音圈直線電機滑模變結構控制方法

張鑫宇,吳忠實,周淼磊

(吉林大學通信工程學院,吉林 長春 130022)

0 引 言

音圈直線電機是一種典型的永磁電機執(zhí)行器,其輸出力的大小由通電導體的電流大小決定,受力方向由通電導體的電流方向決定[1]。音圈直線電機具有納米級的定位精度,結構相對簡單,并且其工作時不需要柔性鉸鏈等復雜的裝置進行傳動,因此廣泛應用于小行程、高頻率和高精度的重復定位領域[2-5]。但是其本身存在著非線性特性,這一特性對其定位精度產生了嚴重影響[6]。

為了消除非線性特性對音圈直線電機定位精度的影響,實現(xiàn)高精度定位控制,研究人員對其進行了大量的研究。電子科技大學的高椿明[7]等提出了一種基于擾動觀測器(DOB)的H∞控制方法,實驗結果表明提出的控制方法增強了系統(tǒng)的魯棒性。張武軍等[8]設計了一種結合模糊預測補償器的PID控制方法,并將該算法應用在一自由度音圈直線電機上,實驗結果表明提出的控制算法可將誤差控制在15 μm的以內。臺灣淡江大學許春飛等[9]使用PD控制并結合自學習模糊邏輯控制器,設計了一種復合控制方法,實驗結果表明所提出的混合控制器在音圈直線電機載荷發(fā)生變化時也具有良好的跟蹤性能。陳子印等[10]針對具有參數(shù)不確定性的音圈電機驅動的指向鏡系統(tǒng),設計了一種自適應動態(tài)面控制方法,為了減小濾波誤差,基于系統(tǒng)的跟蹤誤差構建了補償環(huán)節(jié),仿真結果證明了所設計控制器的有效性。文獻[11]中將擴張狀態(tài)觀測器和積分器與傳統(tǒng)的復合非線性反饋控制相結合,提出了一種改進的復合非線性反饋控制方法,實驗結果表明所提出的控制方法提高了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度和抗擾性能。北京航空航天大學張立佳等[13]基于BP神經網絡提出了一種可以在線整定參數(shù)的神經網絡PID控制器,并應用在音圈電機直驅閥上,仿真結果表明所提出的控制方法具有良好的控制性能。華東交通大學高瑩[13]將徑向基神經網絡自抗擾控制應用到音圈電機中速度控制中,實現(xiàn)了自抗擾控制器參數(shù)的自適應調節(jié)。研究結果表明,相比于PID控制,提出的徑向基神經網絡自抗擾控制有效提高了系統(tǒng)的魯棒性和響應速度。文獻[14]提出一種模型參考自適應控制器,進一步提高了系統(tǒng)控制精度,并降低了控制器設計過程中對于系統(tǒng)模型的依賴。文獻[15]提出一種將有限時間控制與自適應滑模控制相結合的魯棒有限時間自適應控制器(FAC),同傳統(tǒng)的滑?？刂葡啾雀櫨忍岣吡?9.8%。上述對音圈直線電機設計的控制策略均能取得良好的控制效果,但未從物理特性的角度考慮影響音圈直線電機定位精度的非線性因素。

因此,本文依據(jù)音圈直線電機的物理特性,根據(jù)牛頓第二定律推導音圈直線電機的機理模型,并采用最小二乘方法對其參數(shù)進行辨識。為了提高音圈直線電機的定位精度,通過摩擦力測試得到了音圈直線電機系統(tǒng)的等效非線性項參數(shù),設計了一種含有等效非線性控制項的滑模變結構控制器以補償音圈直線電機的非線性摩擦特性。最后通過實驗驗證了本文所提出控制方法的有效性。

1 音圈直線電機模型

為了建立音圈直線電機的模型以及設計有效的控制方法,本節(jié)首先對音圈直線電機的非線性摩擦特性進行測試,得到輸入信號與摩擦力的關系。然后,運用牛頓第二定律推導音圈直線電機的機理模型,最后采用最小二乘法[16-17]對模型未知參數(shù)進行辨識。

1.1 音圈直線電機摩擦測試

摩擦力測試的方法為:輸入的電流信號為正弦形式,位置信號的具體數(shù)值可由光柵測量得到,對得到的數(shù)據(jù)進行求導可以得到音圈電機運動的速度。通過Copley驅動器驅動音圈直線電機進行測試,摩擦力測試結果如圖1所示:圖中記錄了輸入電流和輸出速度隨時間變化的值。

圖1 音圈直線電機摩擦力測試圖Fig.1 Voice coil linear motor friction test diagram

圖1為兩次摩擦力的測試結果。由圖1可知此時電流指令最大約為0.53 A。通過電流的大小可以間接推導出摩擦力的值,根據(jù)牛頓第二定律可得音圈直線電機的非線性摩擦為有界值。

1.2 音圈直線電機機理模型

音圈直線電機是一類典型的電磁執(zhí)行器,其原理為線圈動子在永磁體中通電后,會受洛倫茲力作用并產生垂直于線圈平面方向的運動。因此,由牛頓第二定律和洛倫茲力方程可得動子在磁場中的受力和運動速度為

(1)

(2)

公式中:F為動子在磁場中受到的力;m為動子質量;x為動子位置;c為系統(tǒng)阻尼系數(shù);v為動子的運動速度。

通過安培定律可得:

F=BiL=Kt·i

(3)

公式中:Kt為力常數(shù);B為磁感應強度;i為通過線圈電流;L是在線圈的磁場內導線垂直于磁感線的長度。

結合公式(1)與公式(3)并進行拉普拉斯變換得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)為

(4)

公式中:X(s)為系統(tǒng)輸出的位置信號;I(s)為系統(tǒng)輸入的控制電流指令。

1.3 音圈直線電機模型最小二乘辨識

為更加全面的描述音圈直線電機系統(tǒng)的性能,選取的激勵信號應使音圈直線電機的運動盡可能的遍布整個行程。采用表1所示的正弦信號激勵音圈電機。

表1 輸入信號幅值頻率表Tab.1 Input Signal Amplitude and Frequency Table

忽略音圈直線電機的非線性影響,當輸入為

Yu=Amsin(ωt)

(5)

輸出為

Yy=Aysin(ωt+φ)

(6)

則有:

Yy=[sin(ωt)cos(ωt)][Aycos(φ)Aysin(φ)]

(7)

使用最小二乘方法辨識參數(shù),令θ=[c1c2]T設計目標函數(shù)J(θ)如下:

J(θ)=(Yy-Ψθ)T(Yy-Ψθ)

(8)

對上式求導并令其導數(shù)為0,可得:

(9)

(10)

其中:

(11)

由此可得:

(12)

(13)

輸入電流信號如公式(5)所示,當輸入信號相移為0時,可以得到音圈直線電機系統(tǒng)的相頻特性φe和幅頻特性M的值,表達式為

(14)

(15)

其中:c1、c2的值由公式(10)得到,因此可通過上式得到φe和M的值。

2 音圈直線電機滑模變結構控制

由本文的建模部分可知:此音圈直線電機的傳遞函數(shù)模型部分為二階系統(tǒng),非線性特性主要表現(xiàn)為非線性摩擦,由摩擦力測試部分可知系統(tǒng)中存在的摩擦力是有界的并且可根據(jù)測試的最大輸入電流計算得到。本文針對系統(tǒng)特性,設計一種滑模變結構控制方法,以達到精密定位這一控制目標?；Ｗ兘Y構控制[18-19]是一種應用廣泛的控制方法,常被用于微納定位系統(tǒng)的控制。本文分別對系統(tǒng)的線性部分和非線性部分進行設計,即針對系統(tǒng)存在的非線性摩擦特性設計等效非線性控制項,對已建立的傳遞函數(shù)模型設計等效線性控制項。具體設計過程如下文所示。

2.1 音圈直線電機滑模變結構控制器設計

2.1.1 滑模變結構控制器等效線性項設計

由前文可知通過機理建模建立的音圈直線電機的傳遞函數(shù)模型如公式(4)所示。針對此模型進行控制器的等效線性控制項設計,控制原理圖如圖2所示:

圖2 音圈直線電機滑?？刂圃韴DFig.2 Sliding mode control block diagram for voice coil linear motor

將系統(tǒng)傳遞函數(shù)轉換成狀態(tài)空間方程為

(16)

公式中:x1為位置;x2為速度v;d為有界干擾。定義誤差為

e=xr-x1

(17)

公式中:xr為期望輸入信號。選取滑模面

(18)

公式中:k1、k2、k3分別為設計的正參數(shù),對公式(18)求導后可得:

(19)

其中:

(20)

(21)

(22)

(23)

2.1.2 滑模變結構控制器等效非線性項設計

一般而言,滑模控制等效非線性項參數(shù)D的選取要大于外部干擾d才能抵消外界干擾對于系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。音圈直線電機的主要非線性為摩擦力,根據(jù)牛頓第二定律有:

IKt-Cv-Ff=ma

(24)

公式中:Kt為力常數(shù);C為阻尼系數(shù);Ff為摩擦力;a為音圈直線電機的加速度。通過摩擦力測試可知,當速度信號在峰值處a=0,這時為靜摩擦和滑動摩擦進行轉換的時刻,Cv近似等于零,即IKt=Ff。由圖1的測試可知輸入信號的最大值為0.53 A,通過重復實驗推得非線性摩擦為有界值,則可得外部干擾d為有界值。

設計等效非線性控制項為

(25)

因為當D的選取大于外部干擾d時,才能使得系統(tǒng)穩(wěn)定,即(D/Kt)>0.53,下文將以實驗說明此參數(shù)化方法具有實際工程意義。

在公式(23)上加等效非線性控制項usw可得:

(26)

公式中:k1、k2、k3,D分別為設計的正參數(shù),sign(s)的表達式為

(27)

當系統(tǒng)趨近于切換面時,因為控制律中存在符號函數(shù)sign(s),這會使得系統(tǒng)隨時間變化呈現(xiàn)出開關特性。該控制特性可以迫使系統(tǒng)沿規(guī)定的狀態(tài)軌跡作小幅度、高頻率的上下運動即會出現(xiàn)抖振問題。為了解決這一問題,本文選取合適的邊界層系數(shù),并使用飽和函數(shù)[20]替代符號函數(shù)來解決輸出存在抖振的問題,控制律公式(26)變?yōu)?/p>

(28)

其中:

(29)

公式中:k為可調的邊界層系數(shù),當系統(tǒng)趨近于滑模面且s/k在正負1之間時,sat(s)為比例可導函數(shù),使得滑模變結構的等效非線性控制項usw不會頻繁的在正負之間切換,有效避免了系統(tǒng)產生不必要的高頻振蕩。

2.2 音圈直線電機滑模變結構控制穩(wěn)定性分析

結合建立的線性模型和前文設計的控制律,進行穩(wěn)定性分析,設計李亞普洛夫函數(shù)為

(30)

由上式可知,V>0對V求導有:

(31)

將公式(18),公式(19)帶入上式得:

(32)

將公式(22)帶入上式得:

(33)

把u帶入公式(33)可得:

(34)

上式左側為k3s,所以上式繼續(xù)化簡為

(35)

3 實驗與分析

本節(jié)通過實驗來驗證所建立模型和設計控制器的有效性。實驗使用PID控制來與本文提出的控制方法作對比。

3.1 音圈直線電機實驗平臺介紹

音圈直線電機實驗平臺原理圖如圖3所示,圖4為音圈直線電機、驅動器以及電機控制器的實物照片圖。該音圈直線電機的型號為:LC87-56-00A。驅動器為Copley驅動器,型號為:ACJ-055-09。

圖3 音圈直線電機實驗原理圖Fig.3 Block diagram of voice coil linear motor experiment

圖4 音圈直線電機實驗平臺Fig.4 Voice coil linear motor experimental platform

控制器為日本艾安得公司生產的AD5436。位置反饋選用高精度光柵尺,型號為MS15,除此之外,實驗臺還配備了高精度隔振臺抑制外界環(huán)境干擾,型號為J02-1809。

3.2 最小二乘法辨識模型

利用最小二乘法對傳遞函數(shù)參數(shù)進行辨識,得到模型的傳遞函數(shù)如公式(36)所示。對得到的傳遞函數(shù)模型進行幅頻與相頻擬合實驗,實驗結果圖如圖5～圖8所示:

圖5 傳函幅值實驗與擬合圖Fig.5 Transfer function amplitude experiment and fitted plot

圖6 傳函幅值誤差圖Fig.6 Transfer function amplitude error plot

圖7 傳函相位實驗與擬合圖Fig.7 Transfer function phase experiment with fitted plot

圖8 傳函相位誤差圖Fig.8 Transfer function phase error plot

(36)

實驗結果表明,本文建立的傳遞函數(shù)模型能準確擬合音圈直線電機系統(tǒng)實際輸出,精確的描述系統(tǒng)的頻率響應特性。由實驗結果計算得,相位誤差和幅值最大誤差率分別為5.583 8%和8.114 4%,誤差在可接受范圍內。

3.3 音圈直線電機滑模變結構控制實驗

在如圖4所示的實驗臺上進行了軌跡跟蹤實驗,實驗結果如圖9～圖15所示。由公式(36)和2.1.2小節(jié)的分析,本文設計等效非線性項參數(shù)D=6 897 410.85。指令信號分別為:5 mm全行程連續(xù)步進信號,5 mm單步往返以及3 mm行程3階S曲線,其中3階S曲線中速度為6 mm/s,加速度為500 mm/s2,加加速度為100 000 mm/s3。

圖9 全行程連續(xù)步進信號跟蹤圖Fig.9 Full-stroke continuous stepping signal tracking diagram

圖10 全行程連續(xù)步進信號跟蹤誤差圖Fig.10 Full-stroke continuous stepping signal tracking error plot

圖11 5 mm單步往返信號跟蹤圖Fig.11 5 mm Single-step round trip signal tracking diagram

圖12 5 mm單步往返信號跟蹤誤差圖Fig.12 5 mm Single-step round-trip signal tracking error plot

圖13 3階S曲線跟蹤圖Fig.13 3rd-order S-curve tracking diagram

從實驗圖9至圖15以及控制對比表2得出,在全行程5 mm連續(xù)步進階躍指令下,滑模變結構控制方法的調節(jié)時間最長為600 ms,最短為70 ms,定位精度小于1 μm,穩(wěn)態(tài)可達0.5 μm,PID控制方法調節(jié)時間最長為987 ms,最短為220 ms,定位精度小于1 μm,穩(wěn)態(tài)可達0.5 μm。在全行程5 mm連續(xù)步進階躍指令中,相較于傳統(tǒng)的PID控制本文設計的滑模變結構控制方法的穩(wěn)態(tài)性能和動態(tài)性能均有所提升;在5 mm單次往返指令中,所設計的滑?？刂婆cPID控制使誤差進入正負1 μm區(qū)間的調節(jié)時間分別為110 ms和854 ms,穩(wěn)態(tài)誤差均為0.5 μm;在3 mm的3階S曲線指令中,所設計的滑模變結構控制與PID控制的最大誤差分別為8 μm和58 μm,穩(wěn)態(tài)誤差分別為2 μm和10 μm。表2中的勻速段是指在3階S曲線指令下,速度達到目標值且保持不變的一個時間段,很多的運動臺都需要運動機構在勻速段達到相應指標,所以勻速段的相關指標是描述一個運動機構的重要指標之一。如圖15所示,本文規(guī)劃的3階S曲線下對應的勻速段時間為0.108 7 s至0.501 7 s。表2列舉了勻速段對應的位置最大誤差、速度調節(jié)時間、速度最大誤差的指標。由誤差圖14可知所設計的滑模變結構控制與PID控制在勻速段位置最大誤差分別為6 μm和27 μm。由圖15可知勻速段速度最大誤差分別為0.729 3 mm/s和1.493 2 mm/s,所設計的滑模變結構控制在勻速段速度調節(jié)時間為127ms,PID控制在勻速段不能進入到速度終值的正負5%內。

表2 S曲線信號滑模變結構控制與PID控制對比表

圖15 3階S曲線速度跟蹤控制圖Fig.15 3rd-order S-curve speed tracking control diagram

由上述分析可知,相比于傳統(tǒng)的PID控制方法本文所設計的滑?？刂破髂軌蛉〉酶玫目刂菩Ч?這是由于音圈直線電機系統(tǒng)中,存在不可忽略的非線性擾動,如非線性摩擦,所以提出控制方法的實驗結果要明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的PID控制所得的實驗結果。

4 結 論

為了消除非線性摩擦特性對音圈直線電機系統(tǒng)定位精度的影響,本文通過機理建模的方法建立系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型,采用最小二乘法辨識系統(tǒng)模型的參數(shù)。通過實驗結果計算可得:模型幅值最大誤差率為5.583 8%,模型相位最大誤差率為8.114 4%。結果表明本文建立的模型可以準確地描述音圈直線電機的特性。為了達到精確定位精度的要求,基于已建立的音圈直線電機系統(tǒng)模型和摩擦力測試得到的非線性摩擦項,設計了線性等效控制項和非線性等效控制項,提出了一種滑?？刂频刃Х蔷€性控制項的參數(shù)設計方法。此外,根據(jù)采用李亞普洛夫穩(wěn)定性理論證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。軌跡跟蹤實驗結果表明,提出的控制方法,有效的消除了非線性摩擦對音圈直線電機性能的影響。從實驗數(shù)據(jù)還可以看出,相比于PID控制提出的控制方法具有更好的控制性能。本文提出的控制方法不但可以應用于音圈直線電機的軌跡跟蹤控制,還可以應用到其他微納米定位系統(tǒng)中。