勾股定理：幾何學(xué)中的一顆明珠

文／朱月紅

第三章 勾股定理

領(lǐng) 銜 人：朱月紅（江蘇省特級(jí)教師）

組稿團(tuán)隊(duì)：江蘇省泰州醫(yī)藥高新區(qū)（高港區(qū)）教師發(fā)展中心

同學(xué)們聽過“大禹治水”的故事嗎？他是如何成功治水的呢？趙爽在《周髀算經(jīng)注》中這樣寫道：“禹治洪水，決流江河，望山川之形，定高下之勢(shì)，除滔天之災(zāi)，釋昏墊之厄，使東注于海，而無浸溺。乃勾股之所由生也。”大禹治水竟然與勾股定理有關(guān)，是不是很出人意料？在本章中，我們將一起領(lǐng)略幾何學(xué)中的一顆璀璨明珠——勾股定理。

一、讀史明智，尋“勾股定理”的雛形

在中國古代，人們把手臂彎曲成直角時(shí)，靠近肩膀的那部分叫作“勾”，靠近手掌的那部分叫作“股”。一般地，“勾”的長(zhǎng)度小于“股”的長(zhǎng)度。西周初年,商高在與周公旦的對(duì)話中提到“勾廣三，股修四，徑隅五”。后人稱之為“勾三股四弦五”，這便是“勾股定理”的雛形。

對(duì)于32+42=52，這是勾股定理的一個(gè)特例，也是勾股定理在中國的最早記載。追根溯源，勾股定理是我國古代數(shù)學(xué)發(fā)展的重要起源，中華數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化中的精髓開方術(shù)、方程術(shù)等都與勾股定理密切相關(guān)（有興趣的同學(xué)可查閱《周髀算經(jīng)》）。勾股定理的發(fā)現(xiàn)是一件不容易的事，勾股定理的證明更是一件了不起的事。千百年來，人們被它的魅力所吸引，對(duì)勾股定理的證明興趣濃郁。目前，它是世界上已知證明方法最多的數(shù)學(xué)定理之一。

二、穿越古今，探“勾股定理”的結(jié)構(gòu)

我們知道，三角形有六個(gè)元素（三條邊和三個(gè)角），研究三角形就是研究各元素之間的關(guān)系。我們往往遵循從一般到特殊的規(guī)律，將一般三角形的邊特殊化就是等腰三角形，角特殊化就是直角三角形。本章從生活中提煉直角三角形模型→畫圖歸納與驗(yàn)證勾股定理（邊邊關(guān)系）→圖形變換理解勾股定理的判定方法→回歸生活，運(yùn)用勾股定理解決問題。具體說來，我們將建立如圖1 所示的知 識(shí)結(jié)構(gòu)，這也體現(xiàn)了本章的結(jié)構(gòu)美。

三、學(xué)以致用，賞“勾股定理”的魅力

勾股定理在生活中有著極其廣泛的應(yīng)用，在中考試題中也大放異彩。例如，一架云梯AB長(zhǎng)25m，如圖2靠在墻上，云梯底端離墻7m。（1）如果云梯的頂端下滑了4m，則云梯底部在水平方向滑了多少米？（2）若云梯從起始位置圖3到圖4，上端下滑了a，下端水平滑了b，則a、b有什么關(guān)系？（3）點(diǎn)A與點(diǎn)B在滑動(dòng)過程中，你還能發(fā)現(xiàn)什么問題？請(qǐng)你去探究。

圖4

分析：我們將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型后，運(yùn)用勾股定理列出方程即可。（1）設(shè)水平方向滑了xm，由勾股定理得OA=24，∴OA′=20。再由勾股定理得（7+x）2+202=252，得x1=8，x2=-22（舍去）；（2）由勾股定理得（25-a）2+b2=252，解得a2-50a+b2=0；（3）問題：在滑行的過程中，a=b嗎？探究：若a=b，代入a2-50a+b2=0，得a1=0，a2=25，所以當(dāng)a=0 或25 時(shí)，a=b，即云梯在起始時(shí)和最終平放地面上時(shí)a=b，滑行的過程中a≠b。

勾股定理作為一條古老的數(shù)學(xué)定理，包含著中國古代厚重的文明，它的出現(xiàn)和發(fā)展對(duì)發(fā)揚(yáng)古代數(shù)學(xué)文化起到了重要作用。同學(xué)們，讓我們一起走近“勾股定理”，感受它豐富的內(nèi)涵吧！