無線傳感器網(wǎng)絡變異病毒傳播動力學分析

王俊嶺，劉 娟，劉 波，鐘 蕾，常鑫鑫，王振東

(江西理工大學 信息工程學院，江西 贛州 341000)

0 引 言

由于節(jié)點通常被部署在開放的環(huán)境中，存在的網(wǎng)絡空間安全問題也不容忽視[1，2]，如DDos攻擊、節(jié)點捕獲、惡意軟件感染等[3]。而病毒作為一種惡意計算機代碼[4]，可以在沒有人為干預的情況下，通過通信快速地從一個節(jié)點感染另一個節(jié)點，最終感染整個網(wǎng)絡系統(tǒng)，造成網(wǎng)絡癱瘓。因此，為了更好地預防和控制無線傳感器網(wǎng)絡病毒的傳播，諸多學者[5-7]針對網(wǎng)絡病毒的數(shù)學模型展開了深入研究，但結(jié)合現(xiàn)有研究發(fā)現(xiàn)，無線傳感器網(wǎng)絡仍然面臨著病毒發(fā)生“變異”所帶來的新問題：①新型無線傳感器網(wǎng)絡病毒“變異”特性引起了病毒傳播機理和流程的改變，需要借鑒既有模型與研究方法，在SEIQRV等傳統(tǒng)模型基礎上增加新的“變異”狀態(tài)和相應的節(jié)點轉(zhuǎn)移關系，建立與“變異”相一致的傳感器網(wǎng)絡病毒傳播模型；②網(wǎng)絡病毒一旦發(fā)生變異，傳統(tǒng)的異常節(jié)點檢測和清除機制將不能夠完成病毒的檢測以及查殺工作，并造成大量的節(jié)點在通信過程中感染病毒；③由于無線傳感器網(wǎng)絡能量受限，通信半徑因素會直接影響病毒傳播的效果和網(wǎng)絡節(jié)點狀態(tài)的穩(wěn)定性。

鑒于此，本文提出了一類更符合現(xiàn)實的新型SEIQRV-Type模型，以更為深入地研究網(wǎng)絡病毒的傳播規(guī)律，為無線傳感器網(wǎng)絡中病毒的擴散機理及防御研究提供理論參考。

1 相關工作

為了研究惡意軟件在移動無線傳感器網(wǎng)絡上的傳播行為，Kumari等[8]建立了一種新的具有非線性發(fā)生率和S型移除率的惡意軟件傳播模型；文獻[9]在Stackelberg博弈的基礎上，提出了一種新的惡意軟件與無線傳感器網(wǎng)絡之間的攻防博弈，并利用平衡解分析了無線傳感器網(wǎng)絡的可靠性；文獻[10]通過結(jié)合無線傳感器網(wǎng)絡媒體訪問控制層的休眠/監(jiān)聽機制，提出了一種基于通信范圍受限的隨機網(wǎng)絡拓撲構(gòu)建方法來模擬無線傳感器網(wǎng)絡，證實了MAC機制能夠有效抑制無線傳感器網(wǎng)絡中病毒的傳播；Liu等[11]針對無線傳感器網(wǎng)絡能量耗盡的問題，提出了一種更適合WSN對抗惡意程序的全新傳播模型，通過將節(jié)點劃分為高能和低能狀態(tài)，發(fā)現(xiàn)引入充電作為一種補充能量的方法，可以抑制惡意程序的傳播，降低總體成本；文獻[12]建立了一個三食餌和一捕食者的數(shù)學模型，研究WNSN中惡意目標的攻擊行為及其影響；文獻[13]根據(jù)傳染病學理論建立了改進的病毒傳播模型，考慮移動和停留兩個狀態(tài)對移動無線傳感器病毒傳播的影響；文獻[14]考慮了種群動態(tài)、疫苗接種和再感染過程，提出了一種新的SICRS模型模擬惡意軟件在無線傳感器網(wǎng)絡傳播；文獻[15]將隔離和節(jié)點免疫結(jié)合起來，提出了一種SEIQRV模型來控制病毒在無線傳感器網(wǎng)絡中的傳播，并通過大量仿真結(jié)果驗證了該模型在減少感染節(jié)點數(shù)量和降低惡意軟件傳播率方面的有效性。然而，在上述無線傳感器網(wǎng)絡的病毒傳播研究中，都沒有考慮網(wǎng)絡病毒發(fā)生變異對病毒傳播動力學行為的影響。眾所周知，網(wǎng)絡病毒一旦發(fā)生突變，傳統(tǒng)的異常節(jié)點檢測和清除機制將不能夠完成病毒的檢測以及查殺工作，還會造成大量的節(jié)點在通信過程中感染病毒。為了更好地研究無線傳感器網(wǎng)絡病毒的傳播規(guī)律，本文提出了一類SEIQRV-Type模型，通過對其進行深入分析，發(fā)現(xiàn)通過動態(tài)調(diào)控參數(shù)可以控制病毒的傳播，這對無線傳感器網(wǎng)絡病毒的預防和控制具有一定的指導意義。

2 SEIQRV-Type模型

為了更好研究無線傳感器網(wǎng)絡病毒的動力學行為，在Ojha等[15]的研究基礎上提出了一種新的SEIQRV-Type傳播模型，并進行了如下改進：①考慮病毒變異對病毒傳播的影響；②恢復狀態(tài)節(jié)點由于病毒不斷更新?lián)Q代又重新轉(zhuǎn)化易感狀態(tài)節(jié)點；③由于系統(tǒng)的反病毒措施，免疫節(jié)點具有病毒免疫力。根據(jù)倉室理論[16]，將所有傳感器節(jié)點分為了S(t)、E(t)、I1(t)、I2(t)、Q(t)、R(t)、V(t) 7種狀態(tài)。其中，易感狀態(tài)節(jié)點S不具有免疫能力且易受病毒感染；潛伏狀態(tài)節(jié)點E感染了病毒但不具備病毒傳染性；感染節(jié)點I1感染變異病毒，節(jié)點具有較強的病毒傳染力；感染節(jié)點I2感染未發(fā)生病毒變異的病毒，節(jié)點具有較小的病毒傳染性；隔離節(jié)點Q與其它狀態(tài)節(jié)點嚴格隔離，不與其它狀態(tài)節(jié)點進行通信而處于隔離狀態(tài)；恢復節(jié)點R從感染中恢復或移除感染的狀態(tài)節(jié)點；免疫節(jié)點V由于無線傳感器網(wǎng)絡節(jié)點安裝了免疫機制具有病毒免疫力；r為單個節(jié)點的通信半徑，L×L為節(jié)點分布區(qū)域。假設新加入的節(jié)點都是健康的易感狀態(tài)節(jié)點，并且各狀態(tài)間的參數(shù)轉(zhuǎn)移都是正數(shù)。圖1為病毒在無線傳感器網(wǎng)絡中傳播的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，表1為SEIQRV-Type模型的相關參數(shù)說明。

表1 參數(shù)說明

圖1 SEIQRV-Type模型狀態(tài)轉(zhuǎn)移

模型描述如系統(tǒng)(1)所示

(1)

節(jié)點狀態(tài)轉(zhuǎn)移遵循的規(guī)則如下：

(1)易感節(jié)點S由于安裝了補丁程序以參數(shù)ρ轉(zhuǎn)化為具有病毒免疫力的免疫節(jié)點V，部分健康節(jié)點由于沒有病毒免疫力以標準發(fā)生率(β1SI1+β2SI2)/N轉(zhuǎn)化為處于待激活狀態(tài)的潛伏節(jié)點E。

(2)潛伏節(jié)點E由于病毒的傳染性特性，以參數(shù)α1感染變異病毒并轉(zhuǎn)化為感染節(jié)點I1，以參數(shù)α2感染未發(fā)生病毒變異的病毒并轉(zhuǎn)化為感染節(jié)點I2。

(3)感染節(jié)點I1由于感染變異病毒，以參數(shù)ε1轉(zhuǎn)化為隔離狀態(tài)節(jié)點Q。

(4)感染節(jié)點I2由于檢測到未發(fā)生病毒變異的病毒已入侵節(jié)點，便不再與其它節(jié)點進行通信，以參數(shù)ε2轉(zhuǎn)化為隔離狀態(tài)節(jié)點Q，同時，感染節(jié)點I2由于病毒清除機制以參數(shù)γ轉(zhuǎn)化為具有病毒免疫力的免疫節(jié)點V。

(5)隔離節(jié)點Q由于病毒被移除或恢復，節(jié)點以參數(shù)η轉(zhuǎn)化為恢復狀態(tài)節(jié)點R。

(6)恢復節(jié)點R由于病毒不斷更新?lián)Q代，以參數(shù)φ重新轉(zhuǎn)化為易感狀態(tài)節(jié)點S。

(7)免疫節(jié)點V由于節(jié)點安裝免疫機制而具有一定的病毒免疫力。

為了方便起見，令ω1=πr2β1/L2，ω2=πr2β2/L2，則系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

(2)

隨著時間的推移，傳感器節(jié)點總數(shù)N(t) 滿足：N(t)=S(t)+E(t)+I1(t)+I2(t)+Q(t)+R(t)+V(t)。

假設系統(tǒng)(1)需要滿足的初始條件為：

D={(S，E，I1，I2，Q，R，V)|S≥0，E≥0，I1≥0，I2≥0，Q≥0，R≥0，V≥0}。

令：

Ω={(S，E，I1，I2，Q，R，V)|0

根據(jù)系統(tǒng)(2)可得到相應新感染矩陣F和轉(zhuǎn)移矩陣V如下：

3 穩(wěn)定性分析

定理1 當R0<1時，系統(tǒng)(2)的無病平衡點P0是局部漸近穩(wěn)定的。

(3)

則系統(tǒng)(3)在無病平衡點P0的Jocabian矩陣為

(4)

則矩陣(4)的特征方程為

(λ-a11)(λ-a22)(λ-a33)(λ-a44)(λ-a55)(λ-a66)·

(λ-a77)=0

(5)

計算可知方程(5)有特征根：λ1=a11<0，λ2=a22<0，λ3=a33<0，λ4=a44<0，λ5=a55<0，λ6=a66<0，λ7=a77<0，方程(5)所有特征根的實部均為負，即當R0<1時，無病平衡點P0局部漸近穩(wěn)定。

定理2 當R0>1時，若下列假設條件(H)成立，則系統(tǒng)(2)的正平衡點P*是局部漸近穩(wěn)定的

(6)

則系統(tǒng)(6)在正平衡點P*的Jocabian矩陣為

(7)

則矩陣(7)的特征方程為

λ7+B6λ6+B5λ5+B4λ4+B3λ3+B2λ2+B1λ+B0=0

(8)

其中，B0=-d6，B1={[(m1a44+d2)a55+d3]a66+d4}a77+d5，B2=-{[(m2a55+m1a44+d2)a66+(m1a44+d2)a55+d3]a77+[(m1a44+d2)a55+d3]a66+d4}，B3=(m3a66+m2a55+m1a44+d2)a77+(m2a55+m1a44+d2)a66+(m1a44+d2)a55+d3，B4=-(m4a77+m3a66+m2a55+m1a44+d2)，B5=m5，B6=-m6，m1=c1a33+d1，m2=c2a44+c1a33+d1，m3=c3a55+c2a44+c1a33+d1，m4=c4a66+c3a55+c2a44+c1a33+d1，m5=c5a77+c4a66+c3a55+c2a44+c1a33+d1，m6=c6，c1=b11+b22，c2=b11+b22+a33，c3=b11+b22+a33+a44，c4=b11+b22+a33+a44+a55，c5=b11+b22+a33+a44+a55+a66，c6=b11+b22+a33+a44+a55+a66+a77，d1=b11b22，d2=b11b22a33，d3=b11b22a33a44，d4=b11b22a33a44a55，d5=b11b22a33a44a55a66，d6=b11b22a33a44a55a66a77。

由Routh-Hurwitz判據(jù)[18]可知，若方程(8)的多項式系數(shù)主行列式及順序主子式全部為正，則系統(tǒng)(2)是穩(wěn)定的。顯然，B0>0，B1>0，B2>0，B3>0，B4>0，B5>0，B6>0。根據(jù)Routh-Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)計算可得

(9)

由此可知，當R0>1時，如果假設條件(H)成立，正平衡點P*是局部漸近穩(wěn)定的。

4 數(shù)值仿真

在本小節(jié)中，假設傳感器節(jié)點總數(shù)N=1500，通過對SEIQRV-Type模型進行數(shù)值仿真，驗證了定理1和定理2的正確性。同時，將SEIQRV-Type模型與SEIQRV模型[15]進行比較，以驗證SEIQRV-Type模型的有效性，并基于基本再生數(shù)R0，分析各參數(shù)對病毒在無線傳感器網(wǎng)絡中傳播的影響，進而為無線傳感器網(wǎng)絡病毒的遏制提供防控策略。

4.1 病毒在網(wǎng)絡中的傳播動力學行為

4.1.1 無病平衡點P0的局部穩(wěn)定性

假設處于各狀態(tài)的節(jié)點初始值隨機分布，圖2描繪了病毒感染傳感器節(jié)點的7種不同狀態(tài)節(jié)點(易感節(jié)點S(t)、潛伏節(jié)點E(t)、感染節(jié)點I1(t) 和I2(t)、隔離節(jié)點Q(t)、恢復節(jié)點R(t)、免疫節(jié)點V(t)) 的變化趨勢。選取參數(shù)：r=1.0，L=1.8，β1=0.8044，β2=0.6704，α1=0.52，α2=0.15，ρ=0.32，γ=0.12，φ=0.06，μ=0.18，ε1=0.08，ε2=0.35，η=0.15。通過計算可得R0=0.7242<1，系統(tǒng)(2)存在無病平衡點P0(540，0，0，0，0，0，960)，無病平衡點P0局部漸近穩(wěn)定。由圖2可知，隨著時間的推移，易感節(jié)點S(t) 和免疫節(jié)點V(t) 最終都會趨于穩(wěn)定，而潛伏狀態(tài)節(jié)點E(t)、感染節(jié)點I1(t) 和I2(t)、隔離節(jié)點Q(t) 以及恢復節(jié)點R(t) 由于采取了相關的反病毒措施，病毒逐漸減少，最后都會趨于0，仿真結(jié)果與定理1一致，當R0<1時，系統(tǒng)穩(wěn)定在無病平衡點P0處，病毒最后被消滅。

圖2 當R0<1時，SEIQRV-Type模型節(jié)點動態(tài)

為了更好地驗證模型(2)的有效性，保持文獻[15]模型中節(jié)點狀態(tài)轉(zhuǎn)移間的參數(shù)值與本文所提出的SEIQRV-Type模型參數(shù)值一致，并令SEIQRV模型[15]的參數(shù)α=0.50，β=5.363×10-4，ε=0.48，d=0.0001，δ=0.08，θ=0.12，其仿真效果圖如圖3所示。其中，圖3(a)中SEIQRV模型[15]的各狀態(tài)節(jié)點初始值為：S(0)=1110，E(0)=225，I(0)=165，Q(0)=0，R(0)=0，V(0)=0；圖3(b)中SEIQRV-Type模型的各狀態(tài)節(jié)點初始值為：S(0)=1110，E(0)=225，I1(0)=100，I2(0)=65，Q(0)=0，R(0)=0，V(0)=0。實驗仿真結(jié)果表明，SEIQRV-Type模型相比較于SEIQRV模型[15]，大大降低了感染節(jié)點的感染密度，從而驗證了SEIQRV-Type模型的有效性。

圖3 各模型的狀態(tài)節(jié)點數(shù)

4.1.2 正平衡點P*的局部穩(wěn)定性

圖4繪制了系統(tǒng)(2)各狀態(tài)節(jié)點(易感節(jié)點S(t)、潛伏節(jié)點E(t)、感染節(jié)點I1(t) 和I2(t)、隔離節(jié)點Q(t)、恢復節(jié)點R(t)、免疫節(jié)點V(t)) 的相平面圖。各狀態(tài)節(jié)點的初始值為：S(0)=1110，E(0)=225，I1(0)=100，I2(0)=65，Q(0)=0，R(0)=0，V(0)=0，并選取參數(shù)：r=1.0，L=1.8，β1=0.8044，β2=0.6704，α1=0.42，α2=0.36，ρ=0.06，γ=0.12，φ=0.06，μ=0.18，ε1=0.08，ε2=0.35，η=0.15。通過計算可得R0=1.2656>1，系統(tǒng)(2)存在唯一的正平衡點P*(888.9054，61.3706，99.1372，33.9899，60.0831，37.5520，318.9618)，正平衡點P*局部漸近穩(wěn)定。由圖4可知，隨著時間的推移，各狀態(tài)節(jié)點趨于穩(wěn)定。仿真結(jié)果與定理2一致，當R0>1時，系統(tǒng)(2)是局部漸近穩(wěn)定的，模型的運動軌跡趨向正平衡點P*處，此時病毒不能完全被消滅。

圖4 當R0>1時，SEIQRV-Type模型節(jié)點動態(tài)

4.2 節(jié)點間轉(zhuǎn)移系數(shù)對病毒傳播的影響

4.2.1 節(jié)點感染率β1、β2對病毒傳播的影響

在先前關于無線傳感器網(wǎng)絡病毒傳播的動力學研究中發(fā)現(xiàn)，改變節(jié)點感染率β1、β2會影響病毒的動態(tài)行為。為了驗證節(jié)點感染率β1、β2對病毒傳播的影響，運用控制變量的思想，保持4.1.2節(jié)中給定的參數(shù)值不變，只改變單一變量β1、β2觀察病毒的傳播動力學行為，仿真結(jié)果如圖5所示。由圖5(a)、圖5(b)可以看出，隨著β1、β2值的不斷增大，基本再生數(shù)也隨之不斷增大。為了能更好地進行數(shù)據(jù)對比實驗，β1的取值范圍為[0.18，0.93]，步長為0.25，β2的取值范圍為[0.27，0.87]，步長為0.20，通過計算得到相應的R0見表2。結(jié)合圖5(c)、圖5(d)中感染節(jié)點隨時間變化的節(jié)點數(shù)量圖可知，當β1=0.18，β2=0.27或β1=0.43，β2=0.47時，由于采取了相應的反病毒措施，病毒得到很好的控制，無線傳感器網(wǎng)絡中不存在受感染的節(jié)點，感染節(jié)點最終趨于0；當β1=0.68，β2=0.67或β1=0.93，β2=0.87時，由于節(jié)點感染率的快速增加，病毒持續(xù)在無線傳感器網(wǎng)絡中傳播，感染節(jié)點密度最終趨于恒定值。可以看出，隨著節(jié)點感染率β1、β2的增大，感染節(jié)點I1、I2的峰值也在不斷增大。

表2 不同節(jié)點感染率β1、β2對應的R0值

圖5 不同節(jié)點傳染率下的網(wǎng)絡病毒傳播動力學行為

4.2.2E-I狀態(tài)節(jié)點轉(zhuǎn)移系數(shù)α1、α2對病毒傳播的影響

為了驗證E-I狀態(tài)轉(zhuǎn)移系數(shù)α1、α2對病毒傳播的影響，保持4.1.2節(jié)中給定的參數(shù)值不變，只改變單一變量α1、α2觀察病毒的傳播動力學行為，仿真結(jié)果如圖6所示。由圖6(a)、圖6(b)可以看出，隨著α1值的不斷增大，基本再生數(shù)也隨之不斷增大，而隨著α2值的不斷增大，基本再生數(shù)卻不斷減小。為了能更好地進行數(shù)據(jù)對比實驗，α1的取值范圍為[0.01，0.34]，步長為0.11，α2的取值范圍為[0.15，0.84]，步長為0.23，相應取值計算所得R0見表3。結(jié)合圖6(c)、圖6(d)中感染節(jié)點隨時間變化的節(jié)點數(shù)量圖可知，當α1=0.34，α2=0.15或α1=0.23，α2=0.38時，病毒持續(xù)在無線傳感器網(wǎng)絡中傳播，網(wǎng)絡中持續(xù)存在感染節(jié)點，并最終趨于穩(wěn)定狀態(tài)；當α1=0.12，α2=0.61或α1=0.01，α2=0.84時，病毒在無線傳感器網(wǎng)絡中全部被消滅，感染節(jié)點最終趨于0?？梢钥闯?，隨著E-I狀態(tài)轉(zhuǎn)移系數(shù)α1的減小以及系數(shù)α2的增大，感染節(jié)點I1的峰值隨之減小，感染節(jié)點I2的峰值不斷增大。

表3 不同E-I狀態(tài)節(jié)點轉(zhuǎn)移系數(shù)α1、α2對應的R0值

圖6 不同E-I狀態(tài)轉(zhuǎn)移系數(shù)下的網(wǎng)絡病毒傳播動力學行為

4.2.3 節(jié)點隔離率ε1、ε2對病毒傳播的影響

為了研究節(jié)點隔離率ε1、ε2對病毒傳播的影響，保持4.1.2節(jié)中給定的參數(shù)值不變，只改變單一變量ε1、ε2觀察病毒的傳播動力學行為，仿真結(jié)果如圖7所示。由圖7(a)、圖7(b)可以看出，隨著ε1、ε2值的不斷增大，基本再生數(shù)隨之不斷減小。為了能更好地進行數(shù)據(jù)對比實驗，ε1的取值范圍為[0.01，0.49]，步長為0.16，ε2的取值范圍為[0.03，0.78]，步長為0.25，相應取值計算所得R0見表4。結(jié)合圖7(c)、圖7(d)中感染節(jié)點隨時間變化的節(jié)點數(shù)量圖可知，當ε1=0.01，ε2=0.03或ε1=0.17，ε2=0.28時，由于沒有及時杜絕感染節(jié)點與其它狀態(tài)節(jié)點通信，網(wǎng)絡中持續(xù)存在病毒傳播，感染節(jié)點最終趨于恒定值；當ε1=0.33，ε2=0.53或ε1=0.49，ε2=0.78時，由于感染節(jié)點被隔離，不與其它節(jié)點進行通信，病毒可以得到很好的控制，網(wǎng)絡中不存在受感染的節(jié)點?？梢钥闯?，隨著節(jié)點隔離率ε1、ε2的增大，感染節(jié)點I1、I2的峰值隨之不斷減小。

表4 不同節(jié)點隔離率ε1、ε2對應的R0值

圖7 不同隔離系數(shù)下的網(wǎng)絡病毒傳播動力學行為

4.2.4 節(jié)點免疫率ρ、病毒查殺率γ對病毒傳播的影響

為了驗證節(jié)點免疫率ρ以及病毒查殺率γ對病毒傳播的影響，保持4.1.2節(jié)中給定的參數(shù)值不變，只改變單一變量ρ、γ觀察病毒的傳播動力學行為，仿真結(jié)果如圖8所示。由圖8(a)、圖8(b)可以看出，隨著ρ、γ值的不斷增大，基本再生數(shù)隨之不斷減小。為了能更好地進行數(shù)據(jù)對比實驗，ρ的取值范圍為[0.01，0.28]，步長為0.09，γ的取值范圍為[0.08，0.62]，步長為0.18，相應取值計算所得R0見表5。結(jié)合圖8(c)、圖8(d)中感染節(jié)點隨時間變化的節(jié)點數(shù)量圖可知，當ρ=0.01，γ=0.08或ρ=0.10，γ=0.26時，由于未及時對病毒采取防御措施，病毒持續(xù)在網(wǎng)絡中傳播，感染節(jié)點最終趨于穩(wěn)定狀態(tài)；當ρ=0.19，γ=0.44或ρ=0.28，γ=0.62時，由于安裝反病毒軟件并對病毒進行清除，病毒得到很好的控制，病毒完全被消滅，感染節(jié)點最終趨于0，可以看出，隨著節(jié)點免疫率ρ以及病毒查殺率γ的增大，感染節(jié)點I1、I2的峰值隨之不斷減小。

表5 不同節(jié)點免疫率ρ、病毒查殺率γ對應的R0值

圖8 不同防控策略下的網(wǎng)絡病毒傳播動力學行為

4.2.5 通信半徑r和節(jié)點上(下)線率μ對病毒傳播的影響

為了驗證通信半徑r和上(下)線率μ對病毒傳播的影響，保持4.1.2節(jié)中給定的參數(shù)值不變，只改變單一變量r、μ觀察病毒的傳播動力學行為，仿真結(jié)果如圖9所示。由圖9(a)、圖9(b)可以看出，隨著r值的不斷增大，基本再生數(shù)隨之不斷增大；當μ的取值范圍為[0，0.07]時，基本再生數(shù)R0隨著μ值的增大而增大，當μ的取值范圍為[0.07，1]時，基本再生數(shù)R0隨著μ值的增大而減小。為了能更好地進行數(shù)據(jù)對比實驗，r的取值范圍為[0.90，1.50]，步長為0.20，μ的取值范圍為[0.18，0.48]，步長為0.10，相應取值計算所得R0見表6。結(jié)合圖9(c)、圖9(d)中感染節(jié)點隨時間變化的節(jié)點數(shù)量圖可知，當r=0.90，μ=0.48或r=1.10，μ=0.38時，由于通信半徑較小、節(jié)點上(下)線率較高，病毒可以得到很好的控制，網(wǎng)絡中不存在受感染的節(jié)點；當r=1.30，μ=0.28或r=1.50，μ=0.18時，由于節(jié)點通信半徑占比(節(jié)點通信面積/節(jié)點分布區(qū)域)較高、節(jié)點的上(下)線率較低，病毒持續(xù)在網(wǎng)絡中傳播，網(wǎng)絡中持續(xù)存在感染節(jié)點?？梢钥闯觯谝欢ǖ娜≈捣秶鷥?nèi)，隨著通信半徑r的增大以及節(jié)點上(下)線率μ的減小，感染節(jié)點I1、I2的峰值隨之不斷增大。

表6 不同通信半徑r和節(jié)點上(下)線率μ對應的R0值

圖9 不同通信半徑、上(下)線率下的網(wǎng)絡病毒傳播動力學行為

5 結(jié)束語

基于病毒變異對無線傳感器網(wǎng)絡病毒傳播的影響，提出了一種SEIQRV-Type病毒傳播模型。通過對模型進行深入分析，驗證了無病平衡點P0的局部穩(wěn)定性；利用Routh-Hurwitz判據(jù)得到了正平衡點P*局部穩(wěn)定的充分條件；最后通過仿真實驗驗證了SEIQRV-Type模型的可行性，并且發(fā)現(xiàn)動態(tài)調(diào)節(jié)節(jié)點感染率、E-I狀態(tài)節(jié)點轉(zhuǎn)移率、感染節(jié)點隔離率、節(jié)點免疫率、病毒查殺率、通信半徑和節(jié)點上(下)線率等參數(shù)可以有效遏制病毒在無線傳感器網(wǎng)絡中的傳播，這為后續(xù)研究無線傳感器網(wǎng)絡病毒的傳播機制及防控策略提供了一定的理論參考。