基于多視線融合的高軌近場感知隊形設計

范大偉, 蔡偉偉, 楊樂平, 張潤德

(國防科技大學空天科學學院, 湖南 長沙 410073)

0 引 言

地球靜止軌道具有運行周期與地球自轉(zhuǎn)周期一致、相對地表靜止等特點,在導航、通信、預警等領(lǐng)域獲得了廣泛應用。由于地球靜止軌道頻譜資源有限,各航天大國歷來注重高軌資源的占有與利用,不斷發(fā)展近距離觀測、在軌操控等新技術(shù)[1-2]。2020年,任務延壽飛行器-1成功實現(xiàn)了對國際通信衛(wèi)星901的接管控制,充分體現(xiàn)了高軌在軌操控技術(shù)的成熟水平。實際上,此類技術(shù)也可進行拓展,用于對其他高軌航天器進行非計劃的操控,對其在軌運營安全帶來一定風險,因此迫切需要發(fā)展太空態(tài)勢感知能力,以及時預警危險目標及行為[3]。

地基光電望遠鏡是實施高軌空間目標探測的重要手段,但其受探測設備地理位置分布以及空間碎片尺寸大小等因素影響,難以對高軌目標近場范圍進行全時域探測[4]。近年來,微小衛(wèi)星技術(shù)飛速發(fā)展,為高軌目標近場態(tài)勢感知(near-field situation awareness, NSA)提供了新的思路。本文提出一種基于多視線(line-of-sight, LOS)融合的多星協(xié)同高軌衛(wèi)星NSA方案,該方案由主星和若干從星組成,從星在主星周圍做有界相對運動,并共享信息;主星和從星同時測量目標的視線角信息,并匯總至主星進行處理,進而估計目標的相對運動狀態(tài)。

由于微小衛(wèi)星體積有限,大多攜帶光學敏感器,只能得到目標的視線角信息,因此上述高軌衛(wèi)星NSA方案的關(guān)鍵是根據(jù)得到的目標視線角信息估計空間目標相對運動狀態(tài)[5]。實際上,類似問題在航天器僅測角相對導航中同樣存在,相關(guān)方案可為僅測角NSA提供參考[6-8]。為解決僅測角相對導航可觀測性較弱的問題,常用的方法包括機動法、相機偏置法、復雜動力學法以及多視線協(xié)同法等。Jaehwan[9]、Zhang[10]和Franquize等[11]研究發(fā)現(xiàn)衛(wèi)星通過主動機動可提高僅測角相對導航可觀測度,并設計相應的主動機動策略。然而,衛(wèi)星攜帶燃料有限,機動法會降低衛(wèi)星在軌壽命,減小其應用價值。為減少衛(wèi)星不必要的燃料消耗,龔柏春[12-14]、趙凱等[15]研究了相機偏置的僅測角相對導航問題。相機偏置法雖不消耗衛(wèi)星自身攜帶的燃料,但衛(wèi)星的尺度是有限的,即相機偏置的距離是受限的。因此,此方法往往被應用于近距離的相對導航任務。通過引入J2項攝動[16-17]、大氣阻力[18]和相對軌道根數(shù)[19]等方式構(gòu)造非線性動力學方程,可使線性模型中不完全可觀的距離狀態(tài)完全可觀,但復雜動力學法模型求解困難,且上述攝動對高軌目標影響較小,模型適用性較差。

通過對同一目標測量的多個視線方向,可以改善僅測角相對導航系統(tǒng)的可觀性。Wang[20]通過共享兩個立方星之間的角度測量數(shù)據(jù),提出比例導引與現(xiàn)代控制率相結(jié)合的制導方法,實現(xiàn)了對空間非合作目標的抵近觀測;Hu等[21]通過兩兩航天器之間的協(xié)同,實現(xiàn)了僅慣性角條件下三航天器系統(tǒng)的相對定位;韓飛等[22]通過設計多個伴飛機器人的繞飛構(gòu)型,相互補償視線夾角的周期變化,提高了僅測角相對導航精度;Chen等[23]基于雙視線測量相對導航方法,提出一種帶三角約束的自主交會抵近制導律,實現(xiàn)了禁飛區(qū)約束下的抵近觀測;高學海[24]提出了多視線分布式相對導航方法,有效改善了相對導航的可觀測性和導航精度。王楷[25]針對非合作目標中遠程相對導航問題,研究了航天器間幾何參數(shù)對導航精度的影響,提出基于雙視線測量的相對導航方法。通過多個航天器得到的多個視線角信息,上述研究均有效解決了僅測角相對導航可觀測性較弱的問題,但也存在些許不足,主要體現(xiàn)在:一方面,光學敏感器對光照極其敏感,上述研究并未考慮光照約束對視線角測量的影響;另一方面,上述研究大多通過簡單組合多視線信息改善相對導航精度,對多航天器隊形優(yōu)化研究較少。

本文通過測量方程融合不同視線角信息,并結(jié)合狀態(tài)方程與擴展卡爾曼濾波算法,構(gòu)建多LOS融合NSA模型,有效解決了僅測角信息下NSA可觀測性較弱的問題;然后,通過理論推導,得出視線夾角對目標位置估計誤差的影響;接著,考慮光照、有界相對運動等約束,提出NSA隊形優(yōu)化策略;最后,通過數(shù)值仿真,驗證了多LOS融合NSA模型、隊形設計準則、隊形優(yōu)化策略的有效性。

1 多LOS融合NSA模型

本節(jié)以一顆主星和兩顆從星組成的NSA系統(tǒng)為例,如圖1所示。

圖1 多星NSA示意圖Fig.1 Diagram of multi-spacecraft NSA

圖1中,O、Oc、Od1、Od2、Ot分別表示地球、主星、從星1、從星2以及空間目標的質(zhì)心。慣性坐標系O-XYZ的原點位于地球質(zhì)心,X軸由地心指向春分點方向,Z軸垂直于赤道面指向北極,Y軸由右手法則確定。主星相對運動坐標系Oc-xcyczc的原點位于主星質(zhì)心Oc處,xc軸由地心O指向Oc,yc在主星軌道面內(nèi)與xc軸垂直,以沿運動方向為正;zc軸垂直于軌道面,且與xc、yc構(gòu)成右手系。從星1和從星2的相對運動坐標系Od1-xd1yd1zd1、Od2-xd2yd2zd2的定義與Oc-xcyczc類似,不再贅述。ρt、ρt1、ρt2分別表示空間目標在Oc-xcyczc、Od1-xd1yd1zd1和Od2-xd2yd2zd2中的位置矢量;ρd1、ρd2分別表示從星1、從星2在Oc-xcyczc中的位置矢量。若主星與從星之間可以實現(xiàn)信息交互,即可認為ρd1、ρd2均為已知量。αc為方位角,表示ρt在Oc-xcyc平面內(nèi)的投影與xc軸的正向夾角;βc為俯仰角,表示ρt在Oc-xcyc平面內(nèi)的投影與ρt的夾角。類似地,α1、β1與α2、β2分別表示從星1、從星2測量得到的目標在各自相對運動坐標系的方位角與俯仰角。θt表示ρt與ρt1的夾角,θcd1表示ρd1與ρt1夾角的補角。

1.1 狀態(tài)方程

(1)

式中:a為主星半長軸;n為主星平均軌道角速度。

進一步,將式(1)改寫狀態(tài)方程形式,可得

(2)

為便于后續(xù)濾波處理,對式(2)作離散化與線性化處理。記離散時間步長為T,則在第k個離散點處,式(2)的離散形式為

Xk+1=Xk+f(Xk)T

(3)

假設主、從星均不施加主動控制,令

(4)

其右端展開為

(5)

則在X=Xk處,式(3)的線性化形式為

(I+A(Xk)T)Xk

(6)

綜上,可得離散化、線性化的狀態(tài)方程為

Xk+1=ΦkXk

(7)

式中:

(8)

1.2 測量方程

觀測量為多顆衛(wèi)星在自身相對運動坐標系中測量得到的空間目標方位角α和俯仰角β。

(9)

將主星與N顆從星在同一時刻獲得的視線角觀測量記作:

Z=[αc,βc,α1,β2,…,αN,βN]T

(10)

Xall=[Xc;Xd1;…;XdN]

則主星與N顆從星在同一時刻的視線角計算值為

(11)

考慮角度測量的誤差,可得觀測方程為

Z=h(Xall)+V

(12)

式中:V表示測量誤差矩陣。

前文已經(jīng)假設主、從星之間可以實現(xiàn)信息交互,即可以精確得知從星相對于主星的位置速度,因此僅需求得Xc,再通過矢量相加和坐標轉(zhuǎn)換即可求得Xdi。為降低后續(xù)濾波求解維度,將式(11)兩邊同時對Xc求偏導:

(13)

其中,

(14)

(15)

(16)

在第k個離散時間點處,觀測方程式(12)的線性、離散形式為

Zk=HkXc,k+Vk

(17)

式中:下標k表示第k個離散時間點處的取值,Xc,k為空間目標在主星相對運動坐標系中的狀態(tài)量;Hk為根據(jù)式(13)計算獲得的雅克比矩陣;Zk為視線角觀測值;Vk為視線角測量誤差矩陣。

1.3 相對狀態(tài)估計

采用擴展卡爾曼濾波算法進行相對狀態(tài)估計,具體步驟如圖2所示。

圖2 擴展卡爾曼濾波流程圖Fig.2 Flowchart of extended Kalman filter

2 多星NSA隊形優(yōu)化策略

前文已經(jīng)給出如何利用多顆衛(wèi)星獲取的多LOS角度信息估計非合作空間目標的相對位置和速度。本節(jié)將介紹如何獲取有效的多LOS角度信息,即多星NSA隊形優(yōu)化策略。首先,通過理論分析得到影響相對位置估計誤差的主要因素,并基于此因素,結(jié)合光照、有界相對運動與碰撞避免等約束,建立NSA隊形優(yōu)化模型,之后將隊形優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題,通過罰函數(shù)法求解上述非線性規(guī)劃問題。

2.1 NSA隊形優(yōu)化模型

2.1.1 隊形優(yōu)化準則與設計變量

如圖1所示,考慮由主星、從星1及空間目標組成的三角形OcOd1Ot。設dt、dt1分別為ρt、ρt1的單位向量,則由測量得到的方位角、俯仰角可得

(18)

根據(jù)余弦定理,可得夾角θt、θcd1分別為

(19)

進一步,根據(jù)正弦定理,可得目標相對于主星的距離為

(20)

(21)

(22)

Xdesign=[a1,e1,I1,Ω1,ω1,M1,…,

aN,eN,IN,ΩN,ωN,MN]

(23)

式中:ai,ei,Ii,Ωi,ωi,Mi分別表示從星i的半長軸、偏心率、軌道傾角、升交點赤經(jīng)、近地點幅角、平近點角。

2.1.2 約束條件

(24)

圖3 太陽光照約束示意圖Fig.3 Schematic diagram of sunlight constraint

為確保從星與主星保持正常信息交互距離,應要求從星在主星周圍做有界相對運動,即從星與主星的軌道根數(shù)滿足有界相對運動條件:

(25)

式中:Δej=ej-ec表示兩星軌道根數(shù)之差,ΔIj、ΔΩj、Δωj和ΔMj的定義與此類似;bj為從星j的自然運動橢圓在ocxcyc平面投影的短半軸長度,bmax為其最大數(shù)值;Cj為從星j自然運動橢圓在zc軸的振幅,Cmax為其最大數(shù)值;yc,j為從星j自然運動橢圓在ocxcyc平面投影中心距原點的距離,yc,max為其最大數(shù)值;下標c表示主星相應軌道根數(shù)。

值得注意的是,由式(25)所示有界相對運動條件可知,從星和主星的半長軸相等,即二者軌道周期是1∶1通約的。根據(jù)相對運動的能量匹配條件,二者之間將形成一個周期性的相對運動,只要該相對運動軌跡不經(jīng)過相對坐標系原點,就不會發(fā)生碰撞。此外,NSA隊形優(yōu)化設計準則要求在整個任務期間主從星至目標的視線平均夾角趨近于90°,顯然主從星間距離不會過于接近。為提高隊形設計的效率,采用事后驗證的策略檢驗碰撞避免條件,即設計出NSA隊形后,根據(jù)碰撞避免約束違背情況再進行調(diào)整。

2.2 NSA隊形優(yōu)化求解

NSA隊形優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題:

(26)

本文采用罰函數(shù)法,將上述含約束規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為無約束規(guī)劃問題進行求解,分別以gi(Xdesign)和hj(Xdesign)表示式(26)中的不等式和等式約束,并定義:

(27)

式中:η,κ≥1,均為給定常數(shù)。

minF(Xdesign,σ)=J(Xdesign)+σP(Xdesign)

(28)

式中:σ為罰因子,一般取較大的正數(shù)。

罰函數(shù)法的具體計算步驟如下。

3 數(shù)值仿真分析

3.1 多LOS融合NSA模型仿真

本節(jié)通過仿真驗證多LOS融合NSA模型和隊形優(yōu)化準則。表1為NSA系統(tǒng)中各航天器軌道根數(shù),仿真時間為2 000 s,光學相機的測角精度為0.001 rad,且測角誤差服從高斯分布,每隔0.5 s獲取一次目標視線角信息。相對狀態(tài)初始估計誤差為[10 000 m,10 000 m,10 000 m,10 m/s,10 m/s,10 m/s],其中本文仿真結(jié)果均為相同場景下50次蒙特卡羅仿真結(jié)果的平均值,仿真初始時刻均設為北京時間2022年1月1日12時00分00秒,濾波算法相應矩陣為Q=diag[10-4,10-4,10-4,10-4,10-4,10-4],R=diag[10-6,10-6,10-6,10-6,10-6,10-6]。

表1 NSA系統(tǒng)航天器軌道根數(shù)

圖4為僅有主星、主星和從星1、主星和從星2以及主星和從星1和從星2(4種情況下)得到的目標距離和速度估計誤差隨時間的變化曲線。其中,小框圖為對應曲線最后100 s的放大圖。

圖4 距離及速度大小誤差隨時間的變化曲線Fig.4 Curve of position and velocity’s magnitude error changing with time

由圖4可知,僅有主星時,位置誤差一直發(fā)散,速度大小誤差在450 s內(nèi)收斂至25 m/s;主星與從星1組合時,距離誤差在580 s內(nèi)收斂至50 m,速度大小誤差在440 s內(nèi)收斂至0.5 m/s;主星與從星2組合時,距離誤差在1 800 s內(nèi)收斂至1 000 m,速度大小誤差在800 s收斂至4 m/s;主星與從星1和從星2組合時,距離誤差在490 s內(nèi)收斂至30 m,速度大小誤差在400 s內(nèi)收斂至0.4 m/s。

圖5 多LOS夾角隨時間的變化曲線Fig.5 Curve of multi-LOS angle changing with time

結(jié)合圖4和圖5分析可知,相比于主星與從星2的組合,主星與從星1的組合在任務期間內(nèi),視線夾角更趨近于90°,相應的距離、速度大小誤差收斂速度及精度均更優(yōu),即主星與從星1組合時,NSA效果更好,有效驗證了第2.1.1節(jié)得到的NSA隊形優(yōu)化準則。

3.2 NSA隊形優(yōu)化設計

考慮兩種空間非合作目標接近高價值衛(wèi)星的相對運動形式:飛躍運動和繞飛運動,本節(jié)主要針對上述兩種相對運動優(yōu)化設計NSA隊形。首先,給出NSA隊形優(yōu)化仿真參數(shù):仿真時間為2 000 s,時間步長為0.5 s,離散時間點數(shù)目M=4 000,從星數(shù)量N=2,臨界太陽光照角為80°,有界相對運動約束參數(shù)bmax=60 km,Cmax=15 km,yc,max=15 km。在得到NSA隊形后需要驗證其效果,相應的仿真參數(shù)為:仿真時間為2 000 s,光學相機的測角精度為0.001 rad并且測角誤差服從高斯分布,每隔0.5 s獲取一次目標視線角信息,相對狀態(tài)初始估計誤差為[10 000 m, 10 000 m,10 000 m,10 m/s,10 m/s,10 m/s]。

3.2.1 目標1飛躍觀測主星情形

表2所示為主星、目標1及基于NSA隊形優(yōu)化策略得到的兩顆從星軌道根數(shù)。其中,主星與目標1均在高軌運行,除半長軸,其他軌道參數(shù)均相同,優(yōu)化得到的性能指標J=39.195 3°。除此之外,b1=53.55 km,C1=10.01 km,yc,1=0 m,b2=0 m,C2=9.99 km,yc,2=-11.88 km,均符合有界相對運動的約束條件。

表2 目標1 NSA隊形軌道根數(shù)

圖6為主星一個軌道周期內(nèi)目標1、從星1及從星2相對于主星的運動軌跡,每條軌跡中加粗部分為2 000 s內(nèi)的運動軌跡。由圖6可得,空間目標相對于主星做飛躍運動,從星1做以主星為中心的繞飛運動,從星2做zc方向的震蕩運動,且任務期間內(nèi)未發(fā)生碰撞。圖7為利用優(yōu)化得到的NSA隊形估計目標1相對狀態(tài)時,其距離與位置三軸分量估計誤差隨時間變化曲線,小框圖中紅色曲線為最后100 s的放大圖,由圖7可知,目標1距離誤差在500 s內(nèi)收斂至5 m。圖8為目標1速度大小及相應三軸分量估計誤差隨時間變化曲線,小框圖中紅色曲線為最后100 s的放大圖。由圖8可知,目標1速度大小誤差在450 s內(nèi)收斂至0.05 m/s。圖9為兩顆從星太陽光照角隨時間變化曲線,顯然太陽光照角均大于臨界約束角(80°)。

圖6 目標1 NSA隊形Fig.6 NSA configuration of Target 1

圖7 目標1距離及位置三軸分量誤差隨時間變化曲線Fig.7 Curve of position vector’s magnitude and triaxial component error of Target 1 changing with time

圖8 目標1速度大小及三軸分量誤差隨時間變化曲線Fig.8 Curve of velocity vector’s magnitude and triaxial component error of Target 1 changing with time

圖9 太陽光照角隨時間變化曲線Fig.9 Curve of sunlight angle changing with time

3.2.2 目標2繞飛觀測主星情形

表3所示為主星、目標2及基于NSA隊形優(yōu)化策略得到的兩顆從星的軌道根數(shù),其中主星與目標2均在高軌運行,除偏心率與軌道傾角,其他軌道根數(shù)均相同。優(yōu)化得到的性能指標J=43.370 3°。除此之外,b1=28.63 km,C1=10.01 km,yc,1=0 m,b2=24.92 m,C2=10.01 km,yc,2=0 km均符合有界相對運動約束條件。

表3 目標2 NSA隊形軌道根數(shù)

圖10為主星在一個軌道周期內(nèi)目標2、從星1和從星2相對于主星的運動軌跡,每條軌跡中加粗部分為2 000 s內(nèi)的運動軌跡。由圖10可知,目標2相對于主星做繞飛運動,從星1、從星2均做以主星為中心的繞飛運動,且在任務期間內(nèi)未發(fā)生碰撞。圖11為利用優(yōu)化得到的NSA隊形估計目標2的相對狀態(tài)時,其距離與位置相應三軸分量隨時間的變化曲線,小框圖中紅色曲線為最后100 s的放大圖。由圖11可知,目標2距離誤差在1 200 s內(nèi)收斂至30 m。圖12為目標2速度大小及相應三軸分量估計誤差隨時間變化曲線,小框圖中紅色曲線為最后100 s的放大圖。由圖12可知,目標2速度大小誤差在1 000 s內(nèi)收斂至0.15 m/s。圖13為從星1、從星2太陽光照角隨時間變化曲線,由圖13可知太陽光照角均大于臨界約束角80°。

圖10 目標2 NSA隊形示意圖Fig.10 Schemcotic diagram of NSA configuration of target 2

圖11 目標2距離位置及三軸分量誤差隨時間變化曲線Fig.11 Curve of position vector’s magnitude and triaxial component error of target 2 changing with time

圖12 目標2速度大小及三軸分量誤差隨時間變化曲線Fig.12 Curve of velocity vector’s magnitude and triaxial component error of target 2 changing with time

圖13 太陽光照角隨時間變化曲線Fig.13 Curve of sunlight angle changing with time

綜上所述,無論對是在主星周圍作飛躍運動的目標1還是作繞飛運動的目標2,本文提出的NSA隊形優(yōu)化策略均能在滿足光照約束、有界相對運動約束的前提下得到相應的NSA隊形,且目標位置、相對速度估計誤差的收斂速度和精度均符合預期。

4 結(jié) 論

本文融合多個航天器得到的視線角信息,構(gòu)建了多LOS融合NSA模型,并通過分析視線夾角對目標距離估計誤差的影響,提出NSA隊形優(yōu)化準則與兼顧光照約束與有界相對運動的NSA隊形優(yōu)化策略,通過數(shù)學仿真驗證了多星NSA、隊形優(yōu)化準則與隊形優(yōu)化策略的有效性,主要研究結(jié)果如下:

(1) 融合多個視線角信息的多LOS NSA模型,可有效解決可觀測性較弱的問題,大幅提高相對狀態(tài)估計的精度和收斂速度。

(2) 在執(zhí)行NSA任務時,當視線間夾角趨近于90°時,可使得目標位置、相對速度估計誤差的收斂速度與精度更優(yōu)。

(3) 目標作飛躍或繞飛運動時,在考慮光照與有界相對運動約束時,均可優(yōu)化出NSA隊形,且效果符合預期。

綜上所述,通過融合多個視線角信息并使視線夾角盡量趨近于90°,可有效提高NSA時目標位置、相對速度估計誤差的收斂速度和精度,且適用于多種運動形式的空間目標。