隨機樣本選擇的合成孔徑雷達距離空變相位梯度自聚焦算法

孟智超, 張 磊,*, 盧景月, 李 軍

(1. 中山大學(xué)深圳電子與通信工程學(xué)院, 深圳 518107; 2. 西安電子科技大學(xué)計算機科學(xué)與 技術(shù)學(xué)院, 陜西 西安 710071; 3. 北京無線電測量研究所, 北京 100854)

0 引 言

合成孔徑雷達(synthetic aperture radar, SAR)[1-2]自問世以來便得到了廣泛的關(guān)注。在理想的平臺飛行條件下,SAR通過對均勻采樣的慢時間回波進行相干處理來獲得方位高分辨的聚焦圖像。然而,對于空基平臺,尤其是安裝在小型有人飛機以及更小的無人機平臺上的SAR系統(tǒng)[3-5]而言,受駕駛員控制以及外部大氣擾流的影響,載機平臺往往無法進行理想的勻速直線飛行。換言之,實際的機載平臺將不可避免地產(chǎn)生運動誤差。為了解決這一問題,實際中的SAR系統(tǒng)均配備有記錄其天線相位中心(antenna phase center, APC)實時位置的慣性測量單元(inertial measurement unit, IMU)設(shè)備,而利用高精度的IMU數(shù)據(jù)便可對運動誤差實現(xiàn)精確補償。由于運動誤差會影響回波數(shù)據(jù)的多普勒調(diào)制特性,因此IMU設(shè)備的精度必須與SAR系統(tǒng)的工作頻段相匹配。即工作頻段越高,所需的IMU設(shè)備精度要求也越高。一方面,小型無人機平臺受載荷體積與重量限制,往往搭載的是設(shè)備更小的高頻段的(如X波段、Ka波段等)SAR系統(tǒng)。另一方面,為了降低成本,中等精度甚至低精度的IMU設(shè)備往往是這類SAR系統(tǒng)的首要選擇。這就使得在利用IMU數(shù)據(jù)進行運動補償后依然存在一部分殘余運動誤差,而在高分辨SAR成像處理中,該部分運動誤差仍然會引起圖像的方位向散焦。因此,需要利用數(shù)據(jù)本身進行自聚焦處理[6-9]。

在高分辨SAR成像中自聚焦技術(shù)是保證成像性能的重要技術(shù)之一。目前,大多數(shù)自聚焦技術(shù)都是針對空不變誤差提出的。如基于代價函數(shù)優(yōu)化類的自聚焦算法,其主要代表有最小熵自聚焦(minimum entropy autofocus, MEA)[10-11],最大對比度自聚焦(maximum contract autofocus, MCA)[12]等算法。這類算法以某一代價函數(shù)評價圖像的聚焦質(zhì)量,并通過對該代價函數(shù)的迭代優(yōu)化來求解誤差相位。其特點是穩(wěn)健性高,能適應(yīng)不同場景下的自聚焦任務(wù),且不需要選取特顯點。但面臨的問題是計算復(fù)雜度較高,無法適應(yīng)數(shù)據(jù)量大的自聚焦任務(wù)。相比于代價函數(shù)優(yōu)化類算法,相位梯度類算法在實際應(yīng)用中較為廣泛,其典型代表為相位梯度自聚焦(phase gradient autofocus, PGA)類算法[13-14]。PGA類算法通過對場景中的特顯點進行加窗提取,并利用相位差分技術(shù)獲得誤差相位的差分值,而后利用相位誤差的相干特性提高估計精度,最終通過對誤差相位梯度的積分實現(xiàn)誤差相位的估計。由于PGA需要選擇一定數(shù)量的強特顯點,因而對特顯點數(shù)量以及質(zhì)量的要求較高。質(zhì)量PGA(qualification PGA, QPGA)[15]通過二維選取特顯點緩解了對特顯點數(shù)量的要求,特顯點數(shù)量的增加提高了相位梯度估計的精度以及算法穩(wěn)健性。而加權(quán)PGA(weighted PGA, WPGA)[16]和相位加權(quán)估計PGA(phase weighted estimation PGA, PWE-PGA)[17]通過對不同特顯點施加不同的權(quán)重,弱化信雜比(signal clutter ratio, SCR)較小的特顯點在相位梯度估計中的貢獻度而增強高質(zhì)量特顯點的貢獻,實現(xiàn)了更加穩(wěn)健的相位梯度估計性能。然而,上述提到的各類算法,大多是為補償空不變運動誤差而提出的。實際中,對于飛行高度較低而俯仰向波束較寬的高分辨SAR系統(tǒng)而言,運動誤差往往是距離依賴的[17]。如果利用上述方法,對距離向分塊進行空不變運動誤差補償,則存在算法低精度以及低效率的問題。

為了解決這一問題,針對距離依賴的自聚焦算法越來越多地受到科研人員的關(guān)注。文獻[18]對傳統(tǒng)的圖像偏移(map drift, MD)算法[19]進行了改進,作者將MD算法逐距離子塊應(yīng)用,來估計線性距離依賴的運動誤差模型參數(shù),實現(xiàn)了距離依賴的MD(range-dependent MD, RDMD)算法。另外,在文獻[18]中,作者將PWE-PGA算法應(yīng)用到了距離依賴的誤差相位估計任務(wù)中,得到了良好的估計效果。然而,由于距離依賴的誤差相位估計需要盡可能多的距離單元參與估計以提高模型參數(shù)的估計精度。一方面,若在每個距離單元均提取特顯點,傳統(tǒng)PGA算法中的相干疊加優(yōu)勢將不復(fù)存在,則低SCR樣本可能會導(dǎo)致模型參數(shù)估計出現(xiàn)偏差。另一方面,若僅提取固定門限以上的特顯點樣本則可能存在相當(dāng)一部分距離單元未被利用的情況(這種情況在同時存在建筑群以及田地的場景中較為常見),導(dǎo)致估計的模型在特顯點集中的區(qū)域性能好,而在特顯點稀疏的區(qū)域性能差。為了解決這些問題,文獻[20]在PWE-PGA的基礎(chǔ)上結(jié)合WPGA加權(quán)策略提出了局部最大似然WPGA(local maximum likelihood WPGA, LML-WPGA)算法。該算法對待處理數(shù)據(jù)進行距離向分塊,并假設(shè)每個子塊內(nèi)的距離依賴效應(yīng)可以被忽略。在子塊內(nèi),該算法保證每個距離塊中均有一定數(shù)量的特顯點被選中以提供該距離段的誤差相位特性,并通過應(yīng)用PGA的相干疊加特性提高子塊內(nèi)的相位梯度估計精度。在子塊間,該算法通過對各個子塊獲得的相位梯度利用SCR加權(quán)獲得更加穩(wěn)健的相位梯度估計性能。通過以上的改進,LML-WPGA算法實現(xiàn)了更加精確且穩(wěn)健的自聚焦性能。然而,即使這樣,LML-WPGA算法選擇特顯點的方法依然存在一定的問題。在每次迭代過程中,利用一定的閾值在距離子塊內(nèi)僅能夠選取固定的距離單元樣本。在模型參數(shù)估計過程中,存在一部分始終未被選擇的距離單元。在此情況下,子塊相位梯度估計結(jié)果也會因樣本不充分的原因產(chǎn)生估計偏差。因此,為了保證算法的估計精度以及迭代收斂的穩(wěn)健性,在迭代估計過程中,應(yīng)當(dāng)保證盡可能多的距離單元樣本至少有一次被選中以提供該距離單元的誤差相位特性。

為了實現(xiàn)這一目的,本文針對LML-WPGA算法在樣本選擇方面的不足進行了改進。在距離子塊內(nèi)選擇樣本時,不再以固定閾值對樣本進行硬剔除,而是利用樣本的信噪比特性建立對應(yīng)的選擇概率密度函數(shù),并利用該概率密度函數(shù)以及所需要的樣本數(shù)量,在每次迭代過程中進行樣本隨機選擇。因此,在迭代過程中,每個距離單元樣本均有一定的概率被選擇進入模型參數(shù)估計中,保證了模型參數(shù)的全局最優(yōu)性能。與此同時,在迭代過程中,信噪比較高的高質(zhì)量樣本總能被多次選擇,以此保證了算法收斂的穩(wěn)健性。由于每次迭代過程中均是隨機選擇樣本并估計誤差相位梯度值,因而本文將這種算法稱為局部最大似然加權(quán)隨機PGA(local maximum like-hood weighted stochastic PGA, LML-WSPGA)方法。最后,本文通過對實測SAR數(shù)據(jù)的處理結(jié)果驗證了所提算法的可行性以及有效性。

1 距離依賴的運動誤差模型

距離依賴的運動誤差模型的建立是空變自聚焦的前提,本節(jié)從SAR實際觀測幾何出發(fā)建立較為精確的運動誤差模型,為后續(xù)的求解提供理論基礎(chǔ)。

合成孔徑雷達的幾何模型如圖1所示,其中雷達飛行平均高度為H,平均飛行速度為v,波束下視角為θc,參考最短斜距為Rc。圖1中,黑色虛線為理想情況下的雷達平臺航跡,而紅色實線為包含了運動誤差的實際雷達平臺航跡。在某一時刻,理想的雷達APC位置為A(x,0,H),而其實際位置則為A′(x+Δx,Δy,H+Δz)。其中,Δx,Δy和Δz分別為平臺的X軸,Y軸和Z軸的運動誤差,它們是時間的高階復(fù)雜函數(shù),可由搭載的IMU設(shè)備以一定的精度實時測量獲得。

圖1 SAR成像運動誤差幾何示意圖Fig.1 Geometry schematic diagram of SAR imaging motion errors

假設(shè)場景中存在一點P(x0,y0),雷達APC到該點的最短斜距為R0。則在遠(yuǎn)場假設(shè)下,某一時刻的平臺三軸運動誤差所引起的斜距誤差可近似為

ΔR(t)≈Δx(t)·sinθsq(t)+Δy(t)·sinθ0+Δz(t)·cosθ0

(1)

式中:t為慢時間變量;θ0為雷達APC相對于點目標(biāo)P的入射角,且有

(2)

θsq(t)為雷達APC相對于點目標(biāo)P的實時斜視角,且有

(3)

從式(1)～式(3)中可以看到,運動誤差ΔR(t)不僅是慢時間的復(fù)雜高階函數(shù),還與目標(biāo)的斜距R0有關(guān),也即運動誤差是距離依賴的,這一點在SAR距離向波束較寬且飛行高度較低時尤為顯著。雖然,在實際的SAR成像信號處理過程中,沿航向的X軸運動誤差Δx(t)總能通過插值或者相位補償?shù)确椒ū蝗コ?。但由于IMU設(shè)備測量精度限制,其殘余分量依然存在。因此,在本文的算法中依然將殘余的X軸運動誤差Δx(t)視為距離空變誤差的一部分,同時忽略斜視角中與目標(biāo)方位位置有關(guān)的誤差項。

此時,式(1)可以被重寫為

ΔR(t,R0)≈Δx(t,R0)+Δy(t)·sinθ0+Δz(t)·cosθ0

(4)

式中:

(5)

為殘余X軸運動誤差的距離空變項,且有

(6)

式中:θsq為孔徑中心的天線斜視角?？梢钥吹绞?4)在每一個慢時間點上都是目標(biāo)斜距R0的函數(shù),因此式(4)總能在R0=Rc處被泰勒展開為

ΔR(t,Δr)≈α0Δy(t)+β0Δz(t)+γ0Δx(t,R0)+ (α1Δy(t)+β1Δz(t)+γ1Δx(t,R0))·Δr+ (α2Δy(t)+β2Δz(t)+γ2Δx(t,R0))·Δr2

(7)

式中:Δr=R0-Rc為目標(biāo)斜距相對于參考斜距的斜距差;系數(shù)(αi,βi)(i=1,2,…,n)可由sinθ0及cosθ0分別在Rc處求導(dǎo)獲得,而γi則與Δx(t,R0)的具體形式相關(guān)。當(dāng)這些系數(shù)被精確已知時,通過對誤差相位的估計便可以利用式(7)獲得三軸運動誤差的精確估計值,而這些估計值可被用于精確的后向投影(back projection, BP)[21-23]成像算法中。然而,在實際中,Δx(t,R0)的具體形式未知,因而系數(shù)γi較難準(zhǔn)確獲得。但在頻域算法中,我們僅需要獲得式(7)中多項式各個指數(shù)項的系數(shù),即可對運動誤差進行精確補償。也即式(7)的形式可以被簡化為

ΔR(t,Δr)≈ΔR0(t)+ΔR1(t)·Δr+ΔR2(t)·Δr2+o(Δr)

(8)

為了能夠精確地估計隨距離空變的誤差相位,本文對式(8)進行三階近似。則由式(8)可得,隨距離空變的誤差相位可表示為

(9)

式中:λ為SAR系統(tǒng)工作波長。

為了清楚地表示式(9),我們將離散化的表達式用矩陣表示。這里假設(shè)待估計數(shù)據(jù)的維度為N×M,即認(rèn)為該數(shù)據(jù)具有N個距離單元和M個回波脈沖:

(10)

(11)

式中:AN×4為誤差相位模型系數(shù)矩陣,當(dāng)距離單元給定時,矩陣A為一常系數(shù)矩陣,可以被預(yù)先計算并存儲;Δφ4×M為待估計的誤差相位系數(shù)矩陣。對每一慢時間采樣時刻而言,待求解分量有4個,而方程數(shù)則由所選取的不同距離單元樣本數(shù)決定,且一般情況下遠(yuǎn)大于待求解分量個數(shù)。因而,對每一慢時間采樣時刻的誤差相位系數(shù)求解都可以等同于求解一個超定方程組。因此,可以將極小范數(shù)最小二乘解作為每一慢時間采樣時刻的誤差相位系數(shù)估計值,即

(12)

至此,對第m時刻的誤差相位系數(shù)求解已完成。為了使求解更加穩(wěn)健,對該過程進行多次迭代,便可以獲得精確估計的誤差模型。進一步,距離空變的相位誤差補償函數(shù)H(Δr,t)可表示為

(13)

2 LML-WSPGA算法

(14)

式中:假設(shè)距離分塊數(shù)為K,且有

(15)

(16)

式中:假定第k個距離子塊中所選樣本數(shù)為I個,則Δri,k為第k個距離子塊中第i個樣本所在的距離單元差值。而mi,k為該子塊內(nèi)對應(yīng)樣本的加權(quán)值,該值由SCR決定,具體可見文獻[16]。相應(yīng)地,最終的模型參數(shù)估計式變?yōu)?/p>

(17)

雖然從式(14)、式(16) 以及式(17)分析可以看到,LML-WPGA算法通過距離分塊,相位加權(quán)提高了傳統(tǒng)RDPGA算法的求解穩(wěn)健性,但該算法在距離子塊內(nèi)的樣本選擇方式上依然存在問題。其僅利用距離單元能量或者對比度方法選擇給定門限以上的特顯點樣本的方式,會導(dǎo)致發(fā)生一部分潛在的特顯點樣本所在距離單元始終未被選擇的情況。這些不被選擇的距離單元始終未參與求解過程,將使得模型求解產(chǎn)生偏差進而導(dǎo)致距離空變誤差相位補償?shù)氖　?/p>

為了避免這一情況的出現(xiàn),并進一步提高LML-WPGA算法的穩(wěn)健性,本文對該算法在距離子塊內(nèi)的樣本選擇方式進行了改進。通過引入基于SCR準(zhǔn)則的隨機樣本挑選方法,本文所提算法不再固定地選擇一部分距離樣本,所有樣本將依由其SCR決定的概率被選擇。在這種情況下,一方面,每個距離單元在迭代過程中均有機會被選中并參與模型參數(shù)求解,以此來保證模型參數(shù)求解的精度;另一方面,在迭代過程中,高SCR樣本將大概率被選擇多次,保證了算法將以較高的穩(wěn)健性收斂。為了區(qū)別于LML-WPGA算法,將本文所提算法命名為LML-WSPGA算法,這是因為選擇隨機樣本計算誤差相位梯度的方法類似于深度學(xué)習(xí)中的隨機梯度訓(xùn)練方法[24]。

現(xiàn)將本文所提隨機樣本挑選方法的具體步驟闡述如下。

首先,假設(shè)第k個距離子塊內(nèi)的距離點數(shù)為J,則以該子塊內(nèi)各距離單元的SCR作為參數(shù)建立樣本的概率密度函數(shù)P(σk)可表示為

(18)

式中:σk,j為第k個距離子塊內(nèi)第j個距離單元的SCR。

從式(18)可以看到P(σk)通過每個距離單元的SCR決定了該距離單元樣本在模型參數(shù)求解過程中被選擇的概率大小。當(dāng)給定樣本選擇數(shù)量時,各個距離單元樣本均有一定的概率被選擇,該方法顯然不同于原始LML-WPGA算法中的固定門限選擇方法。實際上可將該方法理解為軟閾值門限法,其軟閾值的優(yōu)勢在于保證高質(zhì)量樣本被大概率選擇的同時使得各個距離單元的樣本均有機會參與模型參數(shù)求解過程,既保證了算法的穩(wěn)健性又不失精確性。

其次,為了能夠利用式(18)選擇樣本,需要求得概率密度P(σk)的累積分布函數(shù)F(σk),即

(19)

(20)

最后,將所選樣本以及其對應(yīng)的信雜比、距離單元序號進行記錄并用于該子塊的相位誤差估計,進而進行模型參數(shù)的估計,便完成了一次迭代估計過程。經(jīng)過數(shù)次迭代該算法便可以得到精確的誤差相位模型參數(shù)估計值,最終將估計得到的模型用于逐距離單元的相位補償并進行方位聚焦即可得到聚焦的SAR圖像。

為了更加清晰地描述所提算法,將基于所提算法的高分辨SAR成像算法詳細(xì)框圖描述如圖2所示。

圖2 LML-WSPGA算法流程圖Fig.2 Flowchart of LML-WSPGA

3 實測數(shù)據(jù)驗證

本文利用實測機載SAR數(shù)據(jù)對所提算法進行驗證,并在相同迭代次數(shù)下,將其性能與PGA算法以及LML-WPGA算法進行比較。錄取數(shù)據(jù)的機載SAR系統(tǒng)基本參數(shù)如表1所示。

表1 SAR實測數(shù)據(jù)基本參數(shù)

另外,我們將IMU測得的載機三軸運動誤差展示在圖3中。一方面,從表1的系統(tǒng)參數(shù)可以看到,平臺斜視角小且飛行高度低,容易引起運動誤差的距離依賴現(xiàn)象。另一方面,從圖3的載機運動誤差曲線可以看到,載機的Y軸和Z軸運動誤差遠(yuǎn)大于X軸,而該機載IMU設(shè)備的精度較低。因而,可以預(yù)見的是即使經(jīng)過了基于IMU數(shù)據(jù)的運動補償,殘余運動誤差依然會引起距離依賴的誤差相位,而在該數(shù)據(jù)的實際處理過程中也確實存在這一現(xiàn)象。綜合以上原因,本文利用該數(shù)據(jù)作為驗證所提方法的實驗數(shù)據(jù)。

進一步,分別利用PGA算法、LML-WPGA算法以及本文所提LML-WSPGA算法對該數(shù)據(jù)進行自聚焦處理,其結(jié)果如圖4所示。首先,從3幅圖像可以看到,PGA算法的處理結(jié)果存在明顯的距離空變問題。距離遠(yuǎn)端被良好聚焦而距離近端則出現(xiàn)明顯的模糊現(xiàn)象。不同于PGA算法,LML-WPGA算法及LML-WSPGA均能夠?qū)嚯x依賴的運動誤差進行估計。從圖4(b)和圖4(c)也可以明顯看出,距離近端和遠(yuǎn)端都能夠良好地聚焦,說明了算法的有效性。另外,該3幅圖的圖像熵值分別為15.27、15.14和15.11。從圖像熵值可以看到,本文所提算法較LML-WPGA算法在補償精度上具有更大優(yōu)勢。為了更加清晰地看到所提算法相比于其他兩種算法的優(yōu)勢,我們對場景中的3個典型區(qū)域進行了放大比較。這3個區(qū)域分別位于距離近端、中間以及遠(yuǎn)端,且每個區(qū)域中均包含特殊結(jié)構(gòu)以更加容易地顯示聚焦差異。

圖4 不同自聚焦算法的處理結(jié)果Fig.4 Results performed by different autofows algorithms

對子區(qū)域1、子區(qū)域2和子區(qū)域3的放大圖被分別展示在圖5中并由左至右依次排列。從圖5可以看到,由PGA算法處理后的子區(qū)域1和子區(qū)域2依然存在嚴(yán)重散焦,而LML-WPGA算法和LML-WSPGA算法對3個子區(qū)域均能良好聚焦。另外,對比從子區(qū)域1的聚焦情況可以明顯地看出,本文所提LML-WSPGA算法的聚焦性能優(yōu)于LML-WPGA算法。

圖5 不同自聚焦算法的處理子圖結(jié)果比較 (由左至右依次為子區(qū)域1～區(qū)域3)Fig.5 Comparison of sub-images result performed by different autofocus algorithms (from left to right are Areas 1～3)

進一步,將場景中的角反射器目標(biāo)方位點擴展函數(shù)(point spread function, PSF)以及相應(yīng)的性能指標(biāo)展示在圖6與圖7中。從圖6可以看到,僅利用PGA算法無法對角反射器目標(biāo)有效聚焦。而利用本文算法不僅能夠有效聚焦角反射器目標(biāo),且得到的目標(biāo)方位點擴展函數(shù)的峰值旁瓣比(peak sidelobe ratio, PSR)明顯低于LML-WPGA算法,兩者分別為-8.51 dB和-6.51 dB,說明本文所提算法的聚焦性能優(yōu)于LML-WPGA。另外,從圖7中可以看到,對于脈沖響應(yīng)寬度(impulse response width, IRW)也即方位分辨率和積分旁瓣比(integrated sidelobe ratio, ISR)而言,本文所提算法均可達到與LML-WPGA相當(dāng)?shù)某潭取y得LML-WSPGA和LML-WPGA的IRW及ISR分別為1.06 m,-1.53 dB和1.06 m,-1.98 dB。

圖6 角反射器目標(biāo)方位點擴展函數(shù)Fig.6 PSF of target position of corner reflector

圖7 角反射器目標(biāo)方位聚焦性能指標(biāo)比較Fig.7 Comparison of azimuth focusing performance indicator for corner reflector

此外,為了說明所提算法在不同信噪比下的穩(wěn)健性,本文驗證了不同信噪比下的算法相位估計均方誤差值(mean square error, MSE)。

該實驗以一個運動誤差被完全補償后的實測機載SAR數(shù)據(jù)為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù),其大小為4 096×4 096點。通過人為加入距離空變的相位誤差,利用PGA,LML-WPGA及LML-WSPGA算法分別進行誤差估計補償,并分別記錄第129、2 049以及3 969個距離單元的相位誤差估計MSE隨(signal to noise ratio, SNR)變化的曲線。實驗中的SNR定義為方位壓縮前的平均SNR,利用AWGN函數(shù)實現(xiàn)。實驗結(jié)果如圖8所示?？梢钥吹?相比于PGA及LML-WPGA算法,所提算法具有較高的相位估計精度,且在不同SNR情況下性能較為穩(wěn)健。

圖8 不同算法相位估計MSE曲線Fig.8 Phase estimation MSE curves of different algorithms

綜上,在相同迭代次數(shù)下,本文所提算法相比于LML-WPGA算法具有更加優(yōu)異的全局聚焦性能,能夠?qū)嚯x依賴的運動誤差進行較好的自聚焦補償。在不同SNR情況下具有穩(wěn)健的估計性能。因此,所提算法有望在低飛行高度、寬俯仰波束的SAR系統(tǒng)中得到實際應(yīng)用。

4 結(jié) 論

一直以來,在低飛行高度、寬俯仰波束合成孔徑雷達成像中,距離依賴的運動誤差自聚焦問題始終存在著算法補償精度有限與穩(wěn)健性不高的問題。針對該問題,本文通過對原有LML-WPGA算法的樣本選擇方法進行了改進,提出了一種隨機樣本選擇的LML-WSPGA算法,其本質(zhì)相當(dāng)于一種軟閾值樣本選擇方法。該算法通過對特顯點樣本的隨機選擇,保證了相位梯度計算中的距離樣本完備性。在確保算法補償性能優(yōu)異的同時,也提高了算法的穩(wěn)健性。