一個新的極小譜任意復(fù)符號模式矩陣

張曉婷,歐陽通

(廣州軟件學(xué)院,廣東 廣州 510900)

對任意給定的實數(shù)a,我們用sgn(a)表示其符號,根據(jù)a>0,a<0和a=0分別定義其符號為1,-1和0.元素取自于集合{1,-1,0}的矩陣稱為符號模式矩陣.對于給定的實矩陣A,由其每個元素的符號所組成的矩陣稱為A的符號模式矩陣,記為sgn(a).用Qn表示全體n階復(fù)符號模式矩陣組成的集合.對任意A∈Qn,所有與A有相同符號模式的復(fù)矩陣組成的集合{A|sgnA=A}稱為A所決定的定性矩陣類,記為Q(A).

若A=(akl)和B=(bkl)是兩個n階符號模式矩陣,如果當bkl≠0時,akl=bkl,則稱A是B的母模式,也稱B為A的子模式.每個符號模式是其本身的母模式和子模式.若B是A的子模式且B≠A,則稱B是A的真子模式.

設(shè)A=(akl)和B=(bkl)是兩個n階符號模式矩陣,則稱S=A+iB為n階復(fù)符號模式矩陣,其中i2=-1.顯然,S的(k,l)元素為akl+ibkl,k,l=1,…,n.所有與S有相同符號模式的復(fù)矩陣組成的集合稱為S所決定的定性矩陣類.記為

Qc(S)={C=A+iB|sgn(A)=A,sgn(B)=B},

其中A,B為n×n實矩陣.

若S1=A1+iB1和S2=A2+iB2是兩個n階復(fù)符號模式矩陣,如果A1是A2的子模式且B1是B2的子模式,則稱S1是S2的子模式,也稱S2是S1的母模式.若S1是S2的子模式,且S1≠S2,則稱S1是S2的真子模式.若S=A+iB是n階復(fù)符號模式矩陣,則符號模式矩陣A和B分別為S的實部和虛部,且A和B的所有非零元的個數(shù)即為S的非零元的個數(shù).

設(shè)S=A+iB是n≥2階復(fù)符號模式矩陣,如果存在一個復(fù)矩陣C∈Qc(S)的特征多項式是f(λ)=λn,則稱S是蘊含冪零的,C是冪零復(fù)矩陣,也稱C為S的一個冪零實現(xiàn).一個n階復(fù)符號模式矩陣S是譜任意的,若給定任意一個n階首一復(fù)系數(shù)多項式f(λ),都存在Qc(S)中的一個復(fù)矩陣,使得它的特征多項式為f(λ).如果S是一個譜任意復(fù)符號模式矩陣,且S的任意真子模式都不是譜任意的,則S是一個極小譜任意復(fù)符號模式矩陣.

1 N-J方法

譜任意符號模式的概念最早是在文獻[1]中提出的,并且給出了運用N-J方法證明一個實符號模式及其它的母模式都是譜任意的.在文章[2]中提出了著名的2n猜想,即任意不可約譜任意符號模式矩陣至少有2n-1個非零元.文章[3]中對ray模式的譜任意性進行了討論,將N-J方法推廣到ray模式,并且給出了一類譜任意ray模式.文章[4,5]中對復(fù)符號模式的譜任意進行了研究,將N-J方法推廣到復(fù)符號模式,對復(fù)符號模式的譜任意的研究有重要意義.

引理1S=A+iB是n≥2復(fù)符號模式矩陣,且至少有2n個非零元.

(1)在復(fù)符號模式矩陣類Qc(S)中找一個冪零復(fù)矩陣C=A+iB,其中A和B為實矩陣,且A∈Q(A),B∈Q(B).

(2)將A和B中的2n個非零元(記為r1,r2,…,r2n)替換為變量t1,t2,…,t2n.

(3)替換后的矩陣的特征多項式表達如下

λn-(f1(t1,…,t2n)+i·g1(t1,…,t2n))λn-1+…+(-1)n-1(f)n-1(t1,…,t2n)+i·gn-1(t1,…,t2n))λ+

(-1)n(fn(t1,…,t2n)+i·gn(t1,…,t2n)).

(5)如果雅可比行列式J在冪零點(t1,t2,…,t2n)=(r1,r2,…,r2n)處不等于零,則S的任意母模式是譜任意的.

2 主要結(jié)果

本文討論下面的n階(n≥4)復(fù)符號模式矩陣

(1)

任取實矩陣C∈Qc(Sn),由于相似矩陣有相同的特征多項式,不妨設(shè)C有如下形式

(2)

其中aj,bj為正實數(shù),j=1,…,n.

下面先給出一個非零實多項式的零點的定義(有限次).如果f(t)是一個非零實多項式,令

Zf={a∈R|f(a)=0}

若Zf是非空的,則Zf的最大值記為max (Zf).若Zf是空的,則記為max(Zf)=-∞.

下面我們將用?(f)來表示多項式f(t)的次數(shù).

引理2設(shè)fj(t),gj(t)為非零多項式,j=1,…,n.且滿足下面的條件

(1)fj(t)=tfj-1(t)-gj-1(t),gj(t)=tgj-1(t)+fj-1(t),j=2,…,n;

(2)f1(t),g1(t)有正的首系數(shù);

(3)Zf1是非空的且max(Zf1)≥0;

(4)max(Zg1)

(5)?(g1)≤?(f1).

選取2017年2月～2018年2月接受診治的急性闌尾炎患者60例作為研究對象，按住院登記的順序?qū)⑵浞譃閷φ战M（前）與觀察組（后），各30例。其中，觀察組男16例，女14例，年齡23～54歲，平均年齡（37.9±5.4）歲；對照組男14例，女16例，年齡22～56歲，平均年齡（41.0±4.9）歲。兩組的性別、年齡等一般資料比較，差異無統(tǒng)計學(xué)意義（P＞0.05）。

則有max(Zf1)

證明 令tf1=max(Zf1),因為max(Zg1)0.因此,

f2(tf1)=tf1f1(tf1)-g1(tf1)=-g1(tf1)<0

因為f1(t)的首系數(shù)為正,且?(g1)tf1,使得f2(t′)>0.由中值定理可知,必存在一個實數(shù)a,且tf1max(Zf1)≥0,都有g(shù)2(t)=tg1(t)+f1(t)>0.由上可知max(Zg2)≤max(Zf1)2,顯然f2,g2都有正的首系數(shù)且?(g2)≤?(f2),所以f2,g2各自滿足f1,g1的條件,因此,重復(fù)運用上面的證明就可以得出max(Zf1)

定理1設(shè)C∈QC(Sn)有形式(2),a0=1,an=t,C的特征多項式為|λI-C|=λn-(f1+ig1)λn-1+…+(-1)n-1(fn-1+ign-1)λ+(-1)n(fn+ign),則有

f1=a1-t,

g1=-b1+1,

fj=ai-t*aj-1+bj-1,j=2,…,n-3,

gj=-bj+t*bj-1+aj-1,j=2,…,n-3,

fn-2=an-2-an-3*t+bn-3,

gn-2=-bn-2+t*bn-3+an-3-bn,

fn-1=-t*an-2+bn-2-bn*b1,

gn-1=t*bn-2+an-2-bn-2*a1,

fn=an-1-b2*bn,

gn=bn-1-a2*bn.

證明 設(shè)c0=1,cj=aj-ibj,j=1,…,n-2,有

以最后一列展開,得

|λI-C|=M1+λM2

把M1以第n-1,n-2,…,4列展開,得

對于M2,將第i行的-λ倍加到第i+1行,i=1,2,…,n-3,再按第2,3,…,n-2列展開,得

定理2設(shè)Sn有形式(1),且an=t,則當n≥4時Sn及其母模式都是SAP.

證明 要證明存在Sn的冪零實現(xiàn),只要證明存在正數(shù)a1,…,an-1,t,b1,…,bn滿足定理1即可.

在定理1中令fi=0,gi=0,i=1,2,…,n,得

a1=t,

b1=1,

aj=taj-1-bj-1,j=2,…,n-3,

bj=tbj-1-aj-1,j=2,…,n-3,

bn-2=an-3+tbn-3-bn,

an-2=tan-3-bn-3,

bn=-tan-2+bn-2,

0=-tbn-2+tbn-an-2,

an-1=b2bn,

bn-1=a2bn.

設(shè)h(t)=-tbn-2+tbn-an-2,由于a1,…,an-2,h(t)及b1,…,bn-2,bn都是關(guān)于t的函數(shù),容易證明這些實多項式滿足引理2的條件,所以由引理2可以得出0=max(Za1)<…max(Zaj),th>max(Zbk),所以有aj(th)>0,j=1,…,n-2;bk(th)>0,k=1,…,n-2;bn=-tan-2+bn-2>0,所以C是冪零陣,即取aj=aj(th),bj=bj(th),j=1,…,n-2.an-1=b2(th)bn(th),bn-1=a2(th)bn(th),bn=-than-2(th)+bn-2(th).

將上式的第1列加到第2n-1列,此時J的2n-1列變?yōu)?0,0,-2a1,2b1,-a2,b2,…,-an-3,bn-3,-an-2,bn-2-bn,0,0)T,再把第2k+1列的(k+1)bk倍加到第2n-1列,k=1,…,n-3,通過aj=anaj-1-bj-1和bj=anbj-1+aj-1,j=2,…,n-2,此時J的2n-1列變?yōu)?0,…,0,-(n-1)an-2,(n-1)bn-2-(n-1)bn,-2b1bn,-2a1bn)T,再把行列式按第1,2,…,2n-5列展開,得

(-1)n-2[2a1(n-1)an-2+2b1(n-1)bn-2-(n-1)bn]

將bn=-tan-2+bn-2代入上式得det(J)=(-1)n-2[4(n-1)tan-2].在冪零點an-2=an-2(th)處,det(J≠0).

所以Sn及其母模式是SAP.

定理3設(shè)Sn有形式(1)的符號模式,則當n≥4時Sn是MSAP.

證明 設(shè)T=(tkl)是Sn=(skl)的一個子模式,且T是SAP.

(1)顯然tkk=skk,k=1,n-1.

(2)若T所決定的定性矩陣類里的矩陣是奇異的或是非奇異的,則T都不是SAP.所以tk,k+1=sk,k+1,k=1,…,n-1.

(3)因為T是SAP,所以必存在一個復(fù)矩陣C∈QC(T)是冪零的.不是一般性,設(shè)C有形式(2),由定理1中的fk=0,gk=0,k=1,…,n,可以得出ak≠0,k=2,…,n-1;bk≠0,k=2,…,n.

綜合上面討論,T=Sn,故Sn為MSAP.定理得證.