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    不怕錯 要有措
    ——“等可能條件下的概率”常見錯誤剖析及應對措施

    2023-12-03 09:38:10陳俊
    初中生世界 2023年43期
    關鍵詞:獎券標號中獎

    文/陳俊

    同學們只有對“等可能條件下的概率”的概念理解透徹,才能正確解決與之有關的實際問題。現(xiàn)舉例剖析,希望對同學們的學習有所幫助。

    一、理清事件發(fā)生的隨機性

    例1判斷:在做拋擲一枚硬幣試驗時,小麗連續(xù)拋了20 次,發(fā)現(xiàn)硬幣落地后共有7 次正面(國徽)朝上。小麗說:“我可以確定硬幣落地后正面朝上的概率是。”

    【錯解】正確。

    【剖析】“連續(xù)拋了20 次,發(fā)現(xiàn)硬幣落地后共有7 次正面(國徽)朝上。”這只能說明本次試驗正面朝上的頻率為。只有當試驗次數(shù)足夠多時,頻率值才趨近于概率值。正面朝上和反面朝上是等可能出現(xiàn)的。大量試驗數(shù)據(jù)表明,正反面朝上的概率各占。故小麗的說法錯誤。

    例2如果某種獎券的中獎概率為,那么買1000 張獎券一定能中獎嗎?

    【錯解】因為獎券中獎的概率為,那么買1000 張獎券中獎的概率為,所以買1000 張獎券必有一張中獎。

    【剖析】因為買1000 張獎券相當于做1000 次試驗,而每次試驗的結(jié)果都是隨機的,即每張獎券可能中獎,也可能不中獎。由概率的意義可知,只有當買的獎券足夠多時,中獎的獎券數(shù)與買的獎券的總張數(shù)之比才在左右擺動。因此,1000 張獎券中可能沒有一張中獎,也可能有一張、兩張甚至多張中獎。故買1000張獎券不一定能中獎。

    二、弄清事件發(fā)生的等可能性

    例3小明、小強和小文三人做游戲:拋兩枚硬幣,若出現(xiàn)的結(jié)果都是正面朝上,則小明贏;出現(xiàn)的結(jié)果都是反面朝上,則小強贏;出現(xiàn)一正一反朝上,則小文贏。這個游戲規(guī)則公平嗎?為什么?

    【錯解】公平。因為結(jié)果要么都是正面朝上,要么都是反面朝上,要么就是一正一反朝上,所以三人贏的概率均為。

    【剖析】拋擲兩枚硬幣,朝上的面共有4 種等可能的結(jié)果。其中,一正一反朝上的概率要比兩正朝上和兩反朝上的概率大。畫樹狀圖便可一目了然,如下圖:

    由樹狀圖可知,P(兩正)=P(兩反)=;P(一正一反)=。所以小文贏的概率較大,此游戲不公平。

    三、看清題目中條件的重要性

    例4在一個不透明的口袋里有四個完全相同的小球,把它們分別貼上標號1、2、3、4。小明隨機摸出一個小球記下標號,然后不放回,再隨機摸出一個小球,記下標號。兩次摸出的球的標號之和小于5的概率是多少?

    【錯解】用枚舉法分析,共有16 種等可能的結(jié)果,分別為(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)。其中標號之和小于5的共有6種,概率為。

    【剖析】本題要看清“不放回”這個關鍵詞,意味著兩次摸出的球不可能是同一個。用列表法分析如下:

    由表格可知,共有12 種等可能的結(jié)果,其中標號之和小于5 的結(jié)果共有4種,概率為

    在解決概率問題時,我們?nèi)粢苊飧黝惓R婂e誤的出現(xiàn),就需要保持清晰的思考和正確的邏輯推理過程。只有認真審題,理清思路,才能得出準確、可靠的結(jié)論。

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