一類具有預(yù)設(shè)跟蹤性能的約束控制器設(shè)計(jì)

劉勇華,潘則丞,喬瑜姣

(廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院,廣東 廣州 510006)

0 引 言

在工業(yè)生產(chǎn)過程中,出于安全與性能方面的考慮,通常要求控制系統(tǒng)滿足各種約束條件,包括執(zhí)行機(jī)構(gòu)中存在的物理安全約束以及工業(yè)生產(chǎn)中的工藝性、經(jīng)濟(jì)性和社會(huì)性等指標(biāo)約束.在系統(tǒng)運(yùn)行過程中,若這些約束條件無法得到滿足,工業(yè)生產(chǎn)將會(huì)受到很大的影響[1,2]。因此,建立約束控制理論來解決約束系統(tǒng)的控制問題具有重要的理論意義與實(shí)際價(jià)值[3-10]。經(jīng)過十多年來學(xué)術(shù)界與工業(yè)界的努力,約束控制理論取得了很大的進(jìn)展,涌現(xiàn)出Reference Governor[11]、模型預(yù)測(cè)控制[12]、滑?？刂芠13]、基于不變集的控制器設(shè)計(jì)[14]與極值搜索控制[15]等多種約束控制方法。

近年來,基于障礙Lyapunov函數(shù)(Barrier Lyapunov Function,BLF)的約束控制方法受到越來越多學(xué)者的關(guān)注[16-18]。針對(duì)一類含有輸出約束的嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng),文獻(xiàn)[16]分別提出了基于對(duì)稱BLF和非對(duì)稱BLF的狀態(tài)反饋控制算法,所設(shè)計(jì)的控制器不僅能夠滿足給定的輸出約束條件,且能實(shí)現(xiàn)漸近跟蹤。在文獻(xiàn)[16]的基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[17]通過構(gòu)造非對(duì)稱時(shí)變BLF解決了一類含有時(shí)變輸出約束的嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)的控制問題。針對(duì)一類具有全狀態(tài)約束的嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng),文獻(xiàn)[18]給出了一種基于積分型BLF的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方案。該方案在滿足系統(tǒng)狀態(tài)約束的同時(shí),可保證閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)是半全局一致有界的。

值得指出的是,上述基于BLF的約束控制方法均無法直接對(duì)系統(tǒng)的輸出或狀態(tài)進(jìn)行約束,僅能通過約束狀態(tài)誤差來間接約束系統(tǒng)的輸出或狀態(tài),使得受約束輸出或狀態(tài)的初始值必須限制在一個(gè)比給定約束條件更小的區(qū)域內(nèi),因而所提控制算法具有較大的保守性。為解決這一問題,文獻(xiàn)[19]采用非線性映射技術(shù),將含有輸出約束的非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為無約束系統(tǒng),設(shè)計(jì)了一種滿足輸出約束的自適應(yīng)反推控制算法。文獻(xiàn)[20]結(jié)合坐標(biāo)變換與動(dòng)態(tài)面控制方法,探討了一類全狀態(tài)約束非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)控制問題。然而,這些結(jié)果僅能滿足系統(tǒng)的輸出或狀態(tài)約束,無法兼顧系統(tǒng)的瞬態(tài)與穩(wěn)態(tài)性能。

為預(yù)先設(shè)定系統(tǒng)的瞬態(tài)與穩(wěn)態(tài)性能,Ilchmann等受到高增益控制思想的啟發(fā),提出了一種漏斗控制(Funnel Control,FC)方法[21]。隨后,文獻(xiàn)[22]將該方法推廣至一類Brunovsky型非線性系統(tǒng)。文獻(xiàn)[23]進(jìn)一步研究了一類具有未知冪次的高階不確定非線性系統(tǒng)的預(yù)設(shè)性能控制問題,得到了一種基于BLF的漏斗控制方案。與此同時(shí),Bechlioulis和Rovithakis利用誤差變換技術(shù),提出了一種預(yù)設(shè)性能控制(Prescribed Performance Control,PPC)策略[24,25]。在未知?jiǎng)討B(tài)環(huán)境下,文獻(xiàn)[26]和[27-28]分別探討了具有未知控制方向的嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)的預(yù)設(shè)性能鎮(zhèn)定與跟蹤問題。為同時(shí)滿足系統(tǒng)的輸出約束與預(yù)設(shè)性能約束,文獻(xiàn)[29]通過選取合適的性能函數(shù),設(shè)計(jì)了一種基于BLF的自適應(yīng)控制算法。針對(duì)一類全狀態(tài)約束的歐拉-拉格朗日系統(tǒng),文獻(xiàn)[30]利用BLF給出了一種預(yù)設(shè)性能自適應(yīng)控制方案。然而,文獻(xiàn)[29-30]中的控制方法不可避免地保留了BLF引起的保守性問題。此外,這些方法中的性能函數(shù)無法完全根據(jù)預(yù)先設(shè)定的瞬態(tài)與穩(wěn)態(tài)性能進(jìn)行選取,需要折衷考慮系統(tǒng)的輸出或狀態(tài)約束。

基于以上討論,本文針對(duì)一類含有輸出約束的嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng),提出了一種具有預(yù)設(shè)跟蹤性能的約束控制方法。該方法根據(jù)系統(tǒng)的輸出約束和預(yù)設(shè)性能要求,設(shè)計(jì)了一種新穎的坐標(biāo)變換。與基于BLF的控制算法相較,本文所提控制器的顯著優(yōu)點(diǎn)包括:1)采用坐標(biāo)變換直接對(duì)系統(tǒng)的輸出與跟蹤誤差進(jìn)行約束,去除了BLF引起的保守性問題;2)性能函數(shù)不依賴于系統(tǒng)的輸出約束條件,其選取具有更大的靈活性。最后,仿真結(jié)果表明了本文所提控制算法的有效性。

1 問題描述

考慮如下一類嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)[18]

(1)

k1

(2)

公式中:k1,k2為約束常數(shù),且k2>k1。

本文的控制目標(biāo):設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器u,使得系統(tǒng)輸出滿足給定的約束條件(2),且跟蹤誤差y-yr保持在預(yù)設(shè)性能邊界內(nèi),即

-ρ1

(3)

公式中:ρi(t),i=1,2為性能函數(shù),滿足

1)ρi(t)是正的且嚴(yán)格遞堿;

2)limt→∞ρi(t)>0。

注1本文中性能函數(shù)ρi(t),i=1,2可選取為如下形式[22-23]

ρi(t)=(ρi,0-ρi,∞)e-λit+ρi,∞,i=1,2

(4)

公式中:ρi(0)=ρi,0為預(yù)設(shè)性能函數(shù)的初始值;limt→∞ρi(t)=ρi,∞為穩(wěn)態(tài)誤差邊界;ρi,0>ρi,∞>0、λi>0分別為誤差收斂速度;ρi(0)需滿足-ρ1(0)

引理1(LaSalle-Yoshizawa定理)[31]：針對(duì)非自治系統(tǒng)x=f(x,t),x(0)=x0,其中,f(x,t):Rn×R+→Rn滿足局部Lipschitz條件。若存在一個(gè)連續(xù)可微Lyapunov函數(shù)V:Rn×R+→R滿足

(ⅰ)V(x,t)>0和V(0)=0;

(ⅲ)V(x,t)→∞當(dāng)‖x‖→∞(徑向無界),

公式中:W(x)為一個(gè)連續(xù)函數(shù)。則系統(tǒng)的所有解x(t)都是一致全局有界的,并且limt→∞W(x(t))=0。另外,當(dāng)xe=0為系統(tǒng)的平衡點(diǎn)且W(x)>0時(shí),系統(tǒng)在該平衡點(diǎn)為一致的全局漸近穩(wěn)定。

2 控制器設(shè)計(jì)

為保證系統(tǒng)輸出在給定的約束區(qū)間內(nèi),且跟蹤誤差z1滿足預(yù)設(shè)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能要求,定義如下坐標(biāo)變換

(5)

z11=x11-y1r

(6)

zi=xi-αi-1,i=2,…,n

(7)

注2與基于BLF的控制方法不同[29-30],本文設(shè)計(jì)了一種新穎的坐標(biāo)變換公式(5)～公式(7),分別對(duì)系統(tǒng)輸出x1與跟蹤誤差y進(jìn)行約束。

考慮如下Lyapunov函數(shù)

(8)

(9)

設(shè)計(jì)虛擬控制器αi,i=1,…,n-1和控制律u為

(ρ1+z1)(ρ2-z1)×(x1-k1)(k2-x1)))

(10)

(11)

(12)

(13)

公式中:ω=(k2-k1)(ρ1+z1)(ρ2-z1)+(ρ1+ρ2)(x1-k1)(k2-x1);ci,i=1,…,n為正的設(shè)計(jì)常數(shù)。對(duì)虛擬控制器αi-1,i=2,…,n求導(dǎo),則有

(14)

根據(jù)等公式(1),公式(5)～公式(7),公式(10)～公式(14),可得

(15)

(16)

(17)

(18)

最后,對(duì)Vn求導(dǎo),將公式(15)～公式(18)代入公式(9)可得

(19)

定理1考慮由系統(tǒng)(1),虛擬控制器(10)～(12),控制律(13)組成的閉環(huán)系統(tǒng).若假設(shè)1成立,且初始條件滿足k1

1)閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)有界;

2)系統(tǒng)輸出滿足給定的約束條件(2);

3)跟蹤誤差z1符合預(yù)先設(shè)定的性能要求,即-ρ1

4)limt→∞z1=0。

(20)

公式中:ξ=ρ1(k2-x1)(yr-k1)+ρ2(x1-k1)(k2-yr)+ρ1ρ2(k2-k1),注意到ξ>0,故limt→∞z1=0。

-b1

(21)

則可推得系統(tǒng)輸出x1(t)滿足給定的約束條件,即

-k1<-b1+yr

(22)

然而,(22)也隱含著初始條件x1(0)須滿足

-k1+A0+yr(0)

(23)

即x1(0)必須限制在一個(gè)比給定約束條件Ω更小的區(qū)域內(nèi),這使得該方法具有較大的保守性。與基于BLF的控制方法不同[16-18,29,30],本文所提控制算法采用新的坐標(biāo)變換(5)～(7)直接對(duì)系統(tǒng)輸出進(jìn)行約束,即初始條件x1(0)應(yīng)滿足

-ρ1(0)+yr(0)

(24)

設(shè)置預(yù)設(shè)性能函數(shù)的初始值滿足以下條件:

-ρ1(0)k2-yr(0)

(25)

能確保以下不等式成立

yr(0)

(26)

即x1(0)適用于在給定約束條件Ω區(qū)域內(nèi)的任何值,避免了BLF引起的保守性問題。此外,性能函數(shù)ρ1,ρ2不依賴于系統(tǒng)的輸出約束條件(2),增大了其選取的靈活性。

3 仿 真

在本節(jié)中,我們用兩個(gè)仿真來測(cè)試本文控制策略的有效性和實(shí)用性。第一個(gè)仿真是將本文控制方法與基于BLF的控制方法對(duì)比;第二個(gè)仿真是將該控制方法應(yīng)用于實(shí)際系統(tǒng)中。

例1:考慮如下一類二階非線性系統(tǒng)

(27)

公式中:系統(tǒng)初始值設(shè)置為[x1(0),x2(0)]T=[0.4,0.1]T;參考軌跡yr=0.2+0.4cos(t);約束常數(shù)k1=-0.8;k2=0.8,控制器參數(shù)c1=1,c2=2;性能函數(shù)ρ1=2e-0.5t+0.01,ρ2=e-0.3t+0.01。仿真結(jié)果如圖1和圖2所示。圖1和圖2分別為輸出跟蹤性能和控制信號(hào)u。從圖1可以看出,在本文所提控制策略下,系統(tǒng)輸出y滿足給定的約束條件k1

圖1 輸出跟蹤性能Fig.1 Output tracking performance

圖2 控制信號(hào)uFig.2 Control signal u

(28)

(29)

其中,b1=k2-A0=0.2。仿真結(jié)果如圖3和圖4所示。圖3和圖4分別為采用BLF的控制方法時(shí)的輸出跟蹤性能和控制信號(hào)u。從圖3和圖4可以看出,該控制策略在時(shí)間0.05 s-0.06 s時(shí)失效,根據(jù)公式(23)計(jì)算可知,x1(0)的適用區(qū)間為(0.4,0.8),在本次仿真中初始狀態(tài)所設(shè)值x1(0)=0.4,在適用區(qū)間外,所以控制器失效。對(duì)比本文的控制方案中初始條件x1(0)只需滿足給定的約束條件k1

圖3 BLF輸出跟蹤性能Fig.3 BLF output tracking performance

圖4 BLF控制信號(hào)uFig.4 BLF control signal u

例2:為了測(cè)試所開發(fā)的控制策略的實(shí)際應(yīng)用,考慮了一個(gè)倒立擺系統(tǒng),其動(dòng)力學(xué)模型可以表示為[33]

(30)

其中

公式中:x1和x2分別為鐘擺的角位移和角速度;g=9.8 m/s為重力加速度系數(shù);Mc和Mp分別為小車和桿子的質(zhì)量;L為桿的半長;u為施加的力控制;Mc=1.0 kg;Mp=0.1 kg;L=0. 5m。初始狀態(tài)[x1(0),x2(0)]T=[3,2]T,控制目標(biāo)是使y=x1跟蹤yr=3+sin(t);約束常數(shù)k1=1,k2=5,控制器參數(shù)c1=1,c2=2,性能函數(shù)ρ1=2e-0.5t+0.01,ρ2=3e-0.3t+0.01,仿真結(jié)果如圖5和圖6所示。圖5和圖6分別為輸出跟蹤性能和控制信號(hào)u。從圖中可以看出,在本文所提控制策略下,系統(tǒng)輸出y滿足給定的約束條件k1

圖5 角位移輸出跟蹤性能Fig.5 Angular displacement output tracking performance

圖6 力控制信號(hào)uFig.6 Force control signal u

4 結(jié) 論

本文研究了一類含有輸出約束的嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)的預(yù)設(shè)性能控制問題.結(jié)合系統(tǒng)的輸出約束條件與預(yù)設(shè)性能要求,設(shè)計(jì)了一種新穎的坐標(biāo)變換.與基于BLF的控制方法不同,本文采用坐標(biāo)變換直接對(duì)系統(tǒng)輸出與跟蹤誤差進(jìn)行約束,避免了BLF引起的保守性問題.此外,性能函數(shù)不依賴于系統(tǒng)的輸出約束條件,增大了其選取的靈活性.仿真結(jié)果驗(yàn)證了該控制方案的有效性和實(shí)用性.