振動能量收集系統(tǒng)的輸出功率優(yōu)化設(shè)計與分析

許冠華,趙新龍

(浙江理工大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,浙江 杭州 310018)

振動能量收集技術(shù)是將自然界中的或人為產(chǎn)生的機(jī)械振動能轉(zhuǎn)換成可用的電能的過程,常用的技術(shù)有電磁式、靜電式與壓電式[1-4]。其中,壓電式振動能量收集技術(shù)具有比其他二者更大的能量密度[5],兼有綠色無污染、結(jié)構(gòu)簡單等特點(diǎn)[6-7]。近年來,無線傳感器網(wǎng)絡(luò)對小規(guī)模、便攜式和可再生能源提出了更大的需求[8-10],研究人員們期望用壓電振動能量收集技術(shù)來取代日漸暴露出更多問題的傳統(tǒng)電化學(xué)電池[11-12],以延長無線傳感器的使用壽命[13]。如何進(jìn)一步提升用來俘獲振動能量的壓電能量收集器(Piezoelectric Energy Harvester,PEH)的機(jī)電轉(zhuǎn)換效率,成為了一個亟待研究人員們解決的問題。

為了提升PEH的轉(zhuǎn)換效率,Shad Roundy等[14]發(fā)現(xiàn)當(dāng)懸臂梁的形狀由矩形向三角形靠攏時,懸臂梁軸向的應(yīng)力分布會更加均勻,但由于三角形懸臂梁末端無法連接質(zhì)量塊,故提出利用梯形懸臂梁來代替?zhèn)鹘y(tǒng)矩形懸臂梁以提升能量轉(zhuǎn)換效率。Hai Wang等[15]設(shè)計了一個具有六段折疊梯形梁結(jié)構(gòu)的PEH,該結(jié)構(gòu)具有更低的諧振頻率和距離更近的諧振峰,從而具有更好的電學(xué)輸出特性,但該P(yáng)EH的體積太大,不適合用于微小無線傳感器中,且當(dāng)振動頻率大時,各段梯形梁容易發(fā)生碰撞。Pradeesh等[6]則探究了壓電材料與質(zhì)量塊在懸臂梁上不同的放置方式與放置位置對PEH輸出特性的影響,結(jié)果表明在質(zhì)量塊的質(zhì)量不變時,質(zhì)量塊的材料與體積對PEH的輸出功率與諧振頻率無顯著影響。還有很多學(xué)者期望改變懸臂梁的幾何結(jié)構(gòu)來改善PEH的輸出特性,Annapureddy Rami Reddy等[16]設(shè)計了一種帶有梯形空腔的懸臂梁,實(shí)驗表明該結(jié)構(gòu)的輸出電壓比帶有矩形空腔的和無空腔的懸臂梁的輸出電壓分別增加了97.5%和108%,但該種梁制作工藝比較復(fù)雜,成本較高。Zhongjie Li等[13]在PEH的矩形懸臂梁中引入了旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié),通過有限元分析和實(shí)驗發(fā)現(xiàn),嵌入旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)可降低PEH的剛度,使諧振頻率降低,使輸出電壓提升了2.83倍,但該P(yáng)EH選用的是傳統(tǒng)的矩形懸臂梁,應(yīng)力分布不均,沒有使輸出最大化。

綜合以上研究中出現(xiàn)的問題,為了進(jìn)一步優(yōu)化電學(xué)輸出特性,本文提出了一種在梯形懸臂梁的自由端進(jìn)行切口的方案,利用COMSOL Multiphysics進(jìn)行有限元仿真,研究帶有特定形狀切口的PEH的諧振頻率、懸臂梁末端位移、輸出電壓頻率響應(yīng)、最大輸出功率和最優(yōu)負(fù)載,研究當(dāng)PEH具有特定形狀切口時,能否改善其電學(xué)輸出特性。

1 結(jié)構(gòu)理論分析

梯形懸臂梁的俯視圖如圖1所示。假設(shè)彈性支撐梁的厚度為2a,楊氏模量為Eb,壓電層的厚度為b,楊氏模量為Ep,梁長為L,固定端的寬度為ws,自由端的寬度為wf,沿梁伸長方向x距離處的梯形懸臂梁的寬度為wx,則wx可表示為

圖1 梯形懸臂梁結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of trapezoidalcantilever beam structure

(1)

根據(jù)牛頓第二運(yùn)動定律,建立如圖2所示的基于振動梯形梁的集總參數(shù)理論模型。

圖2 基于振動梯形梁的集總參數(shù)理論模型Fig.2 Theoretical model of lumped parameters based on vibrating trapezoidal beam

描述系統(tǒng)運(yùn)動的微分方程為

(2)

公式中:y(t)為外界輸入的振動信號;u(t)為質(zhì)量塊的位移;Meq為等效質(zhì)量;Cd為壓電梁的阻尼系數(shù);kd為等效彈簧的彈性系數(shù)。等式兩端同時作拉普拉斯變換得到

s2MeqU(s)+sCdU(s)+kdU(s)=Y(s)

(3)

則等效系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(4)

系統(tǒng)的固有頻率亦即特征頻率為

(5)

公式(5)說明可以通過改變等效質(zhì)量的大小來改變系統(tǒng)的固有頻率,使其更接近于環(huán)境振動頻率。系統(tǒng)的阻尼因子為

(6)

對整個懸臂梁-質(zhì)量塊系統(tǒng)進(jìn)行力學(xué)分析,可以得到結(jié)構(gòu)的固有頻率為

(7)

在加速度a(t)下,支撐梁和質(zhì)量塊的交界點(diǎn)沿z軸方向的位移為[17]

(8)

結(jié)合材料力學(xué)的知識可以得到支撐梁上的最大應(yīng)力σmax發(fā)生在固定端處,且最大應(yīng)力為

(9)

2 新型結(jié)構(gòu)設(shè)計

將固定端長度為20 mm,自由端長度為8 mm,長度為20 mm,厚度為0.2 mm的等腰梯形梁記為0#梁。本文提出了一種在0#梁自由端作特定形狀切口的方案,該切口在0#梁自由端的中心位置,切口尺寸為3.2 mm×5 mm,面積為16 mm2,將帶有切口的梁記為1#梁。之后在0#梁和1#梁固定端中心位置的上表面粘結(jié)一片長p=8 mm,寬q=4 mm,高b=0.1 mm的壓電陶瓷,并設(shè)其楊氏模量為Ep。0#梁和1#梁各處的具體尺寸如圖3所示。

圖3 0#梁和1#梁的示意圖Fig.3 Schematic diagram of 0# and 1# beams

0#單晶壓電懸臂梁在沿梁的伸長方向上按橫截面的類型不同總共可以被分成2段:第一段,0

當(dāng)0

(10)

第一段的慣性矩I1可以表示為

(11)

當(dāng)q≤x

(12)

故對于固定端貼有壓電陶瓷的0#梁,慣性矩方程為

(13)

當(dāng)0

(14)

壓電陶瓷區(qū)域下懸臂梁的應(yīng)力

(15)

取

σ1(x)=max{σ1,1(x),σ1,2(x)}

(16)

則應(yīng)變

(17)

其中,若σ1,1(x)>σ1,2(x),則取i=p;若σ1,1(x)<σ1,2(x),則取i=b。

當(dāng)q≤x

(18)

即對于固定端貼有壓電陶瓷的0#梁,其應(yīng)變方程可寫為

(19)

1#單晶壓電懸臂梁在沿梁的伸長方向上按橫截面的類型不同總共可以被分成3段:第一段,0

(20)

(21)

眾所周知,PEH產(chǎn)生的輸出電壓與其應(yīng)變成正比[18]。整個系統(tǒng)的輸出電壓[19]可表示為

(22)

公式中:ω為振動圓頻率;t為時間;φ為相位差;ε33為介電常數(shù);N為常數(shù)。當(dāng)給定PEH一正弦激勵y(t)=Asinωt時,懸臂梁末端的質(zhì)量塊會發(fā)生振動,壓電材料的輸出功率Pd為[20]

(23)

為了將輸出功率最大化,驅(qū)動PEH的正弦激勵的頻率ω應(yīng)該和系統(tǒng)的固有頻率ωn相匹配,即最大輸出功率發(fā)生在ω=ωn時,此時有

(24)

3 有限元仿真分析

利用有限元仿真軟件COMSOL Multiphysics對PEH進(jìn)行仿真。設(shè)置彈性支撐梁的材料為銅,壓電材料為PZT-5H(鋯鈦酸鉛壓電陶瓷),質(zhì)量塊的材料為PMMA(亞克力),相關(guān)零部件的尺寸和部分性能參數(shù)如表1所示。采用映射法和掃掠法進(jìn)行網(wǎng)格劃分,將壓電陶瓷下表面的電勢置零。

表1 各部件尺寸和性能參數(shù)

0#PEH和1#PEH的前三階諧振頻率如表2所示。結(jié)果表明,在梯形梁自由端切口的方案可以降低PEH的諧振頻率,使其能更好地工作在低頻振動的環(huán)境中。從表中還可以得出,兩種PEH的前二階諧振頻率數(shù)值相差較大,這使得它們可以工作在某個低頻振動環(huán)境中而不受自身諧振頻率特性的干擾。

表2 0#PEH和1#PEH的前三階諧振頻率(Hz)

為0#PEH和1#PEH施加沿z軸方向上的加速度大小為1 g的正弦激勵,在各自一階諧振頻率±5 Hz的范圍內(nèi)研究沿梁伸長方向上各點(diǎn)的位移情況。選取梁上表面中軸線為路徑,可以繪制出如圖4所示的梯形梁中軸線上所有點(diǎn)的位移圖。從圖4中可以得出,0#梁和1#梁的最優(yōu)位移曲線都發(fā)生在各自的一階諧振頻率處,各梁的最大位移都發(fā)生在梁的自由端。其中,0#梁的最大末端位移為0.58 mm,1#梁的最大末端位移為0.75 mm,較0#梁提升了29.3%。

圖4 0#梁和1#梁沿軸向的位移圖Fig.4 Displacement diagrams of 0# beams and 1# beams along the axial direction

在各模型的一階諧振頻率處研究加速度相關(guān)性,設(shè)定加速度的變化范圍為0.25～2 g,在此過程中計算各模型的輸出電壓與輸出功率,其結(jié)果如圖5所示。從圖5中可以看出,輸出電壓和輸出功率都與加速度呈正相關(guān),其中輸出電壓與加速度之間還是線性增加的關(guān)系。

圖5 0#PEH和1#PEH在一階諧振頻率下的加速度相關(guān)性Fig.5 Acceleration correlation of 0# PEH and 1# PEH at the first resonant frequency

為整個PEH施加一個沿z軸方向的加速度大小為0.5 g的正弦激勵,在各PEH的一階諧振頻率±5 Hz的范圍內(nèi)研究其輸出電壓的頻率響應(yīng),結(jié)果如圖6所示。從圖6中可知,0#PEH和1#PEH的輸出電壓峰值都出現(xiàn)在其各自的一階諧振頻率處,1#PEH的最大輸出電壓為9.88 V,比0#PEH的輸出電壓增長了48.3%。

圖6 0#PEH和1#PEH的輸出電壓頻率響應(yīng)曲線Fig.6 Output voltage frequency response curves of 0# PEH and 1# PEH

在各模型的一階諧振頻率處研究負(fù)載相關(guān)性,設(shè)定負(fù)載電阻的變化范圍為1 kΩ到100 MΩ,在此過程中計算各模型負(fù)載電阻兩端電壓和輸出功率,其結(jié)果如圖7所示。結(jié)果表明,隨著負(fù)載電阻的增大,負(fù)載兩端電壓整體呈現(xiàn)增大的趨勢,值得注意的是,負(fù)載電壓曲線的斜率從0開始增大,隨后又逐漸變成0,最終趨于一個穩(wěn)定的電壓值。而輸出功率曲線整體先增大后減小,在波峰兩側(cè),功率曲線呈對稱分布。隨負(fù)載電阻的增大或減小,輸出功率都將趨向于零,這與電路分析中的相關(guān)理論所得到的結(jié)論是一致的。其中,0#PEH和1#PEH的最大輸出功率分別為6.23 μW和9.46 μW,1#PEH的最大輸出功率較無切口的0#PEH提升了51.8%。因此,由阻抗匹配理論知,1#PEH的最優(yōu)化阻抗約為2.2 MΩ,即該種情況下系統(tǒng)的最佳負(fù)載為2.2 MΩ。綜上分析,可以確定在梯形懸臂梁自由端作特定形狀切口可以有效改善PEH的電學(xué)輸出特性。

圖7 0#PEH和1#PEH在一階諧振頻率下的負(fù)載相關(guān)性Fig.7 Load correlation of 0# PEH and 1# PEH at the first resonant frequency

4 結(jié) 論

本文通過理論模型分析和COMSOL Multiphysics有限元仿真方法分析了一種在梯形懸臂梁自由端作特定形狀切口的方案,得到了其模態(tài)分析、撓度分析、輸出電壓頻率響應(yīng)、最大輸出功率和最優(yōu)負(fù)載。分析結(jié)果表明,在梯形懸臂梁自由端作1#切口的方案可以提升PEH的電學(xué)輸出特性,在該種切口條件下:一階諧振頻率較不切口時降低了10.3%,使其能更好地工作在低頻振動環(huán)境中;當(dāng)外界正弦激勵的頻率為45 Hz,加速度為0.5 g時,1#PEH的最大輸出功率達(dá)到9.46 μW,比無切口的壓電能量收集器提升了51.8%。