絕對收斂的,即

‖Un+1‖∝≤‖Un‖∝,n=0,1,…,N-1

證明 由式(19)可得

αi-1η+βiη+χi+1η=0

(21)

所以有

其中η=(1,1,1)T.

從而有

設(shè)矩陣

為對稱矩陣.由定理1給出的條件有

所以矩陣K為正定矩陣,那么矩陣rI-V是正定的,則

((rI-V)x,x)≥0,?x∈RN2

‖en‖h≤C((Δτ)2+h2)

其中C為常數(shù).

證明 根據(jù)式(10)和式(18)有

(22)

式(20)與式(22)做差得

(23)

將式(23)與en做內(nèi)積得

(24)

這樣有

(25)

因此有

‖en‖≤‖en-1‖+Δτ‖εn-1‖

(26)

由式(26)得到

‖en‖h≤‖en-1‖h+Δτ‖εn-1‖h,n=1,2,…,N

由于e0=1,因此有

取xmax-xmin=ymax-ymin=Mh=H,可以得到

從而定理得證.

4 數(shù)值實驗

考慮一個歐式雙資產(chǎn)期權(quán)定價問題,假設(shè)無風(fēng)險利率r=0.2,股票的紅利率d1=d2=0.1,波動率σ1=σ2=0.5,相關(guān)系數(shù)ρ=0.4.考慮股票價格的變化范圍相同的情況下,敲定價格K取1時,期權(quán)價格U的數(shù)值解.計算結(jié)果見圖1和圖2.圖1為h=0.1時期權(quán)價格U的數(shù)值解,圖2為h=0.05時期權(quán)價格U的數(shù)值解.從計算結(jié)果可以看出數(shù)值解并未出現(xiàn)數(shù)值震蕩現(xiàn)象,因此本文構(gòu)造的數(shù)值方法是可行的.

圖1 h=0.1時期權(quán)價格U的數(shù)值解

圖2 h=0.05時期權(quán)價格U的數(shù)值解